2024-2025學(xué)年山東省濟南市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省濟南市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知分別是平面的法向量，若，則（

）A． B． C．1 D．73．已知橢圓的長軸長為4，離心率為，則該橢圓的方程為（

）A． B．C． D．4．點關(guān)于直線的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．5．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．若離心率為的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．7．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點A到直線BC的距離為（

）A． B．1 C． D．8．已知直線與曲線恰有三個不同交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法中，正確的有（

）A．直線在軸上的截距為B．直線必過定點C．若過點1,2的直線的截距相等，則該直線方程為或D．若兩直線平行，則或10．已知橢圓內(nèi)一點，直線與橢圓交于，兩點，且為線段的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的焦點坐標為， B．的長軸長為C．直線的方程為 D．11．如圖，在正四棱柱中，，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若為的中點，則直線平面C．異面直線與所成角的正弦值的范圍是D．直線與平面所成角的正弦的最大值為三、填空題12．已知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為13．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為14．已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與圓相切于點，與的右支交于點，若，則的離心率為．四、解答題15．求經(jīng)過直線和直線的交點C，并且滿足下列條件的直線方程.(1)與直線平行；(2)到原點的距離等于1.16．在平面內(nèi)，，，C為動點，若，(1)求點C的軌跡方程；(2)已知直線l過點（1，2），求曲線C截直線l所得的弦長的最小值.17．如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個三等分點，是半球面上一點，且．

(1)證明：平面：(2)若點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．18．已知橢圓：（）過點，且橢圓的離心率為.過橢圓左焦點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）求線段的垂直平分線的方程；（3）求三角形的面積.（為坐標原點）19．已知雙曲線的左焦點，一條漸近線方程為，過做直線與雙曲線左支交于兩點，點，延長與雙曲線右支交于兩點．(1)求雙曲線的方程；(2)判斷直線是否過定點?若過定點，求出該點的坐標；若不過定點，請說明理由．答案：題號12345678910答案ADACBCADBCCD題號11答案ACD1．A【分析】求出直線的斜率，然后根據(jù)斜率的定義即可求得傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，方程可化為，所以直線的斜率為，即，又，所以傾斜角.故選：A.2．D【分析】根據(jù)兩平面垂直可得法向量垂直，即可根據(jù)坐標運算求解.【詳解】由，所以，，解得.故選：D.3．A【分析】根據(jù)長軸以及離心率即可求解.【詳解】由長軸長為4，可得，又離心率為，即，解得，故，所以橢圓方程為，故選：A4．C【分析】求出垂直于直線且過點的表達式，求出交點坐標，即可得出關(guān)于直線的對稱點.【詳解】由題意，在直線中，斜率為，垂直于直線且過點的直線方程為，即，設(shè)兩直線交點為，由，解得：，∴,∴點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，即，故選：C.5．B根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因為圓，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B6．C【分析】根據(jù)雙曲線離心率求得，再根據(jù)雙曲線的一條漸近線與直線垂直列出，求解.【詳解】，所以，得漸近線為，因為其中一條漸近線與直線垂直，則，得．故選：C7．A【分析】利用向量的模，向量的夾角及三角函數(shù)即可求出點到直線的距離.【詳解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴點A到直線BC的距離為：d＝＝1×＝．故選：A本題主要考查了向量坐標的運算，向量的模，向量的夾角，屬于容易題.8．D【分析】先運算轉(zhuǎn)化曲線的方程形式，再作出圖形，數(shù)形結(jié)合，隨著直線平行移動，與曲線有三個不同交點，求出直線截距范圍即可.【詳解】曲線可化為，當時，，則，故此時曲線為橢圓的上半部分；當時，，則，故此時曲線為雙曲線的上半部分，且漸近線方程為；直線，表示一組斜率為的平行直線，如圖，當直線過點2,0時，，解得；當直線與橢圓上半部分相切時，由，消化簡得，由，解得，又直線與橢圓上半部分相切，則，故，要使直線與曲線恰有三個不同交點，結(jié)合圖形可得，實數(shù)的取值范圍為.故選：D.9．BC【分析】對A，令，求出直線在軸上的截距；對B，將直線方程變形后得到所過定點；對C，分截距為0和不為0，兩種情況，求出直線方程；對D，根據(jù)兩直線平行的充要條件求解.【詳解】對于A，令，可得，所以直線在軸上的截距為，故A錯誤；對于B，由，可得，所以直線過定點，故B正確；對于C，當直線在軸和軸上截距都為時，設(shè)直線方程為，將代入，可得，所以，當直線在軸和軸上截距都不為時，設(shè)方程為，代入，解得：，故此時直線方程為，綜上，直線方程為或，故C正確；對于D，由題可得，解得或，當時，的方程為，的方程為，重合，矛盾，當時，的方程為，的方程為，滿足條件，，故D錯誤.故選：BC.10．CD【分析】由題意可求得判斷AB，利用點差法求得直線的斜率，寫出直線方程判斷C，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由弦長公式求弦長判斷D【詳解】由，得橢圓焦點在軸上，且，則，所以橢圓的焦點坐標為，長軸長為，所以AB錯誤，設(shè)，則，，兩式作差得，因為為線段的中點，所以，，所以，所以直線的方程為，即，所以C正確，由和，得，則，所以，所以D正確，故選：CD11．ACD【分析】證明出平面，可知點到平面的距離等于點到平面的距離，利用錐體的體積公式可判斷A選項；以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設(shè)，利用空間向量法可判斷BCD選項.【詳解】對于A選項，在正四棱柱中，，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面，平面，所以，平面，因為，所以，點到平面的距離等于點到平面的距離，所以，為定值，A對；對于B選項，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則、、、、、，因為為的中點，則，則，，所以，，所以，與不垂直，故當為的中點時，直線與平面不垂直，B錯；對于C選項，，設(shè)，則，，所以，，因為，則，所以，，所以，，因此，異面直線與所成角的正弦值的范圍是，C對；對于D選項，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，此時，，，所以，，當且僅當時，等號成立，故直線與平面所成角的正弦的最大值為，D對.故選：ACD.方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.12．8【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合基本不等式，求出的最大值．【詳解】設(shè)，，，所以，因為，所以，當且僅當時取等號，所以的最大值為8.故8.13．【分析】先將表示為，然后根據(jù)向量的數(shù)量積運算結(jié)合長度和角度求解出.【詳解】因為，所以，.故答案為.14．/【分析】先利用條件表示出，然后在三角形中利用余弦定理列式計算得到，進而根據(jù)求出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為，則，則，所以，又，所以，整理得，所以.故答案為.

