2024屆陜西省漢中市校際聯考高三上學期期末考試數學試題(理)（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省漢中市校際聯考2024屆高三上學期期末數學試題(理)第I卷一?選擇題1.設，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由復數，所以.故選：B.2.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，或，而，所以.故選：D3.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，所以.故選：D.4.在等比數列中，，則（）A. B. C.16 D.8【答案】A【解析】設等比數列的公比為，則，即，由，可得，即，所以.故選：A5.某圓錐的側面積為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】設圓錐的母線長為，底面半徑為，即側面展開圖的半徑為，側面展開圖的弧長為.又圓錐的底面周長為，所以，即圓錐的母線長.所以圓錐的側面積為，解得.故選：D6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（）A.18 B.22 C.25 D.【答案】C【解析】執(zhí)行該程序框圖，成立，成立，成立，，不滿足，輸出的.故選：C7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以，故.故選：D.8.已知為奇函數，則（）A. B.14 C. D.7【答案】C【解析】因為為奇函數，所以，即，所以，所以.故選：C9.如圖，設拋物線的焦點為，不經過焦點的直線上有三個不同的點，其中點在該拋物線上，點在軸上，若，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】設,，由，根據拋物線定義可得，故，，過，分別作軸的垂線，過作軸的垂線，垂足為，明顯，所以.故選：D.10.下圖是由兩個邊長不相等的正方形構成的，在整個圖形中隨機取一點，此點取自的概率分別記為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，從而，因為，所以，根據面積型幾何概型的概率公式，可以得到，，則故選：A.11.已知是球的直徑上一點，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點，且，過點作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，設截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因為，所以.由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時過點作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當且僅當與所求截面垂直時，球心到所求截面的距離最大，即，所以.故選：C12.已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當時，函數在上單調遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調遞增，由，可得，即，所以，所以，當時，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B.第II卷二?填空題13.已知向量滿足，則__________.【答案】【解析】因為，所以，故.故答案為：14.若滿足約束條件，則目標函數的最大值為__.【答案】【解析】畫出約束條件的可行域，由，可得，由，可得，當目標函數經過時，，當目標函數經過時，，故目標函數的最大值為.故答案為：15.已知函數.若存在，使不等式成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】當時，，則，所以，因此在上的值域為，若存在，使不等式成立，則，所以的取值范圍是.故答案為：.16.某網店統計了商品近30天的日銷售量，日銷售量依次構成數列，已知，且，則商品近30天的總銷量為__________.【答案】1020【解析】當時，，當時，，，中奇數項是公差為2，首項為20的等差數列，.商品近30天的總銷量為.故答案為：.三?解答題（一）必考題17.在三棱錐中，.（1）證明：.（2）若，平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取的中點，連接因為，所以，又因平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：因為且平面平面，，面，所以平面.以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，取，則，所以，直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.的內角的對邊分別為，已知的周長為.（1）求的值；（2）求的最大值.解：（1），即.因為的周長為6，所以，解得.（2）由（1）可知.，當且僅當時，等號成立.故當時，取得最大值.19.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，將個樣本數據按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請通過頻率分布直方圖估計這份樣本數據的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）.（2）以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于分，則被認定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機抽取人，用表示成績合格的人數，求的分布列及數學期望.（1）解：由頻率分布直方圖可知，份樣本數據的平均值為.（2）解：競賽成績不低于分的頻率為，低于分的頻率為.由題意可知，，，，，，，所以分布列為期望.20.已知橢圓經過兩點.（1）求的方程；（2）斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，且點A不在上，，過點作軸的垂線，交直線于點，與橢圓的另一個交點為，記的面積為，的面積為，求.解：（1）將代入橢圓方程中，，解得則橢圓的方程為；（2）當直線軸時，為鈍角三角形，且，不滿足題意.設，由，可得，所以，所以直線的斜率存在，設直線的方程為，因為點A不在上，所以，由化簡得，.，所以，則，整理得，因為，所以，所以直線的方程為，恒過點.由題意和對稱性可知，設點到直線的距離為，點到直線的距離為，21.已知函數.（1）求的極值；（2）已知，證明：.（1）解：，，令，可得.令，可得，令，可得，或所以在上單調遞增，在和上單調遞減.所以的極大值為的極小值為.（2）證明；由，可得，所以.由對稱性，不妨設，則，當且僅當時，等號成立，所以.由（1）可知在上的最大值為，所以，當且僅當時，等號成立，因為等號不能同時取到，所以.（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在直角坐標系中，曲線和的參數方程分別為（為參數），（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線和的極坐標方程；（2）已知直線，且與曲線相交于、兩點，與曲線相交于、兩點，則當取得最大值時，求的值.