2024屆天津市寧河區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市寧河區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題參考公式：圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高．圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．第Ⅰ卷一、選擇題1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，則.故選：D.2.設(shè)，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，故充分性滿足；由不一定得到，比如，故必要性不滿足，所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.3.2023年7月28日，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會（簡稱大運(yùn)會）在四川成都開幕，這是繼2001北京大運(yùn)會，2011深圳大運(yùn)會之后，中國第三次舉辦夏季大運(yùn)會；在成都大運(yùn)會中，中國代表團(tuán)取得了驕人的成績．為向大學(xué)生普及大運(yùn)會的相關(guān)知識，某高校進(jìn)行“大運(yùn)會知識競賽”，并隨機(jī)從中抽取了200名學(xué)生的成績（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計，成績均在內(nèi)，將其分成5組：，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則在被抽取的學(xué)生中，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為（）A.20 B.40 C.60 D.80【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可得，解得，所以成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為.故選：C.4.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，易知函?shù)是增函數(shù)，又，所以，又易知是減函數(shù)，所以，得到，故選：B.5.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)A和B錯誤，又，，，所以選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確，故選：D.6.如圖，在直角梯形中，，，，，，以所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱挖去一個同底的圓錐的組合體，如圖所示：其中圓柱與圓錐的底面半徑都等于圓柱的高等于，圓錐的高等于，底面圓的面積為，圓錐的體積為，圓柱的體積為，所以所得幾何體的體積為．故選：C.7.已知數(shù)列滿足：，若，則（）A.48 B.24 C.16 D.12【答案】A【解析】由得，所以數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：A.8.已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，且雙曲線的一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，得到，又拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，又，得到，所以雙曲線的方程為，故選：D.9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，它的最小正周期為，關(guān)于該函數(shù)有下面四個說法：①的圖象過點(diǎn)②在區(qū)間上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，的取值范圍為；④把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動個單位長度，可得到的圖象．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】的最小正周期為，所以，得，由關(guān)于對稱，則，所以，解得，又，所以，所以，對于①：，①錯誤；對于②：由得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，②正確；對于③：由得，函數(shù)在上的值域?yàn)?，所以的取值范圍為，③錯誤；對于④，把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動個單位長度得，④正確；故選：B.第Ⅱ卷二、填空題10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)________．【答案】【解析】.故答案為：11.在的展開式中，的系數(shù)是________．【答案】【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，所以的系數(shù)為，故答案為：.12.過點(diǎn)且傾斜角為的直線和圓相交于A，B兩點(diǎn)，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以直線方程為，即，圓心到直線的距離為，故，故答案為：13.甲和乙兩個箱子中各裝有大小質(zhì)地完全相同的個球，其中甲箱中有個紅球、個白球和個黑球，乙箱中有個紅球、個白球和個黑球．若從甲箱中不放回地依次隨機(jī)取出個球，則兩次都取到紅球的概率為__________；若先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則從乙箱中取出的球是紅球的概率為__________．【答案】【解析】因?yàn)閺募紫渲胁环呕氐匾来坞S機(jī)取出個球，共有種取法，又兩次都取到紅球，共有種取法，由古典概率公式知，兩次都取到紅球的概率為，記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是紅球，記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是白球，記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是黑球，記事件：從乙箱中取出的球是紅球，則，，所以.故答案為：；.14.在平行四邊形中，，是的中點(diǎn)，，若設(shè)，則可用，表示為__________；若的面積為，則的最小值為________．【答案】【解析】如圖所示，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為，可得，即，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以最小值為.故答案為：；.15.已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】.【解析】數(shù)形結(jié)合，由直線與曲線的位置關(guān)系可得當(dāng)時有兩個交點(diǎn)，即函數(shù)恰有兩個零點(diǎn).三、解答題16.在中，角所對的邊分別為，已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）根據(jù)為三角形的內(nèi)角可得，根據(jù)正弦定理得；（2）根據(jù)余弦定理，解得，（負(fù)值舍去）；（3）因?yàn)椋詾殇J角，所以，所以，，所以.17.如圖，且，，且，且，平面，，M為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由平面，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)面的法向量為，則，取可得，此時，所以，又面，所以平面；（2）解：設(shè)直線與平面所成角為，，所以，即直線與平面所成角的正弦值為；（3）解：設(shè)面的法向量為，，則，取可得，設(shè)平面與平面夾角為，所以.即平面與平面夾角的余弦值.18.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，且滿足，，，．（1）求和通項(xiàng)公式；（2）對任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以；（2）由（1）得，（3）由（1）得，則，所以兩式相減得.所以.19.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，直線，的斜率分別為，，且，求證：（i）；（ii）直線過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）解：由題知，，，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）證明：（i）由（1）知，設(shè)直線，直線，由，消得到，得到，，所以，由，消得到，得到，，所以，故，，所以，故，（ii）由（i）知，所以直線的方程為，整理得到，所以直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)為.20.