第四章雅可比(微分變換)講解材料

第四章微分變換

ChapterⅤDifferentialRelationships4.1引言4.2微分矩陣

4.3微分平移和旋轉(zhuǎn)變換

4.4微分旋轉(zhuǎn)

4.5坐標(biāo)系之間的微分變換

4.6機(jī)械手的微分變換方程——雅可比方程

4.7本章小結(jié)1/9/202514.1引言（Introduction）微分變換在機(jī)器人視覺、動力學(xué)和機(jī)器人控制（如力控、剛度控制、阻抗控制、順應(yīng)控制等）中十分重要。例如當(dāng)攝像機(jī)或其它傳感裝置檢測到機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置和方向的微小變化時，需要將該微小變化從攝像機(jī)或其它傳感裝置坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到基坐標(biāo)或參考坐標(biāo)系。在機(jī)器人剛度控制中，需要獲得在控制坐標(biāo)系中力與位置的微分變換。又如將直角坐標(biāo)的微分變換轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)坐標(biāo)的微分變換，還有在下一章介紹的機(jī)器人動力學(xué)問題時，也會用到微分變換。本章將介紹微分變換的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)系之間的微分變換、雅可比矩陣和逆雅可比矩陣及其應(yīng)用。1/9/202524.2微分矩陣（DerivativeMatrixes）

給出一個4×4的矩陣A（5.1）矩陣A的微分就是對矩陣A中的每一個元素對自變量x的微分，結(jié)果如下：

（5.2）1/9/20253我們用符號來表示式（5.4）和式（5.6）中的并將它稱為微分變換算子（5.6）這樣式（5.4）和式（5.6）就可寫成如下形式（5.7）和（5.8）式（5.7）中的微分變換算子是針對基坐標(biāo)的，而式（5.8）中的微分變換算子則是針對T坐標(biāo)的。在第二章我們給出了平移和一般性旋轉(zhuǎn)變換的齊次變換矩陣表達(dá)式，平移變換矩陣是100a010bTrans(a,b,c)=001c（5.9）00011/9/20255當(dāng)平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk時，微分平移矩陣為：100dx010dyTrans(d)=001dz（5.10）0001一般性旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣是:kxkxversθ+cosθkykxversθ-kzsinθkzkxversθ+kysinθ0kxkyversθ+kzsinθkykyversθ+cosθkzkyversθ-kxsinθ0Rot(k,θ)=kxkzversθ-kysinθkykzversθ+kxsinθkzkzversθ+cosθ0(5.11)0

0

01當(dāng)進(jìn)行微分旋轉(zhuǎn)變換時，旋轉(zhuǎn)角dθ極小，此時有如下關(guān)系:1/9/20256將上述關(guān)系代入式（5.11）可得1-kzdθkydθ0kzdθ1-kxdθ0Rot(k,dθ)=-kydθkxdθ10(5.12)0

0

01由式（5.6）可得(5.13)1/9/202574.4微分旋轉(zhuǎn)(DifferentialRotations)

式（5.13）給出的微分變換算子是基于微分旋轉(zhuǎn)角dθ的微分平移和旋轉(zhuǎn)變換表達(dá)式，下面討論繞坐標(biāo)軸x、y、z旋轉(zhuǎn)δx、δy、δz的微分變換。第二章給出的繞坐標(biāo)軸x、y、z旋轉(zhuǎn)的變換矩陣分別為

（5.14）（5.15）（5.16）1/9/20258在微分變換的情況下，sinθ→dθ，conθ→1，上面三個式子變?yōu)椋海?.17）（5.18）

（5.19）由此可得到

（5.20）1/9/20259比較式（5.12）和式（5.20）可知，繞任意向量k旋轉(zhuǎn)dθ的微分旋轉(zhuǎn)與繞x、y、z軸分別旋轉(zhuǎn)的結(jié)果相同，即（5.21）由此可得到繞坐標(biāo)軸x、y、z旋轉(zhuǎn)δx、δy、δz的微分變換算子為（5.22）

