清單08 圓（20個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（原卷版）25學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（北師大版）

清單08圓（20個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓。這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點：在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形。確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形?！厩鍐?2】圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧?！厩鍐?3】圓心角的概念圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角?；?、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等?！厩鍐?4】圓周角的概念圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。（即：圓周角=12推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形?！厩鍐?5】圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙中，∵四邊是內(nèi)接四邊形∴【清單06】垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分【清單07】點與圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：d<r點P在⊙O內(nèi)；d=r點P在⊙O上；d>r點P在⊙O外。【清單08】過三點的圓過三點的圓不在同一直線上的三個點確定一個圓。三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心?！厩鍐?9】直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點；2、直線與圓相切有一個交點；3、直線與圓相交有兩個交點；、【清單10】切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線【清單11】切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴；平分【清單12】三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心。注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。BBOAD【清單13】圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行，.【清單14】與正多邊形有關(guān)的概念1、正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。4、中心角正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角?！厩鍐?5】正多邊形的對稱性1、正多邊形的軸對稱性正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。2、正多邊形的中心對稱性邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形?！厩鍐?6】扇形的弧長和面積計算扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積【清單17】扇形與圓柱、圓錐之間聯(lián)系1、圓柱：（1）圓柱側(cè)面展開圖=圓柱的體積：2、圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：注意：圓錐的底周長=扇形的弧長（）【考點題型一】圓的定義及性質(zhì)

【典例1】如圖，在⊙O中，AB是直徑，BC=CD=DE，∠AOE=60°，則A．40° B．45° C．50° D．60°【變式1-1】如圖，在⊙O中，AB=CD，∠AOB=35°，則∠COD的度數(shù)是（A．50° B．45° C．40° D．35°【變式1-2】下列說法中正確的是（

）A．直徑是弦，半圓不是弧 B．相等的圓心角所對的弧也相等C．周長相等的兩個圓是等圓 D．圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是它的對稱軸【變式1-2】如圖，在⊙O中，AC=BD，求證：

【考點題型二】運用垂徑定理直接求線段的長度

【典例2】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接OC，若OE=3，CD=8．(1)求CE的長度；(2)求OC的長度．

【變式2-1】在⊙O中，弦AB長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則⊙O的半徑為（A．4cm B．5cm C．6cm D．【變式2-2】把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=12cm，則球的直徑長是（

A．15cm B．16cm C．18cm【變式2-3】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，CD=8，OA=5，則AH的長為．【考點題型三】垂徑定理的實際應(yīng)用

【典例3】如圖1，圓形拱門屏風(fēng)是家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯出中國元素的韻味．如圖2是一款拱門的示意圖，其中C為AB的中點，D為拱門最高點，線段CD經(jīng)過圓心O，已知拱門的半徑為1.5m，拱門最下端AB=1.8(1)求拱門最高點D到地面的距離；(2)現(xiàn)需要給房間內(nèi)搬進(jìn)一張長和寬均為2m、高為1.2m的桌子，已知搬桌子的兩名工人在搬運時所抬高度相同，且高度為0.5m【變式3-1】HUAWEI?Mate60?Pro是華為技術(shù)有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持衛(wèi)星通話的大眾智能手機(jī)，即使在沒有地面網(wǎng)絡(luò)信號的情況下，也可以撥打接聽衛(wèi)星電話，該手機(jī)還支持AI隔空操控、智感支付、注視不熄屏等智慧功能等．該系列完成了核心技術(shù)領(lǐng)域從0到1的躍遷，讓無數(shù)國人為之自豪并被贊譽為“爭氣機(jī)”．手機(jī)背面有一條圓弧，象征著以山河之美致敬奔騰不息的力量．如圖，圓弧對應(yīng)的弦AB長80mm，半徑OC⊥AB，垂足為D，弓形高CD長14(1)求AD的長；(2)求半徑OA的長．【變式3-2】民以食為天．我們常見的炒菜鍋可近似的看作拋物線面，鍋蓋可近似的看作圓形面．經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是一段拋物線和圓弧線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑AB為6dm，鍋深OF為3dm，鍋蓋高OE為1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立平面直角坐標(biāo)系如圖1所示（單位：dm），如果把鍋縱斷面的拋物線的記為C，把鍋蓋縱斷面所在的圓記作⊙M(1)求拋物線C解析式和弧AB所在⊙M的半徑；(2)鍋中原有水的最大深度為1.5dm（如圖2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高0.5dm，求此時的水面寬度；(3)如果將底面直徑4dm，高度為0.5dm的圓柱形蒸籠若干個疊加起來（如圖3）放入鍋中蒸食物（不考慮疊加縫隙），為了讓鍋蓋能夠蓋上，那么最多可以放入這種規(guī)格的圓柱形蒸籠多少個？【變式3-3】某公路上有一隧道，頂部是圓弧形拱頂，圓心為O，隧道的水平寬AB為24m，AB離地面的高度AE=10m，拱頂最高處C離地面的高度CD為18m，在拱頂?shù)腗，N處安裝照明燈，且M，N離地面的高度相等都等于17

