【模擬測(cè)試】高考數(shù)學(xué)考試試題（含答案）

高考模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題

時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分；150分

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合人={-4,-2,-1,0,1,2,4},B={A|X2-X-2>0},則AD"=（）

A.1-4.—2,4}B.{-4,—2,—1,2,4）

C.{-424}D.{-4,-2,124}

2.已知復(fù)數(shù)z=一二+3"則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)?應(yīng)的點(diǎn)位于

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.記S,為等差數(shù)列{對(duì)}的前〃項(xiàng)和，已知S”=2，『+3〃，則數(shù)列{凡}的公差為（）

A.2B.4C.1D.—

2

4.已知函數(shù)/。）=3-'十夕3'是奇函數(shù)，則/（2）=（）

82828080

A.—B.------C.—D.------

9999

5.在新冠疫情的持續(xù)影響下，全國(guó)各地電影院等密閉式文娛場(chǎng)所停業(yè)近半年，電影行業(yè)面

臨巨大損失.2011?2020年上半年的票房走勢(shì)如下圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

上半年票房（億元）―-增速供）

A.自2011年以來(lái)，每年上半年的票房收入逐年增加

B.自2011年以來(lái)，每年上半年的票房收入增速為負(fù)的有5年

c.2018年上半年的票房收入增速最大

D.2020年上半年的票房收入增速最小

6.已知點(diǎn)A（〃7,〃）在橢圓?+5=1上，則＞+"的最大值是（）

A.5B.4C.3D.2

7.己知（/-_!_]（1+以）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為4,則〃=（）

IX）

A.-4B.IC.—D.-1

2

8.在長(zhǎng)方體43co—A4CQ中，底面A88是正方形，AA,=3AB,E為CG的中點(diǎn),

點(diǎn)尸在棱。。?上，RA尸=2。"，則異面直線AE與所成角的余弦值是（）

AV34口后「扃nV17

34341734

9.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖巧妙地證明了勾股定理，弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與

一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）.如果內(nèi)部小正方形的內(nèi)切圓面積為外部大正

方形的外接圓半徑為逑，直角三角形中較大的銳角為。，那么tan[=（）

22

C.-D.—

42

若上言，￡=5m+7，則數(shù)列｛端的公

10.已知等比數(shù)列｛凡｝前八項(xiàng)和為s”,

比夕=（）

A.2B.-2C.—D.--

22

11.已知函數(shù)人幻平/二°：

若函數(shù)g（x）=/（x）-〃7有四個(gè)不同的零點(diǎn)

-x-4x+4,x＜（

xpx2,x3,x4,則X/2&X4的取值范圍是（）

A.(0,4)B.(4,8)C.(0,8)D.

(0,+oo)

12.設(shè)E為雙曲線C：4-力＞0)右焦點(diǎn)，直線/：x-2)，+c=0(其中c為雙

a'b'

加線C的半焦距)與雙曲線C為左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)，若+磔)=0,

則雙曲線C的離心率是()

A5R4后

A?D?--------

3333

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫

線上.

13.已知向量a,E滿(mǎn)足|〃|=2/?|=4,且a?〃=—4百，則向量a,B的夾角是.

14.函數(shù)/(工)二月nx—f-1+1的圖象在x=1處的切線方程是.

15.2020年10月II日，全國(guó)第七次人口普查拉開(kāi)帷幕，某統(tǒng)計(jì)部門(mén)安排AB,CD,E尸六

名工作人員到四個(gè)不網(wǎng)區(qū)市縣開(kāi)展工作.每個(gè)地方至少需安排一名工作人員，其中A〃安

排到同一區(qū)市縣工作，RE不能安排在同一區(qū)市縣工作，則不司的分配方法總數(shù)為

種.

16.在三楂錐S-ABC中，NSB4=NS6=9O°,底面ABC是等邊三角形，三棱錐

S—A8C的體積為G,則三棱錐S—A8C的外接球表面積的最小值是.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或

演算步驟.17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，

考生根據(jù)要求作答.

17.在銳角AA2c中，角AB,C的對(duì)邊分別為出4gBe邊上的高為正的面積

2

為5/5,〃sinAcosC+csinAcosB=y/3acosA.

