2021北京房山高一（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

1/12021北京房山高一（上）期末數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知，，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.某工廠生產(chǎn)了一批節(jié)能燈泡，這批產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品、二等品、不合格品．從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)“抽到一等品”的概率為，“抽到二等品”的概率為，則“抽到不合格品”的概率為（）A.0.05 B.0.25 C.0.8 D.0.953.某單位共有職工名，其中高級(jí)職稱人，中級(jí)職稱人，初級(jí)職稱人．現(xiàn)采用分層抽樣方法從中抽取一個(gè)容量為的樣本，則從高級(jí)職稱中抽取的人數(shù)為（）A.6 B.9 C.18 D.364.已知，且，則下列結(jié)論正確是（）A. B. C. D.5.如果函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限，則（）A. B. C. D.6.如圖，在中，，設(shè)，，則（）A. B. C. D.7.已知，，則“”是“向量與共線”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)天的日平均氣溫低于即為入冬．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為；②乙地：個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，極差為；③丙地：個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為；④丁地：個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差小于．則肯定進(jìn)入冬季地區(qū)是（）A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地9.太陽(yáng)是位于太陽(yáng)系中心的恒星，其質(zhì)量大約是千克.地球是太陽(yáng)系八大行星之一，其質(zhì)量大約是千克.下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.10.已知函數(shù)，若存在互不相等的實(shí)數(shù)，，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.___________；___________．12.已知，則與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為__________．13.暑假期間，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，則暑假期間兩人中至少有一人外出旅游的概率是__________.14.當(dāng)時(shí)，，，的大小關(guān)系是___________．（請(qǐng)用“”連接）15.定義在上的函數(shù)滿足：①單調(diào)遞減；②，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)__________.16.由于國(guó)慶期間有七天長(zhǎng)假，不少電影選擇在國(guó)慶檔上映.已知A、B兩部電影同時(shí)在月日全國(guó)上映，每天的票房統(tǒng)計(jì)如圖所示：有下列四個(gè)結(jié)論：①這天A電影票房平均數(shù)比B電影票房的平均數(shù)高；②這天A電影票房的方差比B電影票房的方差大；③這天A電影票房的中位數(shù)與B電影票房的中位數(shù)相同；④根據(jù)這天的票房對(duì)比，預(yù)測(cè)月日B電影票房超過(guò)A電影票房的概率較大；其中正確結(jié)論的序號(hào)為__________.三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.17.設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線．（1）若，，且與平行，求實(shí)數(shù)值；（2）若，，，求證：，，三點(diǎn)共線．18.為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），高一年級(jí)某班班主任對(duì)本班名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：（Ⅰ）求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)；（Ⅱ）估計(jì)這名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)；（Ⅲ）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間作為樣本去推斷該校高一年級(jí)全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間，這樣推斷是否合理？說(shuō)明理由．19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）求解關(guān)于不等式．20.空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級(jí)如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個(gè)城市月份監(jiān)測(cè)的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取天的數(shù)據(jù)，記錄如下：甲乙（1）估計(jì)甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（2）分別從甲、乙兩個(gè)城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，求這兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（3）記甲城市這天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為．從甲城市月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取一個(gè)記為，若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為；若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為，試比較、、的大?。ńY(jié)論不要求證明）21.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在正?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，有，且，則稱是上的“距增函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為上的“距增函數(shù)”？說(shuō)明理由；（2）寫出一個(gè)的值，使得是區(qū)間上的“距增函數(shù)”；（3）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若為上的“距增函數(shù)”，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知，，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.詳解】由，，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D2.