2025屆河南省南陽(yáng)市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽(yáng)市2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，即，∴，故∴.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，則.故選：D.3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的定義域?yàn)镽.是偶函數(shù)，排除D；又，排除A；當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，排除C．故選：B．4.已知平面向量，滿足，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由及，得，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C5.《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個(gè)問(wèn)題中，這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為（）A.11 B.13 C.14 D.16【答案】A【解析】記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，解得，∴，故選：A.6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，均為正整數(shù)，設(shè)甲：；乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，即，滿足必要性；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)均有，不滿足充分性，所以甲是乙的必要不充分條件，故選：B.7.在銳角中，已知，則，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.無(wú)法確定【答案】A【解析】由，可得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，從而，由，可得當(dāng)時(shí)，與均屬于，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，且，所以，即，所以，即，所以，又在上遞增，所以；當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，又在上遞增，所以；綜上所述，.故選：A.8.已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足①，②為奇函數(shù)，令，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，因，則，由，因，故，則得的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)已得的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，由，可得，則，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槠婧瘮?shù)，故也是奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)的周期為，又，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槠婧瘮?shù)，且周期為，則，由，因，故，即函數(shù)為偶函數(shù)；由，可得，因的周期為，則，求導(dǎo)得，即函數(shù)的周期為.于是，，故得，即D正確.故選：C.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知，，且，則（）A.的最大值為 B.C. D.【答案】BCD【解析】∵∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B選項(xiàng)正確；∵，∴，∴，故C選項(xiàng)正確；∵且，∴，∴，∵，∴，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則（）A.存在實(shí)數(shù)，使得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.當(dāng)時(shí)，的極值之和為C.存在實(shí)數(shù)，，使得有三個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】，當(dāng)時(shí)，則，故存在實(shí)數(shù)，使得的圖象關(guān)于點(diǎn)0,2對(duì)稱(chēng)，A正確，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，f'x>0，當(dāng)，故分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，故的極值之和為，故B錯(cuò)誤，由于，故令，此時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)，故C正確，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)f'x≥0，故單調(diào)遞增，此時(shí)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：AC11.已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2圖象的任意一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到與之相鄰的對(duì)稱(chēng)軸的距離為，且將該圖象向左平移A.，B.直線為的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸C.若在單調(diào)遞增，則的最大值為D.對(duì)任意，關(guān)于的方程總有奇數(shù)個(gè)不同的根【答案】ABD【解析】A.由題意可知，，得，，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以,得，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，所以直線為的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故B正確；C當(dāng)時(shí)，，由題意可知，，，，得，，只有當(dāng)有解，得，所以的最大值為，故C錯(cuò)誤；D.，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，而也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，若有其他交點(diǎn)，交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以交點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)，方程總有奇數(shù)個(gè)不同的根，故D正確.故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.【答案】63【解析】，∴，∴，∴.故答案為：13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】0【解析】由題意，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因在上為增函數(shù)，故，故得，即實(shí)數(shù)的最小值為0.故答案為：0.14.若在恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.（用區(qū)間表示）【答案】【解析】因在x∈0,+∞恒成立，則在x∈0,+設(shè)，則，設(shè)，則x∈0,+∞上恒成立，即在上單調(diào)遞增.又則存在，使，即（*）.當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增.故.又由（*），可得，設(shè)，則得.由可得在上單調(diào)遞增，故得，即，于是，故得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.（1）求；（2）已知，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）在中，由及由正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（3）選條件①，由，，得，與矛盾，此時(shí)不存在，即條件①不符合要求，不選①；選條件②，由（1）知，由，得，由余弦定理得，即，而，解得，所以的面積為.選條件③，由，得，在中，由正弦定理得，則，又，所以的面積為.16.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，已知成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為數(shù)列和前項(xiàng)和，證明：.（1）解：因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，設(shè)的公比為，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）證明：由（1）可得.數(shù)列bn的前項(xiàng)和，①則.②由①②得，即.由，可得，得證.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)，函數(shù)的最小正周期.由，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）得，由，得，由，得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到2，由，得，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從2減小到1，依題意，在上恰有兩個(gè)不等實(shí)根，則直線與在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有極大值，且極大值不大于0.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：解：（1）的定義域?yàn)椋?因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線與直線垂直，所以，解得：.（2）.①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令得：；令得：.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為.因?yàn)闃O大值不大于0，所以.因?yàn)椋?記，，則，所以在上單調(diào)遞增.而，所以由可解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.②記數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則為數(shù)列的前項(xiàng)和；數(shù)列的前項(xiàng)和，即.