(1)求。和角A；

(2)求AAbC的周長(zhǎng).

18.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)定于2021年8月18日—29日在成都舉行，成都某機(jī)構(gòu)

隨機(jī)走訪調(diào)查80天中的天氣狀況和當(dāng)天到體育館打乒乓球人次,整理數(shù)據(jù)如下表(單位:天)：

打乒乓球人次

[0,1001(100.2001(200,3001

天氣狀況

晴天21320

陰天4610

雨天645

雪天820

(1)若用樣本頻率作為總體概率，隨機(jī)調(diào)查本市4天，設(shè)這4天中陰天的天數(shù)為隨機(jī)變量X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

⑵假設(shè)陰天和晴夭稱(chēng)為,’天氣好"，雨天和雪天稱(chēng)為“天氣不好”，完成下面的2x2列聯(lián)表,

判斷是否有99%的把握認(rèn)為一天中到體育館打乒乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān)?

人次”200人次＞200

天氣好

天氣不好

參考公式：K?=,其中〃=口十分十9十

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

Pg.k。）0.100.050.0100.001

k°2.7063.8416.63510.828

19.如圖，PAJ_平面ABC。，四邊形43co為直角梯形，AD=2BC=2AB=6.

AD/IBC,AB±BC.

⑴證明：PCLCD.

(2)若PC=/U),點(diǎn)E在線段C。上，且CE=2ED,求二面角A—PK—C的余弦值.

20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)尸(3,0)的距離比它到直線/:x+5=0的距離小2

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡￡的方程

⑵過(guò)點(diǎn)F作斜率為攵(&*0)的直線r與軌跡E交于點(diǎn)A、3,線段AB的垂直平分線交X

四

軸于點(diǎn)N,證明:回|為定值

21.已知函數(shù)/*)=(工一。一1)。1+奴(jf>0).

(1)討論外”單調(diào)性.

(2)當(dāng)〃K2時(shí)，若/(x)無(wú)最小值，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

x=\-t

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為｛「(f為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以

y=2+t

1軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

p2-2pcos。-6psin6+8=0,已知直線/與曲線。交于不同的兩點(diǎn)M,N.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)改2)'求高+高的值.

23.設(shè)函數(shù)/。)=|2%+3|一k-1|.

(1)求不等式/(幻>0解集：

(2)若/(x)的最小值是川，且。+沙+3。=2|〃?|,求/+〃+/的最小值.

答案與解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合人={7,-2,-1,0,1,2,4},￡?={4V2-X-2>0),則AD8=()

A.{-4,-2,4}B.{-4,-2,-1,2,41

C.{-424}D.{-4,-2,l,2,4}

［答案］B

［解析］

［分析］

由一元二次不等式求出集合B={x|xW-l或x?2},再利用集合交集的定義求出即可.

［詳解］在集合8中，由/一工一220,解得XW—1或XN2,所以8={x|x4T或x22),

且集合4={-4,-2,-1,0,1,2,4},..4門(mén)8={-4,-2,-1,2,4}.

故選：B

2.己知復(fù)數(shù)z=3+3，，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

2+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［答案］A

I解析］

［分析］

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求出z,寫(xiě)出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷象限.

［詳解］解：因?yàn)閦=-^-+3i=2-i+3i=2+2i,

2+z

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(2,2),位于第?象限.

故選：A.

［點(diǎn)睛］與復(fù)數(shù)的幾何意義相關(guān)問(wèn)題的?股步驟：

(1)進(jìn)行簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式：

(2)把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)。十從與復(fù)平面上的點(diǎn)(4〃)

----對(duì)應(yīng).

3.記5〃為等差數(shù)列{4}的前?〃項(xiàng)和，已知S,,=2〃2+3〃，則數(shù)列{凡}的公差為()

A.2B.4C.1D.—

2

［答案］B

［解析J

［分析］

根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解.

［詳解］設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為"，

由等差數(shù)列的求和公式，可得Sn=H"―%~-d=萬(wàn)■，廠+(4-5")〃，

又因?yàn)镾.=2〃2+3〃，所以4=2,可得"=4.

故選：B.

4.已知函數(shù)/(1)=3-'+丈3、是奇函數(shù)，則/⑵=()

［答案］D

［解析］

［分析］

根據(jù)/(x)是奇函數(shù)，利用奇偶性的定義，求得a即可.

