2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．已知直線過點(diǎn)且與直線平行，則直線的一般式方程為（

）A． B．C． D．2．“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則的面積為（

）A． B． C． D．4．正方體的棱長(zhǎng)為，則（

）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)F，A分別是橢圓的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，滿足，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．6．已知，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是A． B．C． D．7．已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在外，點(diǎn)在內(nèi)，且，則點(diǎn)到平面的距離（

）A． B． C． D．8．若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則B．若空間中任意一點(diǎn)O，有，則四點(diǎn)共面C．若空間向量，滿足，則與夾角為鈍角D．若空間向量，，則在上的投影向量為10．已知直線和圓，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線恒過點(diǎn)B．圓與圓公共弦所在直線方程為C．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，圓上存在無數(shù)對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)11．2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半粗圓組成的“曲圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點(diǎn)．若過原點(diǎn)的直線與上半橢圓交于點(diǎn)，與下半圓交于點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）

A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B．線段長(zhǎng)度的取值范圍是C．面積的最小值是4D．的周長(zhǎng)為三、填空題12．已知橢圓（）的一個(gè)焦點(diǎn)是（，0），則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是.13．已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則到直線距離的最小值為.14．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題15．已知直線和圓．(1)若直線交圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)；(2)求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．16．已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且橢圓的離心率，其左右焦點(diǎn)分別為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率為且過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積．17．如圖，在以為頂點(diǎn)，母線長(zhǎng)為的圓錐中，底面圓的直徑長(zhǎng)為，是圓所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且是圓的切線，連接交圓于點(diǎn)，連接.(1)求證：平面平面；(2)若是的中點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.18．如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線(1)求橢圓的方程；(2)求中點(diǎn)E的軌跡方程；(3)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值.19．如圖，在四棱錐中，面，且，分別為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，說明理由；(3)在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，滿足，若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)單說明理由；若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)的軌跡圖形形狀.答案：題號(hào)12345678910答案BABDBBCCABDBCD題號(hào)11答案ABD1．B【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】直線的斜截式方程為，則其斜率為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且與直線平行，所以，則直線的點(diǎn)斜式方程為，即為．故選：B.2．A【分析】根據(jù)兩直線垂直解得或，根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.【詳解】若兩直線垂直，則，解得：或，顯然集合是集合的真子集，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.3．B【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，，可得為直角三角形，進(jìn)而可得解.【詳解】由，得，，即，，又，則，，所以為直角三角形，，所以，故選：B.4．D【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合垂直關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，故選：D.5．B【分析】首先根據(jù)推斷出，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可知，把進(jìn)而整理關(guān)于a和c的方程求得即離心率e的值.【詳解】

，，，即，整理得，即，等號(hào)兩邊同時(shí)除以得，即，求得，，，故選：B.6．B【分析】求軌跡方程可設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，再利用求出關(guān)于的坐標(biāo)關(guān)系式，再將坐標(biāo)表達(dá)式代入橢圓方程即可．【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，因?yàn)?，故，化?jiǎn)得，又在橢圓上，故，化簡(jiǎn)得，故選B．求軌跡方程可直接設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)題目所給信息，用含有的表達(dá)式表達(dá)已知方程上的動(dòng)點(diǎn)，再帶入滿足的方程化簡(jiǎn)即可．7．C【分析】由空間向量法可得出，即可得解.【詳解】因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，點(diǎn)在外，點(diǎn)在內(nèi)，且，則點(diǎn)到平面的距離.故選：C.8．C【分析】求出與直線平行且到直線的距離為1的直線的方程為和，數(shù)形結(jié)合可知，圓與直線相交，與直線相離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的取值范圍.【詳解】如圖所示.設(shè)與直線平行且與直線之間的距離為1的直線方程為，則，解得或，圓心到直線的距離為，圓到直線的距離為，由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，所以，即.故選：C9．ABD【分析】根據(jù)題意，由平面法向量的定義分析A，由空間向量基本定理分析B，由向量平行的性質(zhì)分析C，由投影向量分析D．【詳解】對(duì)于A：若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，易得，即，則有，A正確；對(duì)于B：在中，由于，故四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C：當(dāng)，反向共線時(shí)，也成立，但與夾角不為鈍角，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．故選：ABD．10．BCD【分析】選項(xiàng)A，將直線轉(zhuǎn)化成斜截式，即可求解；選項(xiàng)B，利用求兩相交圓公共弦的求法，直接求出公共弦，即可求解；選項(xiàng)C，利用圓性質(zhì)知直線和直線垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，即可求解；選項(xiàng)D，根據(jù)條件可得直線過圓心，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，直線，即，所以直線恒過定點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榈姆匠虨棰?，圓的方程為②，由①②得，所以圓與圓公共弦所在直線方程為，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)最短，又，所以最短弦長(zhǎng)為，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，直線，因?yàn)椋灾本€過圓心，故上存在無數(shù)對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，所以選項(xiàng)D正確，故選：BCD.11．ABD【分析】結(jié)合圓的半徑長(zhǎng)可求得，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得，由此可判斷A；根據(jù)，結(jié)合的范圍可判斷B；設(shè)，利用結(jié)合面積公式可求得，取可判斷C；結(jié)合橢圓定義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，∵半圓所在圓過點(diǎn)，∴半圓的半徑，又橢圓短軸為半圓的直徑，∴，即，又，∴，即，∴橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)于B，∵，，∴，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意知：，則為橢圓的下焦點(diǎn)，由橢圓定義知：，又，∴的周長(zhǎng)為，故D正確.故選：ABD.

