2024-2025學年吉林省長春市長春汽車經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)高二上學期期中考試數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年吉林省長春市長春汽車經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)高二上學期期中考試數(shù)學檢測試題一、單選題1．拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．2．與雙曲線有公共焦點，且長軸長為6的橢圓方程為（）A． B．C． D．3．在等差數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．1 D．44．已知橢圓，其上頂點為，左?右焦點分別為，且三角形為等邊三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知圓：與圓：相內切，則與的公切線方程為（

）A． B．C． D．6．過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．7．已知雙曲線的右焦點為，點，若直線與只有一個交點，則（

）A． B． C． D．8．圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，若是該拋物線上一點，點，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題9．已知曲線，，則（

）A．的長軸長為4 B．的漸近線方程為C．與的焦點坐標相同 D．與的離心率互為倒數(shù)10．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結論錯誤的是（

）A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當取得最大值時， D．11．過拋物線上一點作兩條相互垂直的直線，與的另外兩個交點分別為，則（

）A．的準線方程是B．過的焦點的最短弦長為2C．直線過定點D．若直線過點，則的面積為24三、填空題12．若拋物線C：上的一點到焦點的距離為，到軸的距離為3，則.13．公差為的等差數(shù)列的首項為，前項和為，且滿足，則．14．如圖，我們把由半橢圓和半橢圓合成的曲線稱作“果圓”．，，是相應半橢圓的焦點，則的周長為．四、解答題15．在等差數(shù)列中，的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的最大值和取得最大值時的值.16．已知點P是橢圓上的一點，和分別為左右焦點，焦距為6，且過.(1)求橢圓的標準方程；(2)若動直線l過與橢圓交于A、B兩點，求的周長.17．已知拋物線的焦點為是拋物線上的點，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．18．已知雙曲線的虛軸長為2，且離心率為．(1)求的方程和焦點坐標；(2)設的右焦點為，過的直線交于兩點，若中點的橫坐標為3，求．19．已知橢圓的離心率，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若經(jīng)過定點的直線與橢圓交于兩點，記橢圓的上頂點為，當直線的斜率變化時，求面積的最大值.答案：題號12345678910答案ABDADABBBDABC題號11答案AC1．A【分析】由拋物線方程求出的值，從而可求出其焦點坐標.【詳解】由于拋物線的方程為，所以，，則所以拋物線的焦點坐標是，故選：A.2．B【分析】先求得雙曲線的焦點坐標，再根據(jù)橢圓的長軸長為6求解.【詳解】解：雙曲線的焦點坐標為：，即橢圓的焦點為，又長軸長為6，即，所以橢圓的方程為，故選：B3．D【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標和性質計算可得.【詳解】等差數(shù)列中，，，所以，解得.故選：D4．A【分析】根據(jù)題意，結合橢圓離心率的定義，即可求求解.【詳解】如圖所示，橢圓，其上頂點為，左?右焦點分別為，為等邊三角形，則橢圓的離心率為.故選：A.

