2024-2025學(xué)年廣西柳州市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年廣西柳州市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知圓的一般方程為，則半徑是（

）A．1 B．3 C．4 D．92．等差數(shù)列中，若，，則公差（

）A．2 B．3 C．4 D．53．中國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之(等差數(shù)列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入得金三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給.則第一等人(得金最多者)得金斤數(shù)是（

）A． B． C． D．4．已知直線：，：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，，，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．設(shè)直線的方程為，則直線l的傾斜角a的范圍是（

）A． B．C． D．7．是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．與圓及圓都外切的圓的圓心在（

）A．橢圓上 B．雙曲線上的一支上 C．拋物線上 D．圓上二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題中，有多項(xiàng)符合題目要求.9．下列命題正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B．零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量C．若是直線l的方向向量，則也是直線l的方向向量D．在空間直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)平面的一個法向量10．設(shè)橢圓與雙曲線的離心率分別為，，雙曲線的漸近線的斜率小于，則和的取值范圍（

）A． B．C． D．11．如圖，已知直線和橢圓，m為何值時(shí)，下列結(jié)論正確（

）A．當(dāng)時(shí)，直線l與橢圓C有兩個公共點(diǎn)B．當(dāng)或25時(shí)，直線l與橢圓C只有一個公共點(diǎn)C．當(dāng)或時(shí)，直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線l與橢圓C有公共點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知數(shù)列中，，，則.13．如圖，M是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，以為始邊、為終邊的角，.

14．如圖，三棱錐中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的余弦值是．

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．（1）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為前n項(xiàng)和為.求取得最小值時(shí)n的值.16．（1）如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點(diǎn)，P是圓O上任意一點(diǎn).線段的垂直平分線l與直線相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？（2）當(dāng)m變化時(shí)，指出方程表示的曲線的形狀.17．已知圓，直線.(1)求證：直線恒過定點(diǎn)；(2)直線被圓截得的弦何時(shí)最長？何時(shí)最短？并求截得的弦長最短時(shí)的值以及最短弦長.18．如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．19．已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．

1．B【詳解】因?yàn)閳A的一般方程為所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的半徑為3,故選：B2．A【詳解】由，得故選：A3．A【詳解】由題設(shè)知在等差數(shù)列中，，.所以，，解得，故選：A4．B【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，所以；當(dāng)時(shí)，可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．5．A【詳解】因?yàn)椋?，，所以向量在方向上的投影向量?故選：A.6．D【詳解】直線的方程為，當(dāng)時(shí)直線方程為，傾斜角，當(dāng)時(shí)，直線方程化為，斜率，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以，綜上可得，故選：D.7．B【詳解】解法一：如圖，設(shè)直線在平面的射影為，作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，連接，易得，又平面，則平面，又平面，則，有故．已知，故為所求．解法二：如圖所示，把放在正方體中，的夾角均為．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，所以，設(shè)平面的法向量，則令，則，所以，所以．設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以．故選B．8．B【詳解】由圓可知，圓心，半徑，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑，因此圓心距，所以兩圓相離，設(shè)與兩圓都外切的圓的圓心為，半徑為，則滿足，所以，即圓心的軌跡滿足到兩定點(diǎn)距離之差為定值，且定值小于兩定點(diǎn)距離，根據(jù)雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，即圓心在雙曲線的一支上.故選：B.9．ABD【詳解】對于A,關(guān)于平面對稱的點(diǎn)軸的坐標(biāo)不改變,軸的坐標(biāo)相反，所以點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是,故A正確；對于B,直線的方向向量和平面的法向量都是非零向量,故B正確；對于C,當(dāng)時(shí),,不能作為直線l的方向向量,故C錯誤；對于D,在軸所在直線上且垂直于坐標(biāo)平面,所以是坐標(biāo)平面的一個法向量,故D正確.故選：ABD.10．AC【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的漸近線的斜率小于，所以，則，即，，即，故選：AC11．ABCD【詳解】對于A，由方程組消去y，得①，．由，得．此時(shí)方程①有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，直線與橢圓有兩個不同的公共點(diǎn)．故A正確；對于B，由，得，．此時(shí)方程①有兩個相等的實(shí)數(shù)根，直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)．故B正確；對于C，由，得，或．此時(shí)方程①沒有實(shí)數(shù)根，直線與橢圓沒有公共點(diǎn)．故C正確；對于D，由選項(xiàng)A與選項(xiàng)B可知，D正確.故選：ABCD12．##【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列是等差數(shù)列，公差，又，所以．故．13．4【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，過M作MB垂直于直線，垂足為B，作FA⊥MB于A，直線與x軸交于點(diǎn)K，如圖：

則軸，即，四邊形ABKF是矩形，中，，由拋物線定義知，，而，則，解得，所以.故4.14．【詳解】如下圖，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，則可知即為異面直線，所成角（或其補(bǔ)角）易得，，，∴，即異面直線，所成角的余弦值為.

15．（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，又時(shí)，不滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）當(dāng)，，解得：，當(dāng)和時(shí)，，所以Sn取得最小值時(shí)，.16．（1）點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為實(shí)軸長的雙曲線,理由見詳解；（2）見解析.【詳解】（1）如圖,連接.因?yàn)闉榈拇怪逼椒志€,所以,所以為定值,又因?yàn)辄c(diǎn)在圓外,所以,根據(jù)雙曲線定義,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為實(shí)軸長的雙曲線.（2）對于方程,當(dāng)時(shí),方程為,即,表示軸;當(dāng)時(shí),方程為,即x=0,表示軸;當(dāng)且時(shí),方程為,若,即時(shí),方程為圓,表示以原點(diǎn)為圓心的單位圓;若,即或時(shí),方程表示雙曲線;若且時(shí),即且時(shí),方程表示橢圓;綜上,當(dāng)時(shí),表示軸;當(dāng)時(shí),表示軸;時(shí),方程表示以原點(diǎn)為圓心的單位圓;或時(shí),方程表示雙曲線;且時(shí),方程表示橢圓;17．(1)證明見解析(2)當(dāng)過圓心時(shí)弦長最長；當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)最短；；最短弦長為【詳解】（1）直線的方程可化為聯(lián)立，解得故直線恒過定點(diǎn)（2）當(dāng)直線過圓心時(shí)，直線被圓截得的弦長最長設(shè)，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長最短則直線的斜率為由得直線的斜率為，解得此時(shí)的方程為，即圓心到直線的距離為∴最短弦長故當(dāng)過圓心時(shí)弦長最長；當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)最短；；最短弦長為18．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點(diǎn)，得，所以，設(shè)平面和平面的一個法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.19．(1)(2)直線的方程為或.【詳解】（1）由題意得，解得，所以.（2）法一：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)該平行線的方程為：，則，解得或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，，此時(shí)該直線與橢圓無交點(diǎn).綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，其中，則有，聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；法四：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，符合題意，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則，解得