微分變換算子中的元素由微分平移向量d和微分旋轉(zhuǎn)向量δ的各個分量組成，即（5.23）（5.24）將上述二個向量組合構(gòu)成一個微分運動矢量D（5.25）這樣，我們就可根據(jù)式（5.25）給出的微分運動矢量D直接得到微分變換算子，或基于T坐標(biāo)的微分運動矢量的微分變換算子。1/9/202510【例5.1】已知坐標(biāo)A的變換矩陣為當(dāng)用微分平移矢量d=1i+0j+0.5k和微分旋轉(zhuǎn)矢量δ＝0i+0.1j+0k對坐標(biāo)A進(jìn)行變換時，求出微分變換的結(jié)果dA。解：首先，由式（5.22）求出微分變換算子由式（5.7）可得即微分變換結(jié)果如圖5.1所示。xyzzAyA+dAx圖5.1坐標(biāo)A的微分變換1/9/2025114.5坐標(biāo)系之間的微分變換

(TransformingDifferentialChangesbetweenCoordinateFrames)上節(jié)討論了基于基坐標(biāo)或某個指定坐標(biāo)的微分變換，本節(jié)繼續(xù)討論坐標(biāo)系之間的微分變換，也就是已知微分變換算子，如何求出T坐標(biāo)的微分變換算子。由式（5.7）和（5.8）可知：（5.26）則為（5.27）上式是一個重要的表達(dá)式，它描述了坐標(biāo)系之間的微分變換關(guān)系。下面我們用微分平移矢量d和微分旋轉(zhuǎn)矢量來推導(dǎo)的表達(dá)式。已知變換矩陣T為1/9/202512我們用矢量的叉乘來得到式（5.27）等號右邊二項的乘積

（5.29）式中d和分別是微分平移和微分旋轉(zhuǎn)矢量。用左乘式（5.29）可得

（5.30）上式矩陣元素都具有如下矢量三重積形式根據(jù)矢量三重積的性質(zhì)有（5.31）1/9/202513同時，三重積中只要有二個矢量是相同的，其結(jié)果為零。如（5.32）根據(jù)上述性質(zhì)，式（5.30）可寫成（5.33）對于正交矢量有（5.34）這樣，式（5.33）可重寫成

（5.35）1/9/202514上式可進(jìn)一步簡化為（5.36）比較式（5.35）和式（5.36）的矩陣元素可得

（5.37）

（5.38）在式（5.37）和式（5.38）中，n、o、a和p是微分坐標(biāo)變換矩陣T的旋轉(zhuǎn)和平移矢量，和是對應(yīng)坐標(biāo)T的微分平移和旋轉(zhuǎn)矢量。1/9/202515式（5.37）和式（5.38）也可用6×6的矩陣形式表示如下（5.39）將上式寫成式（5.36）和式（5.37）的形式如下

（5.40）

（5.41）式（5.40）和式（5.41）是后續(xù)內(nèi)容中要經(jīng)常用到的重要結(jié)果。1/9/202516【例5.2】給出與例5.1相同的坐標(biāo)的變換矩陣、微分平移矢量和微分旋轉(zhuǎn)矢量如下：

d=1i+0j+0.5kδ＝0i+0.1j+0k試求出坐標(biāo)A上的等效微分變換dA。解：由坐標(biāo)變換矩陣A可得到相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)與平移矢量由此可求出根據(jù)式（5.40）和式（5.41）得到1/9/202517用上述結(jié)果來驗證坐標(biāo)A上的等效微分變換dA，由式（5.8）有由已求出的、和式（5.36）可得到則上述結(jié)果與例5.1相同。1/9/202518機(jī)械手的操作速度與關(guān)節(jié)的線形變換定義為機(jī)械手的雅可比矩陣，可將視為從關(guān)節(jié)空間向操作空間運動速度的傳動比。令機(jī)械手的運動方程為：（5.42）代表操作空間x與關(guān)節(jié)空間q之間的位移關(guān)系。將上式兩邊對時間求導(dǎo)有：（5.43）稱為末端在操作空間的廣義速度，簡稱操作速度；為關(guān)節(jié)速度；是的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為機(jī)械手的雅可比矩陣。它的第i行第j列為：（5.44）剛體或坐標(biāo)系的廣義速度是由線形速度和角速度組成的6維列矢量