（1）解：在曲線的參數方程（為參數）中消去參數，可得，即，將，代入上式，得.在曲線的參數方程（為參數）中消去參數，可得，即，將，代入上式，得.所以，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為.（2）解：由題可設直線的極坐標方程為，其中，將代入，得，將代入，得，所以，因，則，故當時，即當時，取得最大值，此時.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍.（1）解：由函數，當時，可得，解得，故；當時，可得，解得，故無解；當時，可得，解得，故.故不等式的解集為或.（2）解：由函數，可得，所以，即實數的取值范圍為.陜西省漢中市校際聯考2024屆高三上學期期末數學試題(理)第I卷一?選擇題1.設，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由復數，所以.故選：B.2.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，或，而，所以.故選：D3.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，所以.故選：D.4.在等比數列中，，則（）A. B. C.16 D.8【答案】A【解析】設等比數列的公比為，則，即，由，可得，即，所以.故選：A5.某圓錐的側面積為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】設圓錐的母線長為，底面半徑為，即側面展開圖的半徑為，側面展開圖的弧長為.又圓錐的底面周長為，所以，即圓錐的母線長.所以圓錐的側面積為，解得.故選：D6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（）A.18 B.22 C.25 D.【答案】C【解析】執(zhí)行該程序框圖，成立，成立，成立，，不滿足，輸出的.故選：C7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以，故.故選：D.8.已知為奇函數，則（）A. B.14 C. D.7【答案】C【解析】因為為奇函數，所以，即，所以，所以.故選：C9.如圖，設拋物線的焦點為，不經過焦點的直線上有三個不同的點，其中點在該拋物線上，點在軸上，若，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】設,，由，根據拋物線定義可得，故，，過，分別作軸的垂線，過作軸的垂線，垂足為，明顯，所以.故選：D.10.下圖是由兩個邊長不相等的正方形構成的，在整個圖形中隨機取一點，此點取自的概率分別記為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，從而，因為，所以，根據面積型幾何概型的概率公式，可以得到，，則故選：A.11.已知是球的直徑上一點，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點，且，過點作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，設截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因為，所以.由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時過點作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當且僅當與所求截面垂直時，球心到所求截面的距離最大，即，所以.故選：C12.已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當時，函數在上單調遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調遞增，由，可得，即，所以，所以，當時，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B.第II卷二?填空題13.已知向量滿足，則__________.【答案】【解析】因為，所以，故.故答案為：14.若滿足約束條件，則目標函數的最大值為__.【答案】【解析】畫出約束條件的可行域，由，可得，由，可得，當目標函數經過時，，當目標函數經過時，，故目標函數的最大值為.故答案為：15.已知函數.若存在，使不等式成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】當時，，則，所以，因此在上的值域為，若存在，使不等式成立，則，所以的取值范圍是.故答案為：.16.某網店統計了商品近30天的日銷售量，日銷售量依次構成數列，已知，且，則商品近30天的總銷量為__________.【答案】1020【解析】當時，，當時，，，中奇數項是公差為2，首項為20的等差數列，.商品近30天的總銷量為.故答案為：.三?解答題（一）必考題17.在三棱錐中，.（1）證明：.（2）若，平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取的中點，連接因為，所以，又因平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：因為且平面平面，，面，所以平面.以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，取，則，所以，直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.的內角的對邊分別為，已知的周長為.（1）求的值；（2）求的最大值.解：（1），即.因為的周長為6，所以，解得.（2）由（1）可知.，當且僅當時，等號成立.故當時，取得最大值.19.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，將個樣本數據按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請通過頻率分布直方圖估計這份樣本數據的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）.（2）以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于分，則被認定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機抽取人，用表示成績合格的人數，求的分布列及數學期望.（1）解：由頻率分布直方圖可知，份樣本數據的平均值為.（2）解：競賽成績不低于分的頻率為，低于分的頻率為.由題意可知，，，，，，，所以分布列為期望.20.已知橢圓經過兩點.（1）求的方程；（2）斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，且點A不在上，，過點作軸的垂線，交直線于點，與橢圓的另一個交點為，記的面積為，的面積為，求.解：（1）將代入橢圓方程中，，解得則橢圓的方程為；（2）當直線軸時，為鈍角三角形，且，不滿足題意.設，由，可得，所以，所以直線的斜率存在，設直線的方程為，因為點A不在上，所以，由化簡得，.，所以，則，整理得，因為，所以，所以直線的方程為，恒過點.由題意和對稱性