【考點題型四】同心圓

【典例4】如圖，在兩個同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點．

(1)求證：AC=BD；(2)若AC=3，BC=5，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r的值．

【變式4-1】如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【變式4-2】如圖，在兩個同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點．(1)求證：AC=BD．(2)若AC=2,BC=4，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r．

【考點題型五】圓周角與圓心角的運用

【典例5】如圖，點A、B、C在⊙O上，若∠ABC=35°，則∠AOC的度數(shù)為（

）A．20° B．40° C．60° D．70°【變式5-1】如圖，在⊙O中，AB為直徑，點C，D是圓上的點，且∠ADC=50°，則∠CAB的度數(shù)為（

）A．50° B．80° C．40° D．30°【變式5-2】如圖，OB是⊙O的半徑，C，D是⊙O上的點，連接OC，BD，CD，若∠BOC=50°，則∠CDB等于（

）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【考點題型六】圓內(nèi)接四邊形的綜合運用

【典例6】如圖，過四邊形ABCD的頂點A，C，D的圓，分別交AB，BC于點E，F(xiàn)．若∠B=50°，EF的度數(shù)為56°，則∠D=【變式6-1】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD=100°，則∠BCD的度數(shù)為．【變式6-2】如圖，點C是⊙O的劣弧AB上一點，∠AOB=96°，則∠ACB的度數(shù)為（）

A．192° B．120° C．132° D．150°【變式6-3】如圖，A，B，C，D在⊙O上，∠OAB=25°，則∠ACB的度數(shù)是（

）A．115° B．112.5° C．122.5° D．135°

【考點題型七】點與圓的位置關(guān)系

【典例7】已知⊙O的半徑為4，點P在⊙O內(nèi)，則OP的長可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式7-1】若⊙O所在平面內(nèi)有一點P，點P到⊙O上點的最大距離為8，最小距離為2，則⊙OA．6 B．10 C．6或10 D．無法確定【變式7-2】若點A在⊙O內(nèi)，點B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，則⊙O的半徑r的取值范圍是（

）A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5【變式7-3】若⊙P的半徑為5，圓心P的坐標(biāo)為（﹣3，4），則平面直角坐標(biāo)系的原點O與⊙P的位置關(guān)系是．

【考點題型八】確定圓的條件

【典例8】小王不慎把一面圓形鏡子打碎了，其中三塊如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．都不能【變式8-1】給定下列條件可以確定唯一的一個圓的是（

）A．已知圓心 B．已知半徑 C．已知直徑 D．不在同一直線上的三個點【變式8-2】已知平面直角坐標(biāo)系中的三個點分別為A1,?1、B?2,5、C4【變式8-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有三點：（0，﹣2），（1，﹣1），（2.17，0.37）．則過這三個點（填“能”或“不能”）畫一個圓，理由是．

【考點題型九】根據(jù)三角形的外接圓的性質(zhì)的運用

【典例9】如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D．(1)請用尺規(guī)作圖作出三角形ABC的外接圓⊙O；（不寫作法及證明，應(yīng)保留作圖痕跡）(2)若BC＝4，AD=5，求⊙O的半徑r．【變式9-1】如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為r，則△ABC的面積為（

）A．38r2 B．34r2【變式9-2】已知，如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，那么這個三角形的外接圓直徑是（

A．4 B．5 C．8 D．10【變式9-3】如圖，△ABC的外接圓半徑為8，∠ACB＝60°，則AB的長為（）A．83 B．43 C．6 D．4【考點題型十】直線與圓的位置關(guān)系的判定

【典例10】已知⊙O的半徑為4，點O到直線m的距離為3，則直線m與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定【變式10-1】在△ABC中，AB=AC，O為BC中點，以點A為圓心，AO長為半徑作⊙A，則⊙A與直線BC的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式10-2】在平面直角坐標(biāo)系中，以點(3,2)為圓心，3為半徑的圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系為(

)A．與x軸相切，與y軸相離： B．與x軸相交，與y軸相切C．與x軸，y軸都相交 D．與x軸，y軸相離【變式10-3】已知⊙O的半徑是4，圓心O到直線l的距離是3，則直線l與⊙O的公共點有個．

【考點題型十一】利用切線的性質(zhì)求有關(guān)的角度/邊長的運算

【典例11】如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O切線，BD交⊙O于點C，∠CAD=50°，則∠B=（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°【變式11-1】如圖，P是圓O的直徑AB上一點，PM與圓O相切于點M，連接AM，∠P=30°，若PM=23，則AM的長為【變式11-2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，過C點的切線與AB的延長線交于P點，若∠P=40°，則∠D的度數(shù)為【變式11-3】如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一點E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點D．若AE=2，AD=4．則BE=，BC=．