［詳解］因?yàn)?(外是奇函數(shù)，

所以/(-X)=-/(x)成立,即3、+a?3r=-(3-v+?-3V)成立，

即(1+4乂3-'+3")=0成立，

所以。二一1,

所以/(2)=3"-32=-］.

故選：D

5.在新冠疫情的持續(xù)影響下，全國(guó)各地電影院等密閉式文娛場(chǎng)所停業(yè)近半年，電影行業(yè)面

臨巨大損失.2011?2020年上半年的票房走勢(shì)如下圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()

2011201220132014201520162017201820192020

■上半年票房（億元）―"增速供）

A.自2011年以來(lái)，每年上半年的票房收入逐年增加

B.自2011年以來(lái)，每年上半年的票房收入增速為負(fù)的有5年

C.2018年上半年的票房收入增速最大

D.2020年上半年票房收入蹭速最小

［答案］D

［解析J

［分析］根據(jù)圖表，對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.

［詳解］由圖易知自2011年以來(lái)，每年上半年的票房收入相比前一年有增有減，增速為負(fù)的

有3年，故A,B錯(cuò)誤；

2017年上半年的票房收入增速最大，故C錯(cuò)誤：

2020年上半年的票房收入增速最小，故D正確.

故選：D

6.已知點(diǎn)4（〃?,〃）在橢圓?+］=1上，則加2十〃2的最大值是（）

A.5B.4C.3D.2

［答案］B

［解析］

［分析］由己知條件得出〃，=4一2/，利用橢圓的有畀性得出OK,』42，由此可求得

2+〃2的取值范圍，即可得解

［詳解］由題意可得工+￡=1,則〃P=4-2",故"Z2+〃2=4-〃2.

42

因?yàn)橐灰埂丁?夜，所以0W/42，所以2W4-/44，即24"?2+〃2《4.

因此，〃，+〃2的最大值4.

故選：B.

7.已知（1+〃。的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為4,則。二（

A.-4

［答案］D

［解析］

［分析］將原式變形為卜一_￡）+依卜__［）,再寫(xiě)出［2—，）的通項(xiàng)，即可得到展開(kāi)式

中常數(shù)項(xiàng)，從而求出參數(shù)的值：

［詳解］解：x2-"!?］（1+=x2-—1+ax（x2--

其中k—J展開(kāi)式的通項(xiàng)為卻=墨（x2廣,卜［J=C；尸，㈠），

所以（1+奴）展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為盤(pán)工2（一］_）〃r=-4a=4,解得〃二一1.

故選：D

8.在長(zhǎng)方體48co—AqCQ中，底面A8c。是正方形，=3AB,E為CG的中點(diǎn),

點(diǎn)尸在棱。僅上，且。尸=2￡）尸，則異面直線AE與CT所成角的余弦值是（）

A.巫B.叵C.叵D.晅

34341734

I答案］B

［解析］

［分析］

在棱。，上取一點(diǎn)G,使得。。=6。。，連接4GGE,易得EG//CF,則NAEG或

其補(bǔ)角是異面直線AE與C廠所成的角,結(jié)合余弦定理即可得解.

［詳解］如圖，在棱。鼻上取一點(diǎn)G,使得RD=6RG,連接AG,GE,

由題意易得四邊形CKG尸為平行四邊形，則EG//CF,

故ZAEG或其補(bǔ)角是異面直線AE與CF所成的角，

設(shè)43=2,則AA=6,

從而AE=\l21+22+?r=Vl7,￡G=>/22+22=272,AG=V22+52=x/29?

在△4￡G中，由余弦定理可得

=A爐十芯-4=17+8-29=734

cosZAEG

2AEEG~2xV17x2x/2-34

則異面直線AE與CF所成角的余弦值是典.

34

故選：B

9.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖巧妙地證明了勾股定理，弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與

一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形血圖).如果內(nèi)部小正方形的內(nèi)切圓面積為?外部大正

方形的外接圓半徑為逑，直角三角形中較大的銳角為々，那么tan二=()

22

［答案］D

［解析］

分析］

先求出大正方形與小正方形的邊長(zhǎng)，利用勾股定理求出直角三角形的直角邊，再求。的正

弦值與余弦值，然后根據(jù)商的關(guān)系與二倍角公式可得答案.

