2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市2025屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（）A． B．C． D．2．若，則（

）A． B． C． D．3．已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題4．已知向量與滿足，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．5．設(shè)，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個(gè)不同的平面給出下列四個(gè)命題：①若，，α//β，則；②若，，，則；③若，，α//β，則；④若，，，，則．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．6．北宋數(shù)學(xué)家沈括在酒館看見(jiàn)一層層壘起的酒壇，想求這些酒壇的總數(shù)，經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試，終于得出了長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有..........依此類推，最底層有個(gè)小球，共有層.現(xiàn)有一個(gè)由小球堆成的長(zhǎng)方臺(tái)形垛積，共層，小球總個(gè)數(shù)為，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式有且只有三個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)fx=Asinωx+φ（，，）的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．該圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象D．函數(shù)在上單調(diào)遞增10．等差數(shù)列中，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，則11．已知對(duì)任意的，不等式恒成立，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．的最小值為8 D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．等比數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，，則.13．已知三棱錐中，為等邊三角形，，，，，則三棱錐的外接球的半徑為．14．把一個(gè)三階魔方看成是棱長(zhǎng)為1的正方體（圖1），若中間層旋轉(zhuǎn)角（為銳角，如圖2所示），記表面積增加量為，則，S的最大值是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列前項(xiàng)的和為，求.16．已知面積為，角，，的對(duì)邊分別為，，，請(qǐng)從以下條件中任選一個(gè)，解答下列問(wèn)題：①；②；③(1)求角；(2)若，是上的點(diǎn)，平分，的面積為，求角平分線的長(zhǎng).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.17．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點(diǎn).(1)設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，求證：；(2)若，，，求棱錐的體積18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.數(shù)列滿足，，且.(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)記，的前項(xiàng)和記為，是否存在，，使得成立？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)，求函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，若在上恒成立，求證.

答案1．【正確答案】A【分析】通過(guò)解不等式求出的元素，進(jìn)而利用集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】不等式的解集等價(jià)于不等式組的解集，即得，又，解得，于是，，則.故選A.2．【正確答案】D【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)相等的概念求出，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，所以，.故選D.3．【正確答案】B【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取、，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.【詳解】對(duì)于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，對(duì)于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，綜上，和都是真命題.故選B.4．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，有，因?yàn)?，所?解得，,所以，故選：C.5．【正確答案】B【詳解】①若，，α//β，則與平行、相交或異面，故錯(cuò)誤；②若，，則或，又，則，故正確；③若，α//β，則，又，則或，故錯(cuò)誤；④假設(shè)是在面上的投影，，，即，，若，，，得，故正確．

故選：B6．【正確答案】B【詳解】設(shè)各層的小球個(gè)數(shù)為數(shù)列，由題意得，，，，因?yàn)?，可得，，，，則，因?yàn)榍皩有∏蚩倐€(gè)數(shù)為，所以，即，解得或（舍去），所以，可得，即該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.7．【正確答案】D【分析】設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍.【詳解】令，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù).由，得，即，從而，即.故選D.【方法總結(jié)】設(shè)，可得函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，把轉(zhuǎn)化成，再求的取值范圍.8．【正確答案】D【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，而，故當(dāng)時(shí)，恒成立，不等式，當(dāng)時(shí)，或，由，得，原不等式的整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，或，由，得，無(wú)正整數(shù)解，因此原不等式有且只有3個(gè)正整數(shù)解，等價(jià)于不等式有且只有3個(gè)正整數(shù)解，3個(gè)正整數(shù)解只能是，因此，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.9．【正確答案】BC【詳解】由函數(shù)圖象可得，周期，所以，又，所以，則，因?yàn)椋?，故，?duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，該圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，故C正確；對(duì)于D，若，則，此時(shí)函數(shù)不單調(diào)，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10．【正確答案】ABD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)于A項(xiàng)，，計(jì)算即可；對(duì)于B項(xiàng)，由已知計(jì)算數(shù)列公差，再求值即可；對(duì)于C項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性比較大小即可；對(duì)于D項(xiàng)，由，，得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，等差數(shù)列中，，設(shè)公差為，若，則，所以A正確；對(duì)于B項(xiàng)，若，，則，得，所以，所以B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若，，所以公差，當(dāng)時(shí)，有，則有，當(dāng)時(shí)，有，得，所以，則有，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若，則，因?yàn)椋?，所以D正確．故選ABD．11．【正確答案】BC【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，由對(duì)任意的，不等式恒成立，則對(duì)任意的恒成立，所以對(duì)任意的恒成立，此時(shí)不存在，所以，故B正確；

當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)和的圖象的示意圖如圖所示，當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，此時(shí)不恒成立，由對(duì)任意的，不等式恒成立，所以，故A錯(cuò)誤；所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．【正確答案】【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可?！驹斀狻康缺葦?shù)列an的前項(xiàng)和記為,，顯然.則，化簡(jiǎn)得，解得,則，.當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，.故答案為.13．【正確答案】3【詳解】取線段的中點(diǎn)，分別連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，所以，因?yàn)?，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，則垂直平分，因?yàn)?，所以，所以為等腰直角三角形，所以，因?yàn)椋瑒t，所以，又因?yàn)?，平面，，所以平面，則易知，，兩兩垂直且長(zhǎng)度均為，所以可將三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示三棱錐的外接球就是正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為，則.故3.14．【正確答案】【詳解】顯然這些個(gè)三角形全等，且增加的三角形個(gè)數(shù)為16個(gè)，設(shè)三角形的斜邊長(zhǎng)為，則①，所以，當(dāng)時(shí)，由①式得，，所以；，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又由①可得，，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即．故，15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，，所以，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故.（2），所以.16．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）若選①，由三角形的面積公式及余弦定理可得的值，再由角的范圍，可得角的大?。蝗邕x②，由正弦定理及二倍角公式可得的值，再由角的范圍，可得角的大小；若選③，由正弦定理及誘導(dǎo)公式可得角的大??；（2）由等面積法及余弦定理可得角平分線的值．【詳解】（1）若選①，由三角形的面積公式及余弦定理可得，可得，又因?yàn)?，所以；若選②，由正弦定理可得，因?yàn)?，則，所以，所以，又，則，所以，所以，所以，則；若選③，由正弦定理可得，因?yàn)?，則，所以，即，所以，即，又，則，所以，則；（2）因?yàn)椋巧系狞c(diǎn)，平分，的面積為，所以，可得，，由余弦定理可得，即，解得（負(fù)值已舍去），即角平分線的長(zhǎng)為.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）∵平面與直線相交于點(diǎn)，∴平面平面．∵四邊形是菱形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴，故．（2）∵底面為菱形，，∴，為正三角形，又，∴，∵為的中點(diǎn)，∴到平面的距離與到平面的距離相等，又平面，即平面，，∴棱錐的體積為．18．【正確答案】(1)，(2)實(shí)數(shù)的取值范圍為(3)存在這樣的，使得成立【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，由可得：，兩式相減得：，又，從而數(shù)列為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又，兩邊同除以得：，從而數(shù)列為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）因?yàn)?，結(jié)合（1）可得，所以①，②，①-②可得，，，由（1）可得，所以，因?yàn)?，所以，，又單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）由（1）可得，所以，由，可得，所以，所以，所以，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，解得，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，解得，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，解得，解得.所以存在這樣的，使得成立.19．【正確答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，即可求出切線方程；（2）求導(dǎo)，分類討論求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值點(diǎn)的概念即可判斷極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）由題意在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求解最值即可證明.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，，所以，，所以曲線在處的切線方程為.（2），，對(duì)于方程，，①當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，，