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)，對(duì)也成立，所以.由①知：當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.所以取，則有，即.當(dāng)依次取，則有：，，…，，累加得：，即.19.對(duì)于數(shù)列，若，使得都有成立，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.已知為“數(shù)列”，，，，設(shè)函數(shù).（1）求，，的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求其前項(xiàng)和.解：（1）依題意，，而，，，所以；；.（2）二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，由函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn)，得或，解得：或，所以的取值范圍為.（3）由，得，即，令，則，，，令，則，又，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，則，即，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，則，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.所以.河南省南陽(yáng)市2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，即，∴，故∴.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，則.故選：D.3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的定義域?yàn)镽.是偶函數(shù)，排除D；又，排除A；當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，排除C．故選：B．4.已知平面向量，滿足，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由及，得，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C5.《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個(gè)問(wèn)題中，這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為（）A.11 B.13 C.14 D.16【答案】A【解析】記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為，則數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，解得，∴，故選：A.6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，均為正整數(shù)，設(shè)甲：；乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】B【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，即，滿足必要性；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)均有，不滿足充分性，所以甲是乙的必要不充分條件，故選：B.7.在銳角中，已知，則，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.無(wú)法確定【答案】A【解析】由，可得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，從而，由，可得當(dāng)時(shí)，與均屬于，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，且，所以，即，所以，即，所以，又在上遞增，所以；當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，又在上遞增，所以；綜上所述，.故選：A.8.已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足①，②為奇函數(shù)，令，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，因，則，由，因，故，則得的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)已得的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，由，可得，則，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槠婧瘮?shù)，故也是奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)的周期為，又，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槠婧瘮?shù)，且周期為，則，由，因，故，即函數(shù)為偶函數(shù)；由，可得，因的周期為，則，求導(dǎo)得，即函數(shù)的周期為.于是，，故得，即D正確.故選：C.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知，，且，則（）A.的最大值為 B.C. D.【答案】BCD【解析】∵∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B選項(xiàng)正確；∵，∴，∴，故C選項(xiàng)正確；∵且，∴，∴，∵，∴，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則（）A.存在實(shí)數(shù)，使得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.當(dāng)時(shí)，的極值之和為C.存在實(shí)數(shù)，，使得有三個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】，當(dāng)時(shí)，則，故存在實(shí)數(shù)，使得的圖象關(guān)于點(diǎn)0,2對(duì)稱(chēng)，A正確，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，f'x>0，當(dāng)，故分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，故的極值之和為，故B錯(cuò)誤，由于，故令，此時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)，故C正確，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)f'x≥0，故單調(diào)遞增，此時(shí)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：AC11.已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2圖象的任意一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到與之相鄰的對(duì)稱(chēng)軸的距離為，且將該圖象向左平移A.，B.直線為的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸C.若在單調(diào)遞增，則的最大值為D.對(duì)任意，關(guān)于的方程總有奇數(shù)個(gè)不同的根【答案】ABD【解析】A.由題意可知，，得，，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以,得，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，所以直線為的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故B正確；C當(dāng)時(shí)，，由題意可知，，，，得，，只有當(dāng)有解，得，所以的最大值為，故C錯(cuò)誤；D.，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，而也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，若有其他交點(diǎn)，交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以交點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)，方程總有奇數(shù)個(gè)不同的根，故D正確.故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.【答案】63【解析】，∴，∴，∴.故答案為：13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_____.【答案】0【解析】由題意，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因在上為增函數(shù)，故，故得，即實(shí)數(shù)的最小值為0.故答案為：0.14.若在恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.（用區(qū)間表示）【答案】【解析】因在x∈0,+∞恒成立，則在x∈0,+設(shè)，則，設(shè)，則x∈0,+∞上恒成立，即在上單調(diào)遞增.又則存在，使，即（*）.當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增.故.又由（*），可得，設(shè)，則得.由可得在上單調(diào)遞增，故得，即，于是，故得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.（1）求；（2）已知，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）在中，由及由正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（3）選條件①，由，，得，與矛盾，此時(shí)不存在，即條件①不符合要求，不選①；選條件②，由（1）知，由，得，由余弦定理得，即，而，解得，所以的面積為.選條件③，由，得，在中，由正弦定理得，則，又，所以的面積為.16.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，已知成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為數(shù)列和前項(xiàng)和，證明：.（1）解：因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，設(shè)的公比為，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）證明：由（1）可得.數(shù)列bn的前項(xiàng)和，①則.②由①②得，即.由，可得，得證.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函