2024-2025學(xué)年湖北部武漢市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年湖北部武漢市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A．0 B．2024 C． D．2．已知直線：，直線：，若，則（）A．2或 B． C．4或 D．43．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓在點(diǎn)P處的切線方程為（）A． B．C． D．4．已知圓：和：，若動(dòng)圓P與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，記該動(dòng)圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（）A． B．C． D．5．某學(xué)校的高一、高二及高三年級(jí)分別有學(xué)生1000人、1200人、800人，用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為30人的樣本，抽出的高一、高二及高三年級(jí)學(xué)生的平均身高為165cm、168cm、171cm，估計(jì)該校學(xué)生的平均身高是（）A．166.4cm B．167.2cm C．167.8cm D．170.0cm6．已知向量，，若，則（）A．3 B． C．1 D．7．已知點(diǎn)，平面，其中，則點(diǎn)到平面的距離是（）A． B．2 C． D．38．如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線與y軸的正半軸交于A點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為Q，若，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中，正確的有（）A．直線在y軸的截距是2B．直線的傾斜角為C．直線l沿x軸向左平移3個(gè)單位，再沿y軸向上平移1個(gè)單位長度后，回到原來的位置，則直線l的斜率為D．點(diǎn)在直線l：上，直線l的方程可化為．10．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．若，且，則D．若且，則11．四葉草也叫幸運(yùn)草，四片葉子分別象征著：成功，幸福，平安，健康，表達(dá)了人們對美好生活的向往，梵客雅寶公司在設(shè)計(jì)四葉草吊墜時(shí)，利用了曲線Ω：，進(jìn)行繪制，點(diǎn)在曲線Ω上，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．曲線Ω圍成的圖形面積為B．的最小值是C．直線PQ的斜率的最大值為1D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．橢圓的長軸長為．13．甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨(dú)立且無平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲執(zhí)黑子先下，則甲、乙各勝一局的概率為．14．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”事實(shí)上，很多的代數(shù)問題都可以通過轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題．已知點(diǎn)在直線：上，點(diǎn)在直線：上，且，結(jié)合上述觀點(diǎn)，的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)，的平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AD所在直線方程為，記，的面積分別為，．(1)求；(2)求頂點(diǎn)A坐標(biāo)．16．圖1是邊長為的正方形ABCD，將沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐，且．

(1)證明：平面平面ABC；(2)點(diǎn)M是棱PA上的點(diǎn)，且，求平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值．17．“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項(xiàng)活動(dòng)，出現(xiàn)在宋朝．南宋時(shí)，首都臨安每逢元宵節(jié)時(shí)制迷，猜謎的人眾多．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了15道，乙同學(xué)猜對了8道，丙同學(xué)猜對了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等．(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對的概率為，求n的值．18．已知圓E：，直線l：．(1)討論l與圓E的位置關(guān)系；(2)若l與圓E相交于M，N兩點(diǎn)，圓心E到l的距離為，另有一圓C的圓心在線段MN上，且圓C與圓E相切，切點(diǎn)在劣弧MN上，求圓C的半徑的最大值．19．如圖，在多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，，，M為BC的中點(diǎn)，，，．