12．6【分析】依題意可得，即可求出參數(shù)，從而求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)；【詳解】解：因?yàn)闄E圓（）的一個(gè)焦點(diǎn)是（，0），所以，即所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)故本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.13．【分析】先求出直線的方程，再求出圓心到直線的距離，然后減去半徑，即可求解.【詳解】因?yàn)椋灾本€的方程為，即，又圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，故到直線距離的最小值為.故答案為.14．【分析】考慮直線與曲線相切，且切點(diǎn)位于第二象限時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，即曲線表示圓的上半圓，由題意可知直線與曲線有公共點(diǎn)，如下圖所示：當(dāng)直線與半圓相切且切點(diǎn)位于第二象限時(shí)，則有，解得.由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與半圓有公共點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.15．(1)(2)或【分析】（1）先由圓的方程得到圓心和半徑，根據(jù)幾何法求弦長(zhǎng)，即可得出結(jié)果；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可直接得出切線方程；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，先設(shè)切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑列方程，得出的值即可求出直線方程．【詳解】（1）將圓：化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，所以的圓心為，半徑，所以到直線：的距離，所以；（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線為，是圓的一條切線；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線方程為，即，所以圓心到直線的距離為，即，解得：，所以此時(shí)切線方程為，化簡(jiǎn)得．綜上所述，所求的直線方程為：或．16．(1)(2)【分析】（1）由橢圓的基本性質(zhì)得到橢圓的值，寫出橢圓方程.（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理得到和，用交點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得到線段長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線距離得到三角形高，從而算出三角形面積.【詳解】（1）由題意可知：，則，∵，∴，∴，∴橢圓（2），∴直線：，聯(lián)立方程組得,設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離∴

17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，即可得到，再證明，即可得到平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槭菆A的直徑，與圓切于點(diǎn)，所以，又底面圓，底面圓，，又，平面，平面，又平面，，在中，，，則，，因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所以平面平?（2）因?yàn)榈酌鎴A，如圖以為原點(diǎn)，在底面圓內(nèi)過點(diǎn)作的垂線為軸，分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得，，，，，，由（1）知，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，，由，得到，令，得，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．18．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件列的關(guān)系式求解即可.（2）設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立可表示點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系可得軌跡方程.（3）根據(jù)韋達(dá)定理代入中即可得到定值.【詳解】（1）由題意得，，又∵，∴，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)直線方程為，，由得，，由得，，則，∴，∵E為中點(diǎn)，∴，即，設(shè)，則，由得，故中點(diǎn)E的軌跡方程為.（3）由直線的斜率存在且異于點(diǎn)得，，故且，∴，∴為定值.19．(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析；(3)存在，理由見解析.【分析】（1）過E作交于點(diǎn)G,連接,由線線平面證明面面平行，再由面面平行的性質(zhì)即可得出線面平行的證明；（2）先求出面的法向量，設(shè),利用向量法結(jié)合線面角得正弦值求解即可;（3）由點(diǎn)在空間內(nèi)軌跡為以中點(diǎn)為球心,為半徑的球,而中點(diǎn)到平面的距離為,即可求解.【詳解】（1）如圖，

過E作交于點(diǎn)G,連接,面，面，則，又面，面，且不共線，故，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以也為中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，而平面，平面，所以平面，同理平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，而平?所以平面；（2）