［詳解］因?yàn)樾≌叫蔚膬?nèi)切圓而枳為三，所以?xún)?nèi)切圓半徑為!，小正方形的邊K為1：

42

因?yàn)榇笳叫蔚耐饨訄A半徑為吐，所以大正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為56，其邊長(zhǎng)為5,

2

設(shè)直角三角形短的直角邊為x,則長(zhǎng)的直角邊為x+1.

由勾股定理得/+。+1了=25,解得x=3,

43

所以sina=—,cosa=-,

.a6.aa

sin—2sin—cos—

則出讓==二一2—I

2a，a

cos—2cos"

22

4

sina51

ZZ------------,

cosa+132

一+1

5

故選：D.

［點(diǎn)睛］關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出直角二角形的直角邊，從而求出。的

正弦值與余弦值，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換解答.

io.已知等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為s“，若茅=||,竽=黑+，則數(shù)列｛為｝的公

m43'

比夕=()

A.2B.-2C.—D.--

22

［答案］C

［解析J

［分析］

用q和q表示出己知條件后可解得4.

［詳解］由已知^工1,

52*%(W)=33

m-5

Sq(lW)32

則《m',，解得1.

J__〃L4

aq5m+7

故選：c.

|log2x|,.r>(),

II.已知函數(shù)/")=若函數(shù)g(幻=/(X)-加有四個(gè)不同的零點(diǎn)

-X2-4X+4,X<0.

人］,42，入3，大4?則七毛毛“'』的取住L搶圍是()

A.(0,4)B.(4,8)C.(0,8)D.

(0,+8)

［答案］A

［解析］

［分析］

將函數(shù)g(x)=.f(x)-，〃有四個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(X)的圖象與直線)'=〃?有四個(gè)不

網(wǎng)的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

［詳解］函數(shù)g。)有四個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)/(X)的圖象與直線y=機(jī)有四個(gè)不同的交

點(diǎn).

畫(huà)出f(x)的大致圖象，如圖所示.

由圖可知〃ze(4,8).不妨設(shè)M<X2<X3<X4，

則-4<演<一2<%<0,且再+々.

所以占二一再一4,

所以xyx2=x((一大-4)=一(%+2『+4w(0,4),

則0vx3Vl<匕，

因?yàn)楝F(xiàn)2切=陲2式|，

J^TlU-log2x3=log2x4,

_,

^rl^log2x3=log2x4,

所以匕鵬=1,

所以凡?占?天?Z=%-x2e（0,4）.

故選：A

12.設(shè)居為雙曲線C：1-￡=1（〃>0力>0）右焦點(diǎn)，直線/：x-2y+c=0（其中c為雙

a-b~

曲線。的半焦距）與雙曲線。為左、右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)，若麗?（詢(xún)+物）=（）,

則雙曲線C的離心率是（）

A.』B,1C.巫D.迪

3333

［答案］C

［解析］

［分析］設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為E，如圖，取線段MN的中點(diǎn)兒連接利用已知得出

眼周=|"|,由雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求出I”4I和圖，利用直線/的斜率列出方

程，求出雙曲線的離心率.

1詳解］設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為人，如圖，取線段MN的中點(diǎn)H,連接”工，則

初十可=2屈.

因?yàn)辂?（用0+喬）=0,所以就.及后=0,即MNJ.E",則四目=|”|.

設(shè)|M周二因周二”因?yàn)閨M周一|“曰=加聞一.周二2m

所以|M；|-1|+1"6|一|嗎|二|附；1TM￡|=|MV|=4〃，則|MH|=|NH|=2a,

從而I"/"=/〃，故I"用=—m~=>!nv—46/2>解得nr=2a2+2c2-

因?yàn)橹本€/的斜率為!，所以tan4HF\F、=熙=\，整理得口】=

2~\HF\V2a?+2c22(r+c-4

即3c2=5/，則*=|，故6=,=半.