5．D【分析】由兩圓的位置關系得出，進而聯(lián)立兩圓方程得出公切線方程.【詳解】圓：的圓心，圓：可化為，，則其圓心為，半徑為，因為圓與圓相內切，所以，即，故.由，可得，即與的公切線方程為.故選：D6．A【分析】利用點差法求解.【詳解】解：設，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗此時與雙曲線有兩個交點.故選：A7．B【分析】根據(jù)題意分析可得直線與漸近線平行，結合平行關系運算求解.【詳解】雙曲線可得，，，所以雙曲線的漸近線方程為，右焦點為，因為直線與只有一個交點，所以直線與雙曲線的漸近線平行，所以，解得.故選：B.8．B【分析】由已知點在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結合拋物線定義求的最小值.【詳解】設拋物線的方程為，因為，，所以點在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，在方程中取可得，所以點在拋物線內，過點作與準線垂直，為垂足，點作與準線垂直，為垂足，則，所以，當且僅當直線與準線垂直時等號成立，所以的最小值為3，故選：B.9．BD【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的標準方程，結合它們的幾何性質逐項判斷即可得.【詳解】由，即為：，故焦點在軸上，長軸長為，故A錯誤；焦點坐標為，離心率為，對，漸近線方程為，故B正確；焦點坐標為，與的焦點坐標不相同，故C錯誤；離心率為，與的離心率互為倒數(shù)，故D正確.故選：BD.10．ABC【分析】由等差數(shù)列的求和公式結合已知條件可得，，從而得且，進而可得出答案．【詳解】等差數(shù)列的前項和為，，所以，，所以，所以且，所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且當時，取得最大值．故D正確，ABC錯誤．故選：ABC．11．AC【分析】由題可得拋物線為，進而判斷A；利用焦點弦的方程結合拋物線的定義結合條件可判斷B；設直線為，聯(lián)立拋物線利用韋達定理結合條件可得m、n的數(shù)量關系，可判斷C；由直線過點可得直線為，進而結合點到直線的距離和弦長公式求解，進而判斷D.【詳解】將代入中得，即，則拋物線為，所以的準線方程是，故A正確；拋物線的焦點為，可設過的焦點的直線為，聯(lián)立x=ty+1y2=4x，可得，設交點為則，，所以，即過C的焦點的最短弦長為4，故B不正確；設，，直線為，聯(lián)立，可得：，所以，，又，所以，因為，，即，所以，化簡整理得，即，得，所以直線為，所以直線過定點，故C正確；若直線過點，則，即，，所以，，直線為，即，所以，點到直線的距離為，所以，故D不正確.故選：AC.12．2【分析】由拋物線的定義可得，解之即可求得.【詳解】拋物線C：上的一點到焦點的距離為，該點到準線的距離為.又該點到軸的距離為3，，解之可得或，又.故答案為.13．【分析】根據(jù)通項公式化簡已知，結合求和公式整體代入可得.【詳解】由題知，，整理得，所以.故14．/【分析】根據(jù)各半橢圓方程可得，，的坐標，再根據(jù)兩點間距離公式求得距離及周長.【詳解】由，是半橢圓的焦點，得，，由是半橢圓的焦點，得，則，，所以的周長為.故15．(1)(2),.【分析】（1）根據(jù)通項公式列方程組求出首項和公差即可得通項公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結合二次函數(shù)性質可解.【詳解】（1）記數(shù)列的公差為，則，解得，所以.（2）由（1）知，，所以，當時，取得最大值.16．(1)(2)20【分析】（1）根據(jù)焦距可求，根據(jù)所過點可求，進而得到方程；（2）利用橢圓的定義可得的周長為，代入可得答案.【詳解】（1）設焦距為，由，得，又橢圓過，∴，得，∴橢圓的標準方程為；（2）動直線l過與橢圓交于A、B兩點，∴，，∴，∴的周長為20.

17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解；（2）設點代入拋物線方程，然后利用點差法求解直線的斜率，然后根據(jù)點斜式即可解得直線的方程；【詳解】（1）因為，所以，故拋物線的方程為．（2）

易知直線的斜率存在，設直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因為的中點為，所以，所以直線的方程為，即.18．(1)方程為，左、右焦點坐標分別為(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線虛軸長以及離心率聯(lián)立方程組即可得出的方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，由韋達定理以及弦長公式計算可得.【詳解】（1）因為的離心率為，又的虛軸長為2，所以，又，聯(lián)立解得，，所以的方程為，左、右焦點坐標分別為．（2）由（1）知，根據(jù)題意易得過的直線斜率存在，設的直線方程為，如下圖所示：聯(lián)立，化簡得，所以，因為中點橫坐標為3，所以，解得，所以，則，則．19．(1)(2)16【分析】根據(jù)離心率的值和定義可以求出之間的關系式，待定系數(shù)法設出橢圓方程后把已知點代入求解即可.設出直線方程后，聯(lián)立直線和橢圓方程，