2024-2025學(xué)年重慶市萬(wàn)州區(qū)高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年重慶市萬(wàn)州區(qū)高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線(xiàn)的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知圓的方程是，則圓心的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．設(shè)，是雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．5 B．6 C．8 D．124．兩平行直線(xiàn)：，：之間的距離為（

）A． B．3 C． D．5．已知圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的方程為（

）A． B．C． D．6．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．7．已知圓，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)P為直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則的值可以是（

）A．0 B．2 C． D．410．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，若，的中點(diǎn)分別為，，則（

）A． B．平面平面C． D．點(diǎn)到平面的距離為11．已知點(diǎn)，直線(xiàn)及圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)在上，則與相切B．若點(diǎn)在圓上，則被圓截得的弦長(zhǎng)為C．若點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則為過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)D．若點(diǎn)在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)，則圓在處的切線(xiàn)的交點(diǎn)在l上三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)向量，若，則.13．已知橢圓左?右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)且傾斜角為的直線(xiàn)與過(guò)的直線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且.則橢圓的離心率.14．我國(guó)南北朝時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家祖原提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等，運(yùn)用祖原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即，現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③，類(lèi)比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線(xiàn).(1)若直線(xiàn)與直線(xiàn)：平行，求的值；(2)若直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線(xiàn)的方程.16．已知：．（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的范圍；（Ⅱ）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)的方程．17．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝3，CD＝2，BC，E在AB上，且AD＝AE．將△ADE沿DE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P的位置，且PB＝PC，如圖2．（1）證明：平面PDE⊥平面BCDE；（2）求二面角C﹣PB﹣E的正弦值．18．已知離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為2直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值．19．在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱(chēng)性，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過(guò)作直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線(xiàn)與的斜率之積為定值．

答案1．【正確答案】A【詳解】由題意直線(xiàn)，可得斜率為，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，其中，可得，所以，即直線(xiàn)的傾斜角為.故選：A.2．【正確答案】A【詳解】圓的方程可化為，圓心的坐標(biāo)是.故選：A.3．【正確答案】C【分析】由雙曲線(xiàn)的定義知，，則，即可得出答案.【詳解】雙曲線(xiàn)C：，則，，由雙曲線(xiàn)的定義知：，，，所以.故選：C.4．【正確答案】A【詳解】由題意得：直線(xiàn)，，，，兩直線(xiàn)為平行直線(xiàn)，直線(xiàn)，兩平行直線(xiàn)之間的距離為．故選A.5．【正確答案】D【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，則，所以直線(xiàn)的方程為，即.故選：D.6．【正確答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，則向量在向量上的投影向量為.故選D.7．【正確答案】A【詳解】由題意知圓的方程為，設(shè)，，則,所以,又在圓上，所以，即，即的軌跡方程為.如圖所示，當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，所以的最大值為.故選:A8．【正確答案】B【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程，再判斷兩圓的位置關(guān)系，即可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，所以由可得，且過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)與點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓(去除)，圓心為，半徑.而圓的圓心為，半徑為，所以?xún)蓚€(gè)圓心的距離，且，所以?xún)蓤A相離，所以的最大值為：，因?yàn)椴辉趫A上，故，所以的取值范圍是.故選B.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)直線(xiàn)垂直以及過(guò)定點(diǎn)得到點(diǎn)的軌跡是圓，從而得解.9．【正確答案】AB【詳解】因?yàn)閮芍本€(xiàn)平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，當(dāng)時(shí)兩直線(xiàn)重合，舍去.故選.10．【正確答案】BCD【詳解】因?yàn)椤危?，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，因?yàn)椤?，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，又，平面，所以平面∥平面，故B正確；如圖，