故選:C

［點(diǎn)睛］關(guān)健點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率和雙曲線的定義，考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，

解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是取線段MN的中點(diǎn)從連接“玲，利用已知等式得出|M/S|=|N周，進(jìn)

而可由雙曲線的定義和勾股定理求出|H"I和利用直線/的斜率為;列方程解出離

心率，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫

線上.

13.已知向量24滿(mǎn)足|吊=2/；|=4,且￡不=-46，則向量的夾角是_______.

［答案當(dāng)

6

［解析］

［分析］

一一CI?h

利用公式cos〈a,份==尸求出兩向量夾角的余弦值即可求得兩向量夾角.

1。1聞

［詳解］由題意可得cosas〉=f^=n^=-^,

\a\\b\4x22

又〈2,5〉e［。.乃］,則向量2萬(wàn)的夾角是苧.

6

故答案為：空

O

14.函數(shù)/(工)二工1111-丁-1+1的圖象在工=1處的切線方程是

［答案］3x+y-2=0

［解析］

［分析］

先求導(dǎo)得/'(x)=lnx-3f,進(jìn)而得〃1)二-3,/⑴二一1，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程書(shū)寫(xiě)直線方

程即可.

［詳解］由題意可得/(X)=lnx-3x2,

則/(l)=lnl-3=-3,/(l)=lxlnl-l-l+l=-l,

故所求切線方程為y+1=-3所-1),即3x+y-2=0.

故答案為：3x+y-2=0.

15.2020年10月11日，全國(guó)第七次人口普查拉開(kāi)帷幕,某統(tǒng)計(jì)部門(mén)安排尸六

名工作人員到四個(gè)不同的區(qū)市縣開(kāi)展工作.每個(gè)地方至少需安排一名工作人員，其中A8安

排到同一區(qū)市縣工作，。,七不能安排在同一區(qū)市縣工作，則不司的分配方法總數(shù)為

種.

［答案1216

［解析］

［分析］

分兩步完成，第一步將6名工作人員分成4組，要求A5同一組，RE不在同一組，共9

種分組方法，第二步在將分的四組分配到四個(gè)區(qū)市縣有用=24種，進(jìn)而得總的分配方法有

9x24=216種

［詳解］第一步，將6名工作人員分成4組，要求AB同一組，不在同一組.

若分為3,I,I,I的四組，48必須在3人組，則只需在C,RE,產(chǎn)中選一人和A8同一

組，故有C：=4種分組方法，

若分為2,2,1,1的四組，48必須在2人組，故只需在中選兩人構(gòu)成一組，

同時(shí)減去2E在同一-組的情況，故有C；-l=5種分組方法，

則一共有5+4=9種分組方法；

第二步，將分好的四組全排列，分配到四個(gè)區(qū)市縣，有A：=24種.

故總的分配方法有9x24=216種.

故答案為：216.

［點(diǎn)睛］本題考查分組分配問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，分兩步完成，先將6名工作人員

分成4組使其滿(mǎn)足條件，再分配到四個(gè)縣區(qū)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

16.在三棱錐S—A4C中，NSA4=NSC4=90'，底面A8C是等邊三角形，三棱錐

S-A8C的體積為J5，則三棱錐S-ABC的外接球表面積的最小值是.

［答案］12兀

［解析］

［分析］

由條件可得SA是三棱錐S-A8C的外接球的一條直徑，設(shè)三棱錐底面邊長(zhǎng)和高分別為小

/?.，根據(jù)體積公式可得=12,再由球心到底面的距離、求半徑和底面外接圓半徑的勾股

關(guān)系，得到代23,進(jìn)而得解.

［詳解］設(shè)三棱錐外接球的球心為O,三棱錐底面邊長(zhǎng)和高分別為mh.

由/SBA=NSCA=90°,可知SA是三棱錐S-ABC的外接球的一條直徑，

所以。為SA的中點(diǎn)，

則球心到底面ABC的距離為d=2.底面ABC的外接圓半徑為「，則r=.

23

則K》一冉A《R《C.=—3X~4~,即a%=12.

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球半徑為R,

l(II1n22J2121/2422h；

貝UR=r+d——QH—h=—+—=—+—H—23，

34h4/?/:4

2h2

當(dāng)且僅當(dāng)±=',即力=2時(shí)等號(hào)成立，

h4

故三棱錐S-ABC的外接球表面積為4萬(wàn)4212〃.