（5.45）5.6.1雅可比矩陣的定義5.6機(jī)械手的微分變換方程——雅可比方程1/9/202519由式（5.45）有：（5.46）代入式（5.43）有：（5.47）含有n個關(guān)節(jié)的機(jī)器人，其雅可比是階矩陣，前3行代表了對夾手線速度的傳遞比，后3行代表了對夾手的角速度的傳遞比，而每一列代表相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度對于夾手線速度和角速度的傳遞比。（5.48）

（5.49）（5.50）

1/9/2025205.6.2雅可比矩陣的求法

（1）、矢量積法求解機(jī)器人雅可比矩陣的矢量積方法是建立在運動坐標(biāo)系概念的基礎(chǔ)上的，由惠特尼（Whitney）提出的。對于移動關(guān)節(jié)i，有（5.51）對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)i，有：（5.52）式中，表示夾手坐標(biāo)原點相對坐標(biāo)系{i}的位置矢量在基座標(biāo)系{o}中的表示，即：（5.53）而是坐標(biāo)系{i}的軸矢量在基坐標(biāo)系{o}的表示。1/9/202521

（2）微分變換法在第三章我們介紹過，機(jī)械手的運動學(xué)方程由它的末端相對于基坐標(biāo)的齊次變換矩陣T6表示，即T6=A1A2A3A4A5A6其中每一個關(guān)節(jié)變換矩陣Ai描述了該關(guān)節(jié)坐標(biāo)相對于前一個關(guān)節(jié)坐標(biāo)的變換關(guān)系，關(guān)節(jié)變量用qi表示，如果是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)變量是θi，它是繞前一個關(guān)節(jié)坐標(biāo)z軸的旋轉(zhuǎn)角度；如果是滑動關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)變量是di，它是沿前一個關(guān)節(jié)坐標(biāo)z軸滑動的距離。同樣，當(dāng)我們討論機(jī)械手的微分變換方程時，首先定義微分關(guān)節(jié)變量為dqi，如果是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，則為dθi，如果是滑動關(guān)節(jié)，則為ddi。1/9/202522機(jī)械手第i個關(guān)節(jié)的微分變換引起第6個連桿末端（即機(jī)械手末端）的微分變換dT6可由下式表示：（5.54）又有：（5.55）由上面兩式可得到機(jī)械手末端的微分變換算子（5.56）有：（5.57）

1/9/202523如果關(guān)節(jié)i是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，則di=[dx,dy,dz]=0，式（5.40）和式（5.41）變?yōu)楫?dāng)，為單位微分旋轉(zhuǎn)矢量時，式（5.47）和（5.48）可進(jìn)一步簡化為此時：式中，n,o,a和p是的四個列矢量。1/9/202524

如果關(guān)節(jié)i是棱形滑動關(guān)節(jié)，則δi＝[δx,δy,δz]=0，di=0i+0j+1k，式（5.40）和式（5.41）變?yōu)?/p>

此時：式中，n,o,a和p是的四個列矢量。1/9/202525雅可比矩陣計算步驟:1、計算各連桿變換2、計算各連桿至末端連桿的變換：3、計算J(q)個各列元素，第i列由決定。圖5.2J和T的變換關(guān)系1T62T63T64T65T60T11T22T33T44T55T6TJ60T6TJ5TJ3TJ4TJ2TJ11/9/202526PUMA560機(jī)器人的雅可比矩陣:微分變換法求J(q)1、的求解

