2024-2025學(xué)年上海市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．【正確答案】【分析】根據(jù)分式和根式對(duì)自變量的要求可得答案.因?yàn)?，所以，即，所以定義域?yàn)?故答案為.2.計(jì)算______．【正確答案】##【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可故答案為.3.已知是1與9的等比中項(xiàng)，則正實(shí)數(shù)______．【正確答案】3【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的定義得到方程，解出即可.由題意得，且，解得.故3.4.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）．【正確答案】18【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的公式即可得到答案.的展開(kāi)式中第項(xiàng)為：，∴令，即，∴的系數(shù)為：18故185.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限.【正確答案】三【分析】經(jīng)計(jì)算結(jié)合復(fù)數(shù)的坐標(biāo)形式可得所在象限.，其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，故該點(diǎn)在第三象限.故三6.已知，則______．【正確答案】##【分析】依題意利用兩角之間的關(guān)系并根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算可得結(jié)果.根據(jù)題意，由誘導(dǎo)公式可得,所以.故7.已知集合，其中可以相同，用列舉法表示集合中最小的4個(gè)元素所構(gòu)成的集合為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】是自然數(shù)集且，所以的值越小，則的值越小，注意相同元素要舍去，即可得到對(duì)應(yīng)集合.要想越小，則取值越小，故時(shí)，；故時(shí)，；故時(shí)，；故時(shí)，；故集合中最小的4個(gè)元素所構(gòu)成的集合為，故答案為.8.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則的極大值點(diǎn)為_(kāi)_____（從中選擇作答）．【正確答案】a【分析】由圖象可得與1的大小情況，由此可得與0的大小關(guān)系，即可得單調(diào)性.，則.又由圖可得時(shí)，；時(shí)，.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.則的極大值點(diǎn)為a.故a9.已知函數(shù)．在中，，且，則______．【正確答案】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)題意，得到，進(jìn)而求得，即可求解；由函數(shù)，因?yàn)椋傻茫谥?，因，所以，又因?yàn)?，所以，所以，解得，因?yàn)椋?故答案為.10.如圖，線段相交于，且長(zhǎng)度構(gòu)成集合，則的取值個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．【正確答案】4【分析】由直角三角形性質(zhì)可得或，后由勾股定理結(jié)合集合互異性可得答案.如圖，因?yàn)?，且長(zhǎng)度構(gòu)成集合，因?yàn)橹苯侨切沃?，斜邊一定大于直角邊和，所以或，?dāng)時(shí)，可分為，此時(shí)由勾股定理可得，解得；，此時(shí)由勾股定理可得，解得；，此時(shí)由勾股定理可得，解得；由集合的互異性，可知3需舍去；當(dāng)，可分為：，解得；，解得；，解得；綜上，的值可能為.故411.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．設(shè)線段的中點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，則的最大值是______．【正確答案】1【分析】由拋物線定義對(duì)線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再由中位線得到線段，解三角形得到線段，由基本不等式得到取值范圍，從而得到最值.設(shè)，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可知，，在梯形中，有，在中，，又，，故的最大值是1．故1.12.平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，且圓心在兩定點(diǎn)所確定的直線上，結(jié)合以上知識(shí)，請(qǐng)嘗試解決如下問(wèn)題：已知滿足，則的取值范圍為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】利用題目提供信息結(jié)合圖形，將轉(zhuǎn)化為，后由圖形以及不等式知識(shí)可得答案.如圖所示建立坐標(biāo)系，則．其中,則.設(shè)滿足，故，整理得到.故．當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即BE與單位圓相切，在時(shí)，有最小值為；又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).又注意到當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).則，當(dāng)，即在等號(hào)成立．故．關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題所給信息涉及“阿氏圓”，我們常利用“阿氏圓”將不同系數(shù)的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗤禂?shù)求值.題中所涉不等式：為均值不等式鏈的一部分，即平方平均大于算術(shù)平均.二、選擇題（本大題共4題，滿分20分）13.已知是非零實(shí)數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】AD選項(xiàng)可以通過(guò)取特殊值使得式子不成立，從而排除錯(cuò)誤選項(xiàng)；C選項(xiàng)通過(guò)基本不等式得到的結(jié)果可以取等號(hào)與題目不符也排除；B選項(xiàng)討論的取值范圍，當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)通過(guò)構(gòu)造二次函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)值為正，從而證明結(jié)論.詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，顯然不成立；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，當(dāng)時(shí)，，令，在上單調(diào)遞增且，即，又∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴即，∴恒成立；C選項(xiàng)，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故不恒成立；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，顯然不成立.故選：B.14.已知直線，動(dòng)直線，則下列結(jié)論正確的為（）A.不存在，使得的傾斜角為 B.對(duì)任意的，與都不垂直C.存在，使得與重合 D.對(duì)任意的，與都有公共點(diǎn)【正確答案】D【分析】通過(guò)斜率不存在即可得到傾斜角可以為，首先討論斜率是否存在，斜率存在的情況下兩直線的位置關(guān)系：斜率為乘積為得到垂直關(guān)系；斜率相等得到平行（重合），反之即不成立.當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線，此時(shí)傾斜角為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，顯然與都不垂直；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即存在使得與垂直，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，顯然與都不重合且有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)解，即不存在，使得與平行，但有公共點(diǎn)；故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；故選：D.15.一組學(xué)生站成一排.若任意相鄰的3人中都至少有2名男生，且任意相鄰的5人中都至多有3名男生，則這組學(xué)生人數(shù)的最大值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】考慮前7個(gè)人，分別每相鄰的3人取成一組與每相鄰的5人取成一組，從而推出矛盾，再考慮人數(shù)為6的情況，由此得解.如果人數(shù)大于6，考慮前7個(gè)人：，每相鄰的3人取成一組，則有5組，因?yàn)槿我庀噜彽?人中都至少有2名男生，所以這5個(gè)組里至少有10名男生，即這15人中至少有10名男生；每相鄰的5人取成一組，則有3組，因?yàn)槿我庀噜彽?人中都至多有3名男生，所以這3個(gè)組里至多有9名男生，即這15人中至多有9名男生；顯然矛盾，故人數(shù)不可能大于6，當(dāng)人數(shù)6時(shí)，用表示男生，表示女生，則可以.故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是找到矛盾的分界人數(shù)，利用條件推出矛盾，從而得解.16.若，有限數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切都成立．給出下列兩個(gè)命題：①存在，使得是等差數(shù)列；②對(duì)于任意的，都不是等比數(shù)列．則（）A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題C.①②都是真命題 D.①②都是假命題【正確答案】C【分析】判斷特稱命題為真命題只需知道一個(gè)合適的值即可，判斷全稱命題為證明題就需要嚴(yán)格證明，本題因?yàn)閿?shù)列公比不確定，通過(guò)討論公比的值通過(guò)條件能否找到對(duì)應(yīng)數(shù)列即可判斷真假.對(duì)于①：例如，則，滿足是等差數(shù)列，且對(duì)一切都成立，故①正確；對(duì)于②：若an是等比數(shù)列，設(shè)公比為，顯然1．當(dāng)時(shí)，，不合題意；2．當(dāng)時(shí)，，不合題意；3．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則a11?qk1?q（1）當(dāng)時(shí)，則，即，解得，不合題意；（2）當(dāng)時(shí)，若為偶數(shù)，則，即，解得，不合題意；（3）當(dāng)時(shí)，若為偶數(shù)，則，即，整理得qkq+1綜上所述：不存在滿足題意，即不可能是等比數(shù)列，故②正確；故選：C．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵點(diǎn)是，熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，從而分析得解.三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.如圖，為正方體，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上（不包含端點(diǎn)），記．（1）求證：；（2）若異面直線與所成角為，求值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）連接．由已知可得，線面垂直判定定理得到平面，再用線面垂直性質(zhì)得到．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，借助向量夾角余弦值公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連接．由已知可得，平面平面，所以，又是正方形，所以，又平面平面，所以平面，又動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上，所以平面，所以平面，所以．【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則．由已知，可得，設(shè)點(diǎn)，則，所以，所以，即，所以，．又異面直線與所成角為，所以，即，解得或0，因?yàn)?，所以滿足條件．18.已知點(diǎn)、、，是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若，求的值；（2）若實(shí)數(shù)、滿足，，求的最大值.【正確答案】（1）；（2），時(shí)有最大值16.【分析】（1）根據(jù)，代入向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，再兩邊平方得的值；（2）根據(jù)，可得，代入求最大值.，兩邊平方后可得，；（2），，，，，時(shí)，取得最大值16，此時(shí)，的最大值16.