15．(1)(2)或【分析】（1）設(shè)所求直線為，整理為一般方程后利用兩直線平行的充要條件可求，即得解；（2）設(shè)所求直線為，整理為一般方程后利用點到直線距離求解，即得解.【詳解】（1）設(shè)所求直線為，即，因為此直線與平行，所以，解得，故所求直線為.（2）由于原點到直線的距離為，設(shè)所求直線為，即，所以，解得或，故所求直線方程為或.16．(1)(2)【分析】(1)代入法即可求得軌跡方程為圓.(2)由直線l過點(1,2)在圓內(nèi)即可得到弦長最小值.【詳解】（1）設(shè)，，，，得.（2），點（1，2）在圓內(nèi)，當直線l為如圖所示位置時，當直線與點(1,2)與圓心連線垂直時，截得弦長CD最短，即，.故最短弦長為.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，可證為的中點且，可得，又，由線面垂直的判定可證；（2）以點為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，用向量法可求解.【詳解】（1）連接，因為是底面半圓弧上的兩個三等分點，所以有，又因為，所以都為正三角形，所以，四邊形是菱形，記與的交點為，為和的中點，因為，所以三角形為正三角形，所以，所以，因為是半球面上一點，是半球的直徑，所以，因為，平面，所以平面．（2）因為點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，由（1）知為的中點，為正三角形，所以，所以底面，因為四邊形是菱形，所以，即兩兩互相垂直，以點為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，取，則，設(shè)直線與平面的所成角為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．18．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由條件得到，求橢圓方程；（2）直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立求線段的中點，寫出垂直平分線方程；（3）利用弦長公式求出，再利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，進而可計算出三角形的面積.【詳解】（1）由題意可知，，，，橢圓的方程是；（2）橢圓的左焦點,直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，得，，，代入直線的方程得，線段的中點是，并且線段的垂直平分線的斜率是-1，線段的垂直平分線的方程是，即；（3）由（2）可知，，，原點到直線的距離，.本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查直線方程和橢圓中三角形面積的求法，第二問中設(shè)而不求的基本方法也使得求解過程變得簡單，在解決圓錐曲線與動直線問題中，韋達定理，弦長公式都是解題的基本工具.19．(1)(2)過定點【分析】（1）由雙曲線幾何性質(zhì)求方程；（2）分斜率存在于不存在分別研究，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，設(shè)，則直線的方程為，與雙曲線求交點得，同理，從而求出直線的方程，可證.【詳解】（1）由題意可知：解得雙曲線的方程為（2）當直線的斜率存