2、的求解1/9/2025273、的求解1/9/2025284、的求解1/9/2025295.7本章小結(jié)（Summary）

本章介紹了微分變換的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)系之間的微分變換、雅可比矩陣和逆雅可比矩陣及其應(yīng)用。首先我們給出了微分變換矩陣的兩種表示方式，即（5.7）和（5.8）其中式（5.7）是針對基坐標(biāo)的微分變換表達(dá)式，式（5.8）是針對T坐標(biāo)的微分變換表達(dá)式。式中的稱為微分變換算子，它是針對基坐標(biāo)的；而則是針對T坐標(biāo)的。微分變換算子由微分平移向量d和微分旋轉(zhuǎn)向量δ的各個分量組成，即（5.22）1/9/202530式中的微分旋轉(zhuǎn)向量δ的各個分量δx，δy，δz是分別繞基坐標(biāo)的x、y、z軸旋轉(zhuǎn)的角度，如果微分旋轉(zhuǎn)是繞任意向量k旋轉(zhuǎn)一個微小角dθ，則其對應(yīng)的各個分量為（5.21）微分變換算子與的轉(zhuǎn)換公式為（5.27）式（5.27）中T是由旋轉(zhuǎn)向量n、o、a和平移向量p組成的齊次變換矩陣，的各個元素可由的元素計算得到，計算公式如下（5.40）

（5.41）根據(jù)微分變換的基本原理和方法，我們推導(dǎo)了機(jī)械手的末端直角坐標(biāo)與各關(guān)節(jié)坐標(biāo)的微分變換關(guān)系和相應(yīng)的計算方法，這就是所謂的雅可比矩陣和逆雅可比矩陣，并以斯坦福機(jī)械手為例，詳細(xì)說明了該計算方法的具體應(yīng)用。1/9/2025311/9/2025321/9/202533機(jī)器人的感覺

SensesofRobotics4.1傳感器的種類4.2觸覺信息的獲取4.3視覺信息的獲取4.4距離信息的獲取1/9/202534SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

1.傳感器的分類內(nèi)部傳感器：檢測機(jī)器人本身狀態(tài)（手臂間角度等）的傳感器。外部傳感器：檢測機(jī)器人所處環(huán)境（是什么物體，離物體的距離有多遠(yuǎn)等）及狀況（抓取的物體滑落等）的傳感器。外部傳感器分為末端執(zhí)行器傳感器和環(huán)境傳感器。末端執(zhí)行器傳感器：主要裝在作為末端執(zhí)行器的手上，檢測處理精巧作業(yè)的感覺信息。相當(dāng)于觸覺。環(huán)境傳感器：用于識別物體和檢測物體與機(jī)器人的距離。相當(dāng)于視覺。1/9/202535SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

2.內(nèi)部狀態(tài)的感覺（1）位置傳感器典型的傳感器是電位計。檢測的是以電阻中心為基準(zhǔn)位置的移動距離。E：輸入電壓L：最大移動距離觸頭X：向左端移動的距離E：電阻右側(cè)的輸出電壓1/9/202536SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

2.內(nèi)部狀態(tài)的感覺（1）位置傳感器另有光電傳感器。1/9/202537SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

2.內(nèi)部狀態(tài)的感覺（2）角度傳感器回轉(zhuǎn)式編碼器。1/9/202538SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

3.外部狀態(tài)的感覺（1）物體識別傳感器典型的是視覺傳感器。如攝像機(jī)。視覺是利用光（機(jī)器人可用紅外線等）的非接觸方式。觸覺也能識別物體。機(jī)器人可以用觸覺傳感器來實現(xiàn)這種機(jī)能。（2）物體探測傳感器視覺傳感器是一種識別物體而且知道其存在的傳感器。例如光電開關(guān)。視覺傳感器、光電開關(guān)和超聲波傳感器，即使物體較遠(yuǎn)也能探測其存在。1/9/202539SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

3.外部狀態(tài)的感覺（3）極近物體探測傳感器探測非常近的物體存在的傳感器稱為接近傳感器。1/9/202540SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