故答案為：12/r.

［點(diǎn)睛］解決與球有關(guān)的組合體的方法與策略：

1、一般要過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或過(guò)線作截面將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，從而尋找

幾何體個(gè)元素的關(guān)系，結(jié)合球的截面的性質(zhì)和/?2=r+［2,在行求解；

2、若球而上四點(diǎn)RA民C中「4夕反夕。兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造

長(zhǎng)方體或正方體確定球的直徑解決外接球向題.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或

演算步驟.17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，

考生根據(jù)要求作答.

17.在銳角△A8C中，角AB,C的時(shí)邊分別為a/,c,8c邊上的高為的面積

2

為5/5,〃sinAcosC+csinAcosB=JiocosA.

⑴求。和角A：

(2)求△ABC的周長(zhǎng).

［答案］(l)a=2,A=—；(2)iz+Z?+c=6.

3

［解析］

［分析］

⑴由AA8c面積為J5，求得。=2,在由題設(shè)條件和正弦定理，化簡(jiǎn)得到

sinA=J5cosA，進(jìn)而得到tan4=J5，即可求得A的大?。?/p>

(2)由余弦定理和面積公式，列出方程組，求得久c?的值，進(jìn)而求得AABC的周長(zhǎng).

［詳解］(1)由AA8c中，8。邊上的高為立〃，且面積為e，可得Lx立/=6，解

222

得。=2.

因?yàn)榧觟nAcosC+csin4cosB=Gacos4，

可得sin8sinAcosC+sinCsinAcos8=sinAcosA，

因?yàn)锳w(0,7r),可得sinA工0,所以sin8cosc+sinCeos8=GeosA，

所以sinA=J5cosA，所以ianA=G，

又由Ae((),;r),所以A=三.

3

(2)由余弦定理可得"=b2+c2-2/?ccosA=h2+c2-bc=4<①，

因?yàn)锳A8c的面積為G，所以L/"sinA=^^c=G，所以bc=4,②，

24

聯(lián)立①解得〃=c=2,所以故△月片C的周長(zhǎng)為。+/?+c=6.

［點(diǎn)睛］方法規(guī)律總結(jié)：對(duì)于解三角形問(wèn)題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，

利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，同時(shí)注意三

角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解題中的應(yīng)用.

18.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)定于2021年8月18日一29日在成都舉行，成都某機(jī)構(gòu)

隨機(jī)走訪調(diào)查80天中的天氣狀況和當(dāng)天到體育館打乒乓球人次，整理數(shù)據(jù)如下表(單位:天):

打乒乓球人次

[0,1(X)](100.200](200,300]

天氣狀況

晴天21320

陰天4610

雨天645

雪天820

(1)若用樣本頻率作為總體概率，隨機(jī)調(diào)查本市4天，設(shè)這4天中陰天的天數(shù)為隨機(jī)變量X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

⑵假設(shè)陰天和晴天稱(chēng)為“天氣好”，雨天和雪天稱(chēng)為“天氣不好”，完成下面的2x2列聯(lián)表,

判斷是否有99%的把握認(rèn)為一天中到體育館打乒乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān)?

人次”200人次＞200

天氣好

天氣不好

參考公式：K?=,其中〃=口十分十9十

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

Pg.k。)0.100.050.0100.001

k°2.7063.8416.63510.828

［答案］(1)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：1;(2)列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，有99%的把握認(rèn)為?天

中到體育館打兵乓球的人次與該市當(dāng)天的天氣有關(guān).

［解析］

(|、

［分析］⑴由題意先求得隨機(jī)變量X的可能取值，再得~84..由此可求得分布列和

分布列的期望：

(2)由已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，由K?公式計(jì)算出R2,判斷可得結(jié)論.

［詳解］解：⑴由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4.

設(shè)一天為陰天的概率為P，則-=4+才0=!，故X~6(4，!.

804I4J

P(X=0)=C：x(j\0(381P(X=l)=C；x(H27

X

a25664

SG川丁嗡…)y毋肌］

P(X=4)=C：x(升］|「=一

則X的分布列為

X01234

81272731

p

2566412864256

故EX=4x，=l.