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn),證明：．（1）解：當(dāng)時，，得，則，，所以切線方程為，即；（2）解：，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，綜合得：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）證明：，則，因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個極值點(diǎn)，即是方程的兩不等正根，所以，得，令，則，得，則，所以，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.天津市寧河區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題參考公式：圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高．圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．第Ⅰ卷一、選擇題1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，則.故選：D.2.設(shè)，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，故充分性滿足；由不一定得到，比如，故必要性不滿足，所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.3.2023年7月28日，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會（簡稱大運(yùn)會）在四川成都開幕，這是繼2001北京大運(yùn)會，2011深圳大運(yùn)會之后，中國第三次舉辦夏季大運(yùn)會；在成都大運(yùn)會中，中國代表團(tuán)取得了驕人的成績．為向大學(xué)生普及大運(yùn)會的相關(guān)知識，某高校進(jìn)行“大運(yùn)會知識競賽”，并隨機(jī)從中抽取了200名學(xué)生的成績（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計，成績均在內(nèi)，將其分成5組：，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則在被抽取的學(xué)生中，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為（）A.20 B.40 C.60 D.80【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可得，解得，所以成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為.故選：C.4.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，易知函?shù)是增函數(shù)，又，所以，又易知是減函數(shù)，所以，得到，故選：B.5.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)A和B錯誤，又，，，所以選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確，故選：D.6.如圖，在直角梯形中，，，，，，以所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱挖去一個同底的圓錐的組合體，如圖所示：其中圓柱與圓錐的底面半徑都等于圓柱的高等于，圓錐的高等于，底面圓的面積為，圓錐的體積為，圓柱的體積為，所以所得幾何體的體積為．故選：C.7.已知數(shù)列滿足：，若，則（）A.48 B.24 C.16 D.12【答案】A【解析】由得，所以數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：A.8.已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，且雙曲線的一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，得到，又拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，又，得到，所以雙曲線的方程為，故選：D.9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，它的最小正周期為，關(guān)于該函數(shù)有下面四個說法：①的圖象過點(diǎn)②在區(qū)間上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，的取值范圍為；④把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動個單位長度，可得到的圖象．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】的最小正周期為，所以，得，由關(guān)于對稱，則，所以，解得，又，所以，所以，對于①：，①錯誤；對于②：由得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，②正確；對于③：由得，函數(shù)在上的值域?yàn)椋缘娜≈捣秶鸀?，③錯誤；對于④，把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動個單位長度得，④正確；故選：B.第Ⅱ卷二、填空題10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)________．【答案】【解析】.故答案為：11.在的展開式中，的系數(shù)是________．【答案】【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，所以的系數(shù)為，故答案為：.12.過點(diǎn)且傾斜角為的直線和圓相交于A，B兩點(diǎn)，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以直線方程為，即，圓心到直線的距離為，故，故答案為：13.甲和乙兩個箱子中各裝有大小質(zhì)地完全相同的個球，其中甲箱中有個紅球、個白球和個黑球，乙箱中有個紅球、個白球和個黑球．若從甲箱中不放回地依次隨機(jī)取出個球，則兩次都取到紅球的概率為__________；若先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則從乙箱中取出的球是紅球的概率為__________．【答案】【解析】因?yàn)閺募紫渲胁环呕氐匾来坞S機(jī)取出個球，共有種取法，又兩次都取到紅球，共有種取法，由古典概率公式知，兩次都取到紅球的概率為，記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是紅球，記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是白球，記事件：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是黑球，記事件：從乙箱中取出的球是紅球，則，，所以.故答案為：；.14.在平行四邊形中，，是的中點(diǎn)，，若設(shè)，則可用，表示為__________；若的面積為，則的最小值為________．【答案】【解析】如圖所示，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為，可得，即，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以最小值為.故答案為：；.15.已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】.【解析】數(shù)形結(jié)合，由直線與曲線的位置關(guān)系可得當(dāng)時有兩個交點(diǎn)，即函數(shù)恰有兩個零點(diǎn).三、解答題16.在中，角所對的邊分別為，已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）根據(jù)為三角形的內(nèi)角可得，根據(jù)正弦定理得；（2）根據(jù)余弦定理，解得，（負(fù)值舍去）；（3）因?yàn)?，所以為銳角，所以，所以，，所以.17.如圖，且，，且，且，平面，，M為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由平面，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)面的法向量為，則，取可得，此時，所以，又面，所以平面；（2）解：設(shè)直線與平面所成角為，，所以，即直線與平面所成角的正弦值為；（3）解：設(shè)面的法向量為，，則，取可得，設(shè)平