(1)證明：；(2)若平面PCD與平面QAB夾角的余弦值為，求多面體ABCDPQ的體積．

答案1．【正確答案】D【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】若，則，解得，當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線平行，符合題意；綜上所述.故選：B.3．【正確答案】D【詳解】圓的圓心，直線的斜率，因此圓在點(diǎn)P處的切線方程為，即.故選：D4．【正確答案】B【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，由，得圓內(nèi)含于圓內(nèi)，設(shè)動(dòng)圓半徑為,依題意，，，則，因此點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，所以M的方程為.故選：B5．【正確答案】C【詳解】依題意，容量為30人的樣本中，高一年級(jí)的學(xué)生數(shù)為，高二年級(jí)的學(xué)生數(shù)為，高三年級(jí)的學(xué)生數(shù)為，所以該校學(xué)生的平均身高大約為.故選：C6．【正確答案】A【詳解】由向量，，得，由，得，所以.故選：A7．【正確答案】C【詳解】由平面，得是平面的法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，，所以點(diǎn)到平面的距離是.故選：C8．【正確答案】A【詳解】令與圓相切的切點(diǎn)分別為，由橢圓定義得，即，由，得，即，由對稱性得，即，解得，所以該橢圓的離心率為.故選：A9．【正確答案】BCD【詳解】對于A，直線在y軸的截距是，A錯(cuò)誤；對于B，直線的斜率為，其傾斜角為，B正確；對于C，設(shè)直線的方程為，則變換后的直線方程為，依題意，，解得，直線的斜率為，C正確；對于D，由點(diǎn)在直線l：上，得，因此該直線方程為，D正確.故選：BCD10．【正確答案】AC【詳解】由，，得，對于A，，A正確；對于B，，B錯(cuò)誤；對于C，由，，得，解得，C正確；對于D，由且，得，無解，D錯(cuò)誤.故選：AC11．【正確答案】ACD【詳解】對曲線方程：，當(dāng)時(shí)，可化為，即，故曲線Ω在第一象限是圓心為，半徑為的圓上的一段圓?。桓鶕?jù)對稱性可知，該曲線關(guān)于軸，軸，以及坐標(biāo)原點(diǎn)均對稱，故其曲線繪制如下：對A：記點(diǎn)，顯然均在曲線Ω上，如下所示：因?yàn)?，故三點(diǎn)共線，則該曲線在第一象限內(nèi)的面積為一個(gè)半圓的面積和△面積之和；故曲線Ω圍成的圖形面積，故A正確；對B：設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，根據(jù)對稱性可知，曲線Ω在第三象限內(nèi)的部分是在圓心為，半徑為的圓上；數(shù)形結(jié)合可知，點(diǎn)到直線的距離最小值為，故的最小值為，故B錯(cuò)誤；對C：根據(jù)題意，作圖如下：數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)為過且與曲線Ω在第四象限內(nèi)的圓弧相切時(shí)，其斜率取得最大值；根據(jù)對稱性，曲線Ω在第四象限的部分是在圓心為，半徑為的圓弧，其方程為，設(shè)過點(diǎn)，且斜率存在的直線為，故可得，整理得：，，解得（舍去）或k=1，故斜率的最大值為，故C正確；對D：記曲線Ω在第一和第二象限圓弧的圓心分別為，顯然，如下所示：根據(jù)圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)距離的最值求解，數(shù)形結(jié)合可知：當(dāng)點(diǎn)在第一，第四象限時(shí)，可以取到最小值；當(dāng)點(diǎn)在第二，第三象限時(shí)，可取到最大值；為方便，只討論第一，第二象限的情況；當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，的最小值為；當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，的最大值為；故的取值范圍為：，故D正確；故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，所以長軸長為，故13．【正確答案】【詳解】第一局甲勝，第二局乙勝：甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，因此第一局甲勝，第二局乙勝的概率為；第一局乙勝，第二局甲勝：乙勝第一局的概率為，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為，因此第一局乙勝，第二局甲勝的概率為；所以甲、乙各勝一局的概率為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由已知表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，

過點(diǎn)A作，垂足為，因?yàn)橹本€的方程為，，則，又直線與直線平行，，則，可得，則四邊形為平行四邊形，所以，可得，且，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，因?yàn)檫^點(diǎn)與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，所以的最小值為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知：直線，對于直線，令，可得，即，可得，所以.（2）設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，解得，即，可知直線，即，聯(lián)立方程，解得，所以頂點(diǎn)A坐標(biāo)為.16．【正確答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）由于正方形ABCD的邊長為，所以，取AC的中點(diǎn)O，連接PO，BO，由題意，得，再由，可得，即．由題易知，又，面，所以平面ABC，又平面PAC，所以平面平面ABC．（2）由（1）可知，，且，故以O(shè)C，OB，OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，，，．所以，，，由題意知，則．可得．設(shè)平面MBC的法向量為，則，令，則，可得；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得；則，所以平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值.17．【正確答案】(1)(2)16【詳解】（1）設(shè)“任選一道燈謎甲猜對”，“任選一道燈謎乙猜對”，“任選一道燈謎丙猜對”.則，，，可得，，.“甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對”，且與互斥.每位同學(xué)獨(dú)立競猜，故A，互相獨(dú)立，則A與，與，與均相互獨(dú)立.所以，所以甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對的概率為.（2）設(shè)“甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對”，則.所以，解得，所以n的值16.18．【正確答案】(1)答案見解析.(2).【詳解】（1）圓：的圓心，且，即或m>0，圓的半徑，設(shè)圓心到的距離為，則，若，則，解得，則當(dāng)或時(shí)，直線與圓相離；若，則當(dāng)或，直線與圓相切；若，則當(dāng)或，直線與圓相交.（2）由（1）知，解得或，則，圓，圓心，半徑，依題意，圓的圓心在圓內(nèi)且兩圓內(nèi)切，記圓的半徑為，由切點(diǎn)在劣弧上，知，，又點(diǎn)在線段上，則，當(dāng)且僅當(dāng)圓心與線段的中點(diǎn)重合時(shí)，最大，且.所以圓的半徑的最大值為.19．【正確答