某工廠生產(chǎn)了一批節(jié)能燈泡，這批產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品、二等品、不合格品．從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)“抽到一等品”的概率為，“抽到二等品”的概率為，則“抽到不合格品”的概率為（）A.0.05 B.0.25 C.0.8 D.0.95【答案】A【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可求解.【詳解】“抽到一等品”與“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率為，“抽到不合格品”與“抽到一等品或二等品”是對(duì)立事件，故其概率為.故選：A．3.某單位共有職工名，其中高級(jí)職稱人，中級(jí)職稱人，初級(jí)職稱人．現(xiàn)采用分層抽樣方法從中抽取一個(gè)容量為的樣本，則從高級(jí)職稱中抽取的人數(shù)為（）A.6 B.9 C.18 D.36【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出抽取高級(jí)職稱人數(shù)所占的抽樣比乘以樣本容量可得答案.【詳解】依題意得：高級(jí)職稱人數(shù)、中級(jí)職稱人數(shù)、初級(jí)職稱人數(shù)的比為，高級(jí)職稱人數(shù)的抽樣比，采用分層抽樣方法從中抽取一個(gè)容量為的樣本，則從高級(jí)職稱中抽取的人數(shù)為人.故選：C.4.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】舉反例可判斷ACD選項(xiàng)；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可判斷B選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，由不等式的基本性質(zhì)成立，正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤，故選：B.5.如果函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過(guò)，只需，解不等式即可.【詳解】函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限，則，解得.故選：B6.如圖，在中，，設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理將，再用，表示可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，，所?故選：C.7.已知，，則“”是“向量與共線”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件與必要條件概念，由向量數(shù)量積運(yùn)算法則，以及向量的線性運(yùn)算法則，即可得出結(jié)果.【詳解】若向量與同向共線，由，，可得；若向量與反向共線，由，，可得；所以由“向量與共線”不能推出“”；若，，，則，所以，所以，因?yàn)橄蛄颗c夾角為，所以，即“向量與共線；所以由“”能推出“向量與共線”；因此，“”是“向量與共線”的充分而不必要條件.故選：A.8.根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)天的日平均氣溫低于即為入冬．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為；②乙地：個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，極差為；③丙地：個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為；④丁地：個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差小于．則肯定進(jìn)入冬季的地區(qū)是（）A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各地連續(xù)天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)，通過(guò)特殊值法，可排除ABC選項(xiàng)；根據(jù)方差的計(jì)算公式，結(jié)合丁地的氣溫?cái)?shù)據(jù)，可判斷D正確.【詳解】①甲地：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為；則這個(gè)數(shù)據(jù)可能為，，，，；即連續(xù)天的日平均氣溫不是都低于，所以甲地不一定入冬，故A錯(cuò)；②乙地：個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，極差為；則這個(gè)數(shù)據(jù)可能為，，，，；即連續(xù)天的日平均氣溫不是都低于，所以乙地不一定入冬，故B錯(cuò)；③丙地：個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為；則這個(gè)數(shù)據(jù)可能為，，，，；即連續(xù)天的日平均氣溫不是都低于，所以丙地不一定入冬，故C錯(cuò)；④丁地：個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差小于．如有數(shù)據(jù)大于等于，則方差必大于等于，不滿足題意，因此丁地這續(xù)天的日平均氣溫都低于，所以丁地一定入冬，故D正確；故選：D.9.太陽(yáng)是位于太陽(yáng)系中心的恒星，其質(zhì)量大約是千克.地球是太陽(yáng)系八大行星之一，其質(zhì)量大約是千克.下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)，根據(jù)題中條件，進(jìn)行估算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.10.已知函數(shù)，若存在互不相等的實(shí)數(shù)，，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)題意，得到，結(jié)合圖象求出的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】假設(shè)，作出的圖象如下；由，所以，則令，所以，由，所以，所以，故.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.___________；___________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、根式的計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算計(jì)算可得答案.【詳解】（1）；（2）.故答案為：①6；②.12.已知，則與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】【分析】由條件設(shè)與方向相同的單位向量坐標(biāo)為，再由條件列式求解.【詳解】設(shè)與方向相同的單位向量坐標(biāo)為，則，解得或因?yàn)榕c的方向相同，所以，與同方向的單位向量是.故答案為：13.暑假期間，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，則暑假期間兩人中至少有一人外出旅游的概率是__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)“暑假期間兩人中至少有一人外出旅游”為事件，則其對(duì)立事件為“暑假期間兩人都未外出旅游”，先求得，再求解即可.【詳解】設(shè)“暑假期間兩人中至少有一人外出旅游”為事件，則其對(duì)立事件為“暑假期間兩人都未外出旅游”，則，所以.故答案為：.14.當(dāng)時(shí)，，，的大小關(guān)系是___________．