分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，，，，故不成立，成立，故A錯(cuò)誤，C正確；設(shè)平面的法向量，，則，令，則，即，又，所以，故點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：BCD11．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)在上，則，圓的圓心到的距離，故與相切，A正確；對(duì)于B，點(diǎn)在圓上，則，圓的圓心到的距離：，所以被圓截得的弦長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)兩切點(diǎn)分別為，由A選項(xiàng)分析可知：圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程分別為，因?yàn)辄c(diǎn)在兩切線(xiàn)上，所以，所以點(diǎn)都在直線(xiàn)上，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，設(shè)圓在處的切線(xiàn)的交點(diǎn)為，則的方程為，由點(diǎn)在該直線(xiàn)上，所以，所以點(diǎn)在直線(xiàn)上，D正確.故選：ACD.12．【正確答案】2【詳解】因?yàn)椋?，即，?故2.13．【正確答案】##【分析】求出、，利用橢圓的定義可得出關(guān)于、的等式，即可求得橢圓的離心率的值.【詳解】在中，，，則，，則，由橢圓的定義可得，則.故答案為.14．【正確答案】【詳解】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，則當(dāng)截面與頂點(diǎn)距離為時(shí)，小圓錐底面半徑為，則，所以，，故截面面積為，把代入，即，解得，所以，橄欖球形幾何體的截面面積為，由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積為：.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意得到，再解方程即可.（2）首先分別求出直線(xiàn)在軸和軸的截距，從而得到，再解方程即可.(1)因?yàn)?，所以，解?(2)令，得，即直線(xiàn)在軸上的截距為.令，得，即直線(xiàn)在x軸上的截距為.因?yàn)橹本€(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以，解得或.則直線(xiàn)的方程是或.16．【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.（Ⅰ）設(shè)，由題意得直線(xiàn)與有公共點(diǎn)，所以圓心到直線(xiàn)的距離，代入圓心到直線(xiàn)距離公式，即可求得答案；（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，當(dāng)直線(xiàn)不垂直于軸時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，即可求得圓心到直線(xiàn)距離d的值，根據(jù)圓心到直線(xiàn)距離公式，即可求得k值，綜上即可得答案.【詳解】（Ⅰ）設(shè)，則直線(xiàn)與有公共點(diǎn)，所以圓心到直線(xiàn)的距離，即，解得．（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)方程為，與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，這兩點(diǎn)的距離為，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)不垂直于軸時(shí)，設(shè)其方程為，即，設(shè)圓心到此直線(xiàn)的距離為，則，解得，即，解得，此時(shí)直線(xiàn)方程為，綜上所述，所求直線(xiàn)方程為或．本題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于，根據(jù)題意，得到圓心到直線(xiàn)的距離d的范圍或取值，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式進(jìn)行求解，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.17．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【詳解】（1）證明：如圖，取DE的中點(diǎn)O，連接PO，則PD＝PE，故PO⊥DE，取BC的中點(diǎn)M，連接MO，則MO∥BE，故MO⊥BC，連接PM，因?yàn)镻B＝PC，M為BC的中點(diǎn)，所以PM⊥BC，又PM∩OM＝M，PM，OM?平面PMO，所以BC⊥平面PMO，又PO?平面PMO，則BC⊥PO，在平面BCDE內(nèi)，BC與DE相交，因此PO⊥平面BCDE，又PO?平面PDE，故平面PDE⊥平面BCDE；（2）解：由（1）可知，PO⊥平面BCDE，連接CE，則BC，BE＝1，故，連接CO，則CO⊥DE，則CO，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，所以，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，令x＝1，則，故，設(shè)平面PBE的法向量為，則，即，令，則b＝﹣1，c＝1，故，所以，故二面角C﹣PB﹣E的正弦值為．18．【正確答案】（1）；（2）；（3）.（1）由題意，可列出方程組得，即可求出橢圓方程；（2）直線(xiàn)，聯(lián)立，整理得，寫(xiě)出韋達(dá)定理，最后利用橢圓弦長(zhǎng)公式能求出的長(zhǎng)；（3）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)軸，分別求出，的坐標(biāo)，根據(jù)求出的面積；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在，且不為0時(shí)，可得直線(xiàn)的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立，得，寫(xiě)出韋達(dá)定理和，再根據(jù)求出的面積，最后根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍，綜合即可得出的面積的最大值.【詳解】解：（1）由題可知，橢圓的離心率為，且橢圓過(guò)點(diǎn)，則，解得：，，故橢圓的方程為；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為2直線(xiàn)，直線(xiàn)，聯(lián)立，整理得：，設(shè)，，，，則，，；（3）由于直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)直線(xiàn)，設(shè)，，，，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)軸，此時(shí)將代入，解得：，即，的坐標(biāo)分別為，則的面積為：；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在，且不為0時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立，整理得：，則，而的面積為：，即，令，則，得，所以，由于，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)得，則所以綜上得：，所以的面積最大值為.19．【正確答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為，則，即，即，所以“橢圓”的方程為；（2）由方程，得，因?yàn)?，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“橢圓”的范圍為，，將點(diǎn)代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于