【考點題型十二】切線的性質(zhì)與判定的綜合運用【典例12】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為AC的中點，過C作⊙O的切線交OD的延長線于E，交AB的延長線于F，連EA．(1)求證：EA與⊙O相切；(2)若CE=3，CF=2，求⊙O的半徑．【變式12-1】如圖，⊙O與△ABC的BC邊相切于點B，與AC邊相切于點D，與AB邊交于點E，EB是⊙O的直徑．(1)求證：DE∥(2)若⊙O的半徑是32，AD=2，求CD【變式12-2】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，以點D為圓心、AD的長為半徑的⊙D與AB相切于點A，與AC相交于點E．(1)求證：BC是⊙D的切線；(2)若AB=5，BC=13，求AC和AD的長．

【考點題型十三】利用切線長定理的性質(zhì)求線段長度或周長

【典例13】如圖，PA、PB、CE分別與⊙O相切于點A、B、D點，若圓O的半徑為6，OP=10，則△PCE的周長為(

)A．10 B．12 C．16 D．20【變式13-1】如圖，某小區(qū)打算進(jìn)行公共設(shè)施改造，現(xiàn)有一塊邊長為40m的正方形空地ABCD，點O在AB邊的中點處，計劃在正方形空地內(nèi)搭建一個以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓形兒童游樂場區(qū)域，過點C作半圓的切線交AD于點N．以CN為正方形的區(qū)域分割線，位于分割線右下方的整個區(qū)域ABCN作為小區(qū)的休閑區(qū)，則該休閑區(qū)的面積為（）mA．1000 B．140 C．800 D．600【變式13-2】如圖，PA、PB切⊙O于點A、B，直線FG切⊙O于點E，交PA于F，交PB于點G，若PA=8cm，則△PFG的周長是【變式13-3】如圖，在四邊形ABCD中，BC、CD、DA分別與⊙O相切于B、E、A三點，AB為⊙O的直徑．若BC=4cm，AD=3

【變式13-4】如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，點C是AB上一點，過C作⊙O的切線，交PA，PB于點D，E，若PA=6cm，則△PDE的周長是cm

【考點題型十四】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

【典例14】如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F且AD=2,BC=5，則△ABC的周長為（

）．

A．7 B．14 C．10 D．4【變式14-1】已知△ABC的內(nèi)切圓半徑r=3，D、E、F為切點，∠ABC=60°，BC=8，S△ABC=103

【變式14-2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，若⊙O的半徑為2，AD?DB=24，則AB的長=【考點題型十五】正多邊形與圓求角度

【典例15】如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，點P是AE?上的的一點，則∠CPD的度數(shù)是（

A．30° B．36° C．45° D．72°【變式15-1】如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是AE上一點，則∠DFC的度數(shù)為（

）A．72° B．54° C．36° D．30°【變式15-2】如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，P為AB上一點，連接PA，PE，則∠APE的度數(shù)為（

）A．18° B．36° C．54° D．72°【變式15-3】如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形AHIJK內(nèi)接于⊙O，且有公共頂點A，則∠BOH的度數(shù)為度．【考點題型十六】正多邊形與直角坐標(biāo)系綜合

【典例16】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，AB∥x軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標(biāo)為（

）A．3,?1 B．?1,?3 C．?3【變式16-1】2023年11月，臨邑縣迎來了較大程度的降雪，某數(shù)學(xué)興趣小組在實驗過程中發(fā)現(xiàn)每片雪花都有不同的形狀．如圖，將具有“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）的圖形，放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點A的坐標(biāo)為2,?3，則頂點C的坐標(biāo)為（

）

A．2?23,3 B．(0,1+23) C．【變式16-2】如圖，在正六邊形OABCDE中，以點O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，邊OA落在x軸上.若點A的坐標(biāo)為4,0，則點B的坐標(biāo)為．

【變式16-3】如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n=2022時，頂點A的坐標(biāo)為．【變式16-4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形OABCDE的邊長是2，則它的外接圓圓心P的坐標(biāo)是．

【考點題型十七】弧長的計算

【典例17】已知點A、B、C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧BC沿著直線CB折疊交弦AB于點D．BD=9，AD=6，則AC的長為．【變式17-1】扇面畫是中國傳統(tǒng)書畫中一種獨具特色的藝術(shù)樣式，將扇子的實用功能與書畫的觀賞功能巧妙結(jié)合．如圖所示，已知OA=10cm，AC=15cm，AB的長為20cm，則CD的長為【變式17-2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，以點C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點D【變式17-3】如圖，矩形紙片ABCD中，AB=16,AD=24，將紙片裁成如圖所示的扇形ABE，若將此扇形圍成圓錐側(cè)面，則此圓錐的底面半徑為．

【考點題型十八】計算扇形的面積

【典例18】扇形AOB的半徑為10cm，圓心角為54°，則扇形的面積為