（請(qǐng)用“”連接）【答案】【解析】【分析】在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出三個(gè)函數(shù)的圖象判斷即可.【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出三個(gè)函數(shù)的圖象，如圖：由圖可知：.故答案為：.15.定義在上的函數(shù)滿足：①單調(diào)遞減；②，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過(guò)即可得出答案.【詳解】由函數(shù)滿足：①單調(diào)遞減；②，則.故答案為：16.由于國(guó)慶期間有七天長(zhǎng)假，不少電影選擇在國(guó)慶檔上映.已知A、B兩部電影同時(shí)在月日全國(guó)上映，每天的票房統(tǒng)計(jì)如圖所示：有下列四個(gè)結(jié)論：①這天A電影票房的平均數(shù)比B電影票房的平均數(shù)高；②這天A電影票房的方差比B電影票房的方差大；③這天A電影票房的中位數(shù)與B電影票房的中位數(shù)相同；④根據(jù)這天的票房對(duì)比，預(yù)測(cè)月日B電影票房超過(guò)A電影票房的概率較大；其中正確結(jié)論的序號(hào)為__________.【答案】①②④【解析】【分析】①根據(jù)折線圖，分別求得這天A電影票房和B電影票房的平均數(shù)，比較判斷；②根據(jù)折線圖，分別求得這天A電影票房和B電影票房的方差，比較判斷；③根據(jù)折線圖，分別求得這天A電影票房和B電影票房的中位數(shù)，比較判斷；④根據(jù)折線圖，比較這天A電影票房和B電影票房的方差和從10月6日開始超過(guò)A電影票房判斷.【詳解】①這天A電影票房的平均數(shù)為，這天B電影票房的平均數(shù)為，所以A的比B電影票房的平均數(shù)高，故正確；②這天A電影票房的方差，這天B電影票房的方差，所以A的比B電影票房的方差大，故正確；③這天A電影票房的中位數(shù)與B電影票房的中位數(shù)，不相同，故錯(cuò)誤；④根據(jù)這天票房對(duì)比，B電影票房方差較小，波動(dòng)較小，且從10月6日開始超過(guò)A電影票房，故正確；故答案為：①②④三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.17.設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線．（1）若，，且與平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，，求證：，，三點(diǎn)共線．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用與平行即可得到；（2）證明三點(diǎn)共線，只需證明與共線，對(duì)應(yīng)寫出坐標(biāo)即可.詳解】（1），，則，因?yàn)榕c平行，所以有，解得．（2）因?yàn)?，，，所以，即與共線，因此，，三點(diǎn)共線．18.為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），高一年級(jí)某班班主任對(duì)本班名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：（Ⅰ）求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)；（Ⅱ）估計(jì)這名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)；（Ⅲ）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間作為樣本去推斷該校高一年級(jí)全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間，這樣推斷是否合理？說(shuō)明理由．【答案】（Ⅰ）9；（Ⅱ）8.75；（Ⅲ）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性.【解析】【分析】（Ⅰ）首先求學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)頻率，再根據(jù)樣本容量乘以頻率=人數(shù)，計(jì)算結(jié)果；（Ⅱ）首先估算學(xué)習(xí)時(shí)間在分位數(shù)所在的區(qū)間，再根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果；（Ⅲ）根據(jù)樣本的代表性作出判斷.【詳解】（Ⅰ）由圖可知，該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的頻率為則名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的人數(shù)為．（Ⅱ）學(xué)習(xí)時(shí)間在小時(shí)以下的頻率為，學(xué)習(xí)時(shí)間在小時(shí)以下的頻率為，所以分位數(shù)在，，則這名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為．（Ⅲ）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性．19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）求解關(guān)于的不等式．【答案】（Ⅰ）定義域?yàn)?，函?shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由解析式列出不等式，求出使解析式有意義的自變量的范圍，即可得出定義域；進(jìn)而可判斷函數(shù)奇偶性；（Ⅱ）先將所求不等式化為，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得出，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由，得函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（Ⅱ）因?yàn)?，所以不等式可化為，因?yàn)樵谑菧p函數(shù)，所以有，解得，因此不等式的解集為．20.空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級(jí)如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個(gè)城市月份監(jiān)測(cè)的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取天的數(shù)據(jù)，記錄如下：甲乙（1）估計(jì)甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（2）分別從甲、乙兩個(gè)城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，求這兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（3）記甲城市這天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為．從甲城市月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取一個(gè)記為，若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為；若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為，試比較、、的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有天，利用頻率估計(jì)概率的思想可求得結(jié)果；（2）列舉出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題意可得出、、的大