3.外部狀態(tài)的感覺（4）距離傳感器超聲波做距離傳感器?？捎糜隰~群探測、金屬內(nèi)部探傷等方面。（5）力覺傳感器力覺傳感器是檢測力和力矩的施加地點大小方向三個量的傳感器。力的檢測主要是用電阻應(yīng)變片。1/9/202541SensesofRobotics

4.1傳感器的種類

3.外部狀態(tài)的感覺（6）其他傳感器利用聲波：語音識別傳感器。分析振動聲音探測機(jī)械故障的點傳感器。熱傳感器：點檢傳感器。通過分析敲打的聲音測定果品成熟程度的傳感器。根據(jù)近紅外線的糖度吸收程度測定水果甜度的傳感器。1/9/202542SensesofRobotics

4.2觸覺信息的獲取

1.接觸覺傳感器接觸覺傳感器：探測是否接觸到物體，傳感器接受由于接觸產(chǎn)生的柔量。微動開關(guān)：按下開關(guān)就能進(jìn)入電信號的簡單機(jī)構(gòu)。貓胡須傳感器：如圖a,b1/9/202543SensesofRobotics

4.2觸覺信息的獲取

2.壓覺傳感器壓覺傳感器：檢測物體同手爪間產(chǎn)生的壓力和力以及其分布情況。利用壓電元件或彈簧。如圖是使用彈簧的平面?zhèn)鞲衅鳌?/9/202544SensesofRobotics

4.2觸覺信息的獲取

3.滑覺傳感器檢測垂直加壓力方向的力和位移。1/9/202545SensesofRobotics

4.2觸覺信息的獲取

4.力覺傳感器力覺傳感器主要利用電阻應(yīng)變片。原理：金屬絲拉伸時電阻變大。1/9/202546SensesofRobotics

4.3視覺信息的獲取

1.PSD（positionsensitivedevice）傳感器PSD傳感器：當(dāng)光束照射到1維的線和2維的平面時，檢測光照射的位置。L：電極1與電極2的距離。I1：流過電極1的電流。I2：流過電極2的電流。X：光照射點與電極1的距離。1/9/202547SensesofRobotics

4.3視覺信息的獲取

2.視覺傳感器機(jī)器人通過攝像機(jī)以圖像的形式獲得環(huán)境的信息。（1）CCD(chargecoupleddevice)傳感器。CCD陣列，二維掃描，對表示灰度的電壓采樣，二值數(shù)字化處理。每一定時間間隔掃描一遍。1/9/202548SensesofRobotics

4.3視覺信息的獲取

2.視覺傳感器（2）圖像的投影O：原點，透鏡中心。Z軸：光軸，攝像機(jī)的前方。xy軸：組成圖像面。P點：物體上一點。p點：P在圖像面上的投影。1/9/202549SensesofRobotics

4.3視覺信息的獲取

2.視覺傳感器（2）圖像的投影物點的空間坐標(biāo)變?yōu)橛嬎銠C(jī)圖像的數(shù)字坐標(biāo)，經(jīng)過了三個變換?？臻g坐標(biāo)的物點變換到攝像機(jī)坐標(biāo)系；攝像機(jī)坐標(biāo)下的物點映射到攝像機(jī)的CCD面，滿足三角幾何關(guān)系；CCD面上的實際圖像坐標(biāo)變換到計算機(jī)圖像坐標(biāo)。設(shè)（xW,yW,zW）為三維世界坐標(biāo)系中物點P的三維坐標(biāo)，（x,y,z）是同一點P在攝像機(jī)坐標(biāo)系中的三維坐標(biāo)，（XU,YU）是P點在理想小孔攝像機(jī)模型下CCD面上的投影坐標(biāo)，該投影在計算機(jī)中圖像坐標(biāo)（Xf,Yf）的單位是像素（pixels）。則有如下關(guān)系：1/9/202550SensesofRobotics

4.3視覺信息的獲取

2.視覺傳感器（2）圖像的投影設(shè)（x