本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)結(jié)合求值和最值的問(wèn)題，意在考查轉(zhuǎn)化與三角函數(shù)恒等變形，屬于基礎(chǔ)題型，形如類型函數(shù)的值域，根據(jù)定義域先求的范圍，再求的范圍.19.生活中人們喜愛(ài)用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對(duì)跑步軟件的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛(ài)使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四中學(xué)生80604020大學(xué)生30202010假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對(duì)跑步軟件的喜愛(ài)互不影響.（1）從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)這2人都最喜愛(ài)使用跑步軟件一的概率；（2）采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人.記為這人中最喜愛(ài)使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）記樣本中的中學(xué)生最喜愛(ài)使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學(xué)生最喜愛(ài)使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【正確答案】（1）（2）分布列詳見(jiàn)解析，（3）【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件乘法公式求得正確答案.（2）根據(jù)分層抽樣以及超幾何分布的知識(shí)求得分布列并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.（3）通過(guò)計(jì)算，，來(lái)確定正確答案.【小問(wèn)1詳解】從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，這人都最喜愛(ài)使用跑步軟件一的概率為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槌槿〉娜酥凶钕矏?ài)跑步軟件二的人數(shù)為，所以的所有可能取值為，，所以的分布列為：所以.【小問(wèn)3詳解】，證明如下：，，所以.，，所以.數(shù)據(jù)：，，，，，，，，對(duì)應(yīng)的平均數(shù)為所以所以.20.在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，設(shè)不經(jīng)過(guò)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，焦點(diǎn)到直線的距離為．（1）求該橢圓的離心率；（2）若直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值；（3）如果直線的斜率依次成等差數(shù)列，求的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由標(biāo)準(zhǔn)方程直接求離心率；（2）由面積公式得到面積，討論動(dòng)點(diǎn)的位置，得到面積最大值；（3）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元得到二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，從而得到斜率的表達(dá)式，由等差數(shù)量的性質(zhì)建立等量關(guān)系得出的取值范圍，列出點(diǎn)到直線的距離代數(shù)式，建立對(duì)于函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由橢圓方程，知，故，所以橢圓的離心率【小問(wèn)2詳解】若直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，為橢圓上（下）頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，此時(shí)面積取得最大值為．【小問(wèn)3詳解】設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得．由，得．①設(shè)，則．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)橹本€不過(guò)焦點(diǎn)，所以，所以，從而，即．②由①②得，化簡(jiǎn)得解得．③焦點(diǎn)到直線的距離．令，由知．于是．考慮到函數(shù)在上嚴(yán)格減，在嚴(yán)格增所以，綜上可知，的取值范圍為．21.若斜率為的兩條平行直線，曲線滿足以下兩條性質(zhì)：（Ⅰ）分別與曲線至少有兩個(gè)切點(diǎn)；（Ⅱ）曲線上的所有點(diǎn)都在之間或兩條直線上．則稱直線為曲線的一對(duì)“雙夾線”，把“雙夾線”之間的距離稱為曲線在“方向上的寬度”，記為，已知曲線.（1）判斷時(shí)，曲線是否存在“雙夾線”，并說(shuō)明理由；（2）若，試問(wèn)：和是否是函數(shù)的一對(duì)“雙夾線”？若是，求此時(shí)的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，函數(shù)是否都存在“雙夾線”？若是，求的所有取值構(gòu)成的集合；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】（1）存在，理由見(jiàn)解析；（2）是，；（3）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由定義結(jié)合三角函數(shù)圖像得到“雙夾線”；（2）利用導(dǎo)函數(shù)等于斜率，求出的切點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證切點(diǎn)個(gè)數(shù)，在用作差法得出函數(shù)圖像在兩直線之間，由定義得出；（3）由（2）的思路可知令即可找到切線方程及切點(diǎn)坐標(biāo)，再由作差法驗(yàn)證函數(shù)在這兩條直線之間，由定義得出及其范圍.【小問(wèn)1詳解】曲線：，由正弦函數(shù)的圖像可知：和為曲線的一對(duì)“雙夾線”，故曲線是存在“雙夾線”.【小問(wèn)2詳解】曲線：，，令，即，時(shí)，，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)切點(diǎn)；時(shí)，，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)切點(diǎn)；∴直線與曲線至少存