4

(2)

人次”200人次＞200

天氣好2530

入氣不好205

則"0x(25x5_30x嘰8335.

55x25x45x35

因?yàn)?.335〉6.635,所以有99%的把握認(rèn)為一天中到體育館打乒乓球的人次與該市當(dāng)天的

天氣有關(guān).

［點(diǎn)睛］求隨機(jī)變量概率分布列的步驟：

(I)找出隨機(jī)變量的所有可能取值；

(2)求出取各值時(shí)的概率；

(3)列成表格：

(4)檢驗(yàn)分布列.

注意分析隨機(jī)變量是否滿(mǎn)足特殊的分布列，如：兩點(diǎn)分布，超幾何分布，二項(xiàng)分布，正態(tài)分

布.

19.如圖，%_L平面48CD,四邊形A8CD為直角梯形，AD=2BC=2AB=6,

ADfIBC,ABA.BC.

D

/?*1

-----------V

⑴證明：PCVCD.

(2)若〃C=A。，點(diǎn)七在線段(7。上，且CE=2ED,求二面角A—Hs-C的余弦值.

［答案］(1)證明見(jiàn)解析；(2)叵.

13

［解析］

［分析］

(1)易知AC_LC￡),再根據(jù)Q4_L平面ABC。，得到AP_LCO,利用線面垂直的判定定理

證得CO_L平面APC即可.

(2)以A為原點(diǎn)，分別以麗，而，麗的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

A—M，Z,分別求得平面APE的一個(gè)法向量為3=(x，x，zJ和平面PCE的一個(gè)法向量為

fn=(x?y2,z2),設(shè)二面角人一心一。為依然后由cos6="旦求解.

|〃||加|

［詳解］(1)如圖所示：

由題意易知4c=療式=3夜?

作C”_LAO,垂足為從則“=。"=3,

所以6=存7￥=30?

因?yàn)锳O2=AC2+C￡>2,

所以AC_LCZX

因?yàn)镻AJ_平面ABCD.CDu平面ABCD,

所以A產(chǎn)_LCD.

因?yàn)锳Cu平面APCAPu平面APC,且ACC|AP=A，

所以CO_L平面APC.

因?yàn)镻Cu平面APC,

所以CO_L~C.

(2)因?yàn)镻C=AO=6,AC=30，且尸AJ.AC,所以AP=辰匚/=3叵

以A為原點(diǎn)，分別以AA,A力,4戶(hù)的方向?yàn)閤，戶(hù)z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系A(chǔ)-Q，Z.

則A(0,0,0),F(l,5,0),C(3,3,0),P(0,0,36，

從而返二(1,5,0),AP=(0,0,3^),CE=(-2,2,0),CP=(一3,-3,3啦).

設(shè)平面APE的一個(gè)法向量為f?=(xp,y1,z1).

小衣=3生=0,

令％=5,得〃=(5,-1,0).

n-AE=%+5V[=0,

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為團(tuán)=(公,必，z?)，

m-CP=-3X-3y2+3x/2z=0,

22令占=1,得標(biāo)=(1,L?

m-CE=-2X2+2y2=0,

設(shè)二面角A—PE—C為e,由圖可知。為銳角，

則c°s*?=F=叵.

In||m|V26x213

［點(diǎn)睛］方法點(diǎn)睛：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，

然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是

銳角還是鈍角.

20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)尸(3,0)的距離比它到直線7:x+5=O的距離小2

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡￡的方程

⑵過(guò)點(diǎn)尸作斜率為％(Aw。)的宜線/'與軌跡E交于點(diǎn)A、8,線段A3的垂直平分線交工

軸十點(diǎn)/V,證明：鏘為定值

\FN\

［答案］(l)V=i2x：(2)證明見(jiàn)解析.

［解析］

［分析］(1)本題首先可根據(jù)題意得出動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)尸(3,0)的距離與到直線4：x+3=O距離

相等，然后根據(jù)拋物線的定義即可得出結(jié)果；

⑵本題可設(shè)直線/'的方程為工=)+3,8(%,%)，G為線段的中點(diǎn)，然

后通過(guò)聯(lián)立直線方程與拋物線方程得出司+9=12r+6,并求出G點(diǎn)坐標(biāo)，再然后寫(xiě)出

....\AB\

線段AA的垂直平分線的方程，并寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo),最后求出|FN|、以及鬲，即可

證得結(jié)論.

［詳解］⑴因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)尸(3,0)的距離比它到直線/：工+5=0的距離小2,

所以動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)產(chǎn)(3,0)的距離與到直線/1：x+3=0距離相等,

由拋物線的定義可知，軌跡七是以b(3,0)為焦點(diǎn)、以直線工=-3為準(zhǔn)線的拋物線,

故點(diǎn)M的軌跡E的方程為y2=12x.

(2)設(shè)直線/'的方程為無(wú)=)+3,

聯(lián)立jy2A2x‘整理得)'-12)-36=0,

設(shè)A(x，yJ、3(%,%)，G為線段A8的中點(diǎn)，

則y+)'2=12f，%+毛=?/+%)+6=12?+6,G(6〃+3,67),

線段AB的垂直平分線的方程為)-6r=T(x—6/一3),N(6/+9,(),

22

|/W|=6r+9-3=6r+6,\AB\=xl+x2+6=\2t+\2,瑞=2,

出

故回|為定值.

［點(diǎn)睛］關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程以及拋物線與直線的相關(guān)問(wèn)題的求解，考查拋

物線的定義以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，能否求出N點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，考查直線方程的

求法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)的相關(guān)性質(zhì)，考查計(jì)算能力，是中檔題.

21.己知函數(shù)/(不)=(1一。一1)。1——x2+ax(x>0).

2

⑴討論/")的單調(diào)性.

(2)當(dāng)。42時(shí)，若/(力無(wú)最小值，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

［答案］(1)當(dāng)心0時(shí)，/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+?)上單調(diào)遞增;

當(dāng)0<〃<1時(shí)，/(X)在(4,1)上單調(diào)遞減，在(0,4)和(1,+?)上單調(diào)遞增;

當(dāng)々=1時(shí)，/(力在(0,+?)上單調(diào)遞增；

當(dāng)4>1時(shí)，/(元)在(1,4)上單調(diào)遞減，在(0』),(。,y)上單調(diào)遞增.

［解析］

［分析］

(1)對(duì))(X)求導(dǎo)，然后對(duì)〃分類(lèi)討論分別得出/次勾所對(duì)應(yīng)的3的取值范圍即為函數(shù)的單調(diào)

增區(qū)間，所對(duì)應(yīng)的X的取值范圍即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，

⑵結(jié)合⑴中的單調(diào)性結(jié)論對(duì)函數(shù)的最小值進(jìn)行討論對(duì)于第四種情況，得出關(guān)于。的不等式

后，需要構(gòu)造新的函數(shù)分析求解.

［詳解懈:

(1)因?yàn)?(X)=(x-a-l)eA-1-+ar(.r>0),所以/*(%)=(x-6/)(^r-1-l)(x>0).

令/,x)=0，得x=〃或x=l.

①當(dāng)aWO時(shí)，由得x>l；由四勾〈(),得0<xvl.

則/(x)在(()4)上單調(diào)遞減，在(L+?)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)Ocavl時(shí)，由得Ovxca或x>l：由得a<xvl.

則/(X)在(〃/)上單調(diào)遞減，在(0,4)和(1,+?)上單調(diào)遞增.

③當(dāng)4=1時(shí)，/")3()恒成立，則/(X)在((),+?)上單調(diào)遞增.

④當(dāng)〃>1時(shí)，由制勾>(),得Ovx<l或X>4;由用X)<0,得1<X<4.

則”X)在(1,4)上單調(diào)遞減，在(0,1)和(6”)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)440時(shí)，/(“在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+?)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0VQC1時(shí)，/(X)在(4,1)上單調(diào)遞減，在((),〃)和(1,+?)上單調(diào)遞增：

當(dāng)”=1時(shí)，〃X)在(0,+?)上單調(diào)遞增：

當(dāng)"I時(shí)，/(力在(1,。)上單調(diào)遞減，在(0J)和(。，+8)上單調(diào)遞增.

(2)0當(dāng)心0時(shí)，由⑴可知/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+?)上單調(diào)遞增，

則/(“有最小值"1)=［，故心0不符合題意.

②當(dāng)