《數(shù)學(xué)（第8版 下冊(cè)）》 課件 第3章 概率與統(tǒng)計(jì)初步

概率與統(tǒng)計(jì)初步第3章79目錄3.1隨機(jī)事件及其概率3.2等可能事件的概率3.3事件的關(guān)系及其概率運(yùn)算3.4抽樣方法3.5總體分布的估計(jì)3.6總體特征值的估計(jì)3.7一元線性回歸80學(xué)習(xí)目標(biāo)1.隨機(jī)事件及其概率：（1）通過(guò)日常生活中的實(shí)例，理解隨機(jī)事件、不可能事件、必然事件的概念；（2）理解隨機(jī)事件的頻率與概率的概念；（3）理解概率的基本性質(zhì).2.掌握求等可能事件概率的一些常用方法，如排列、組合的方法及枚舉法.3.理解互斥事件和對(duì)立事件的意義，理解互斥事件和互逆事件（或?qū)α⑹录┑母怕视?jì)算公式.理解相互獨(dú)立事件的概念，會(huì)計(jì)算相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率.814.理解總體、個(gè)體、樣本、樣本容量等概念的意義，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性，會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，收集樣本數(shù)據(jù)，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.5.在樣本數(shù)據(jù)整理中，會(huì)列頻率分布表，會(huì)繪制頻率和頻數(shù)分布直方圖，了解用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的思想方法.6.了解總體特征值的估計(jì)；會(huì)用平均數(shù)、方差（標(biāo)準(zhǔn)方差）估計(jì)總體的穩(wěn)定程度.*7.了解一元線性回歸分析及其應(yīng)用.82知識(shí)回顧1.商場(chǎng)經(jīng)常設(shè)置轉(zhuǎn)盤抽獎(jiǎng)活動(dòng)，如圖所示，分區(qū)均勻的轉(zhuǎn)盤每個(gè)扇區(qū)的圓心角都是一樣的，那么，獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別是多少呢？83分析

用力轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針對(duì)準(zhǔn)每個(gè)扇區(qū)的機(jī)會(huì)相等，只需計(jì)算各種獎(jiǎng)項(xiàng)扇區(qū)數(shù)與總扇區(qū)數(shù)即可.解

一共有13個(gè)大小相同的扇區(qū)，一等獎(jiǎng)扇區(qū)數(shù)量只有1個(gè)，二等獎(jiǎng)扇區(qū)4個(gè)，三等獎(jiǎng)扇區(qū)8個(gè).所以獲得一等獎(jiǎng)的概率是，二等獎(jiǎng)的概率是，三等獎(jiǎng)的概率是.842.盒子里有10個(gè)除顏色外其他都相同的乒乓球，其中有4個(gè)黃球，6個(gè)白球.從盒子里摸出1個(gè)球，求事件“摸出1個(gè)黃球”和

“摸出1個(gè)白球”分別發(fā)生的可能性.分析

從盒子里摸出1個(gè)球的所有可能的結(jié)果有10個(gè)：4個(gè)結(jié)果是

“摸出黃球”，6個(gè)結(jié)果是“摸出白球”，而且每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性都相等.解

因?yàn)樗锌赡艿慕Y(jié)果有10個(gè)，其中，出現(xiàn)“摸出黃球”的結(jié)果有4個(gè)，出現(xiàn)

“摸出白球”的結(jié)果有6個(gè).所以，事件“摸出1個(gè)黃球”和“摸出1個(gè)白球”

發(fā)生的概率分別是

和，即分別為

和.853.1隨機(jī)事件及其概率86實(shí)例考察下列事件是否一定會(huì)發(fā)生？這些事件各有什么特點(diǎn)？（1）拋擲一枚骰子，朝上面的點(diǎn)數(shù)小于或等于6點(diǎn)；（2）早晨太陽(yáng)從東邊升起；（3）從一副撲克牌（54張）中抽一張，抽出的是紅桃；（4）同性電荷，互相吸引；（5）買一張彩票，沒(méi)中獎(jiǎng)；（6）隨機(jī)拋擲一枚硬幣，是正面朝上.873.1.1隨機(jī)事件和樣本空間根據(jù)生活常識(shí)，我們知道：上述事件（1）（2）一定會(huì)發(fā)生，事件（4）不可能發(fā)生，事件（3）（5）（6）可能發(fā)生也可能不發(fā)生.在一定條件下必然要發(fā)生的事件，稱為必然事件.在一定條件下不可能發(fā)生的事件，稱為不可能事件，用?表示.因?yàn)楸厝皇录筒豢赡苁录际墙Y(jié)果明確可知的事件，也稱為確定事件.在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件.88在一定條件下，隨機(jī)試驗(yàn)考察對(duì)象的每一個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為樣本空間，通常用Ω（全集）來(lái)表示.只包含一個(gè)樣本點(diǎn)（元素）的事件稱為基本事件，例如，拋硬幣試驗(yàn)中

“拋得正面朝上”和“拋得反面朝上”都只包含一個(gè)樣本點(diǎn)，這兩個(gè)事件都是基本事件；拋骰子試驗(yàn)中，“拋得5點(diǎn)”只包含5一個(gè)樣本點(diǎn)，所以也是基本事件.基本事件的總數(shù)就是樣本空間中元素的個(gè)數(shù).事件“拋得偶數(shù)點(diǎn)”包含2，4，6共3個(gè)樣本點(diǎn)，所以不是基本事件，這種事件稱為復(fù)合事件.893.1.2概率的概念與性質(zhì)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察稱為一次試驗(yàn).隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，具有偶然性.但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，它的發(fā)生又呈現(xiàn)一定的規(guī)律性.要知道隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有多大，又呈現(xiàn)出怎樣的規(guī)律，最直接的方法就是做試驗(yàn).一般地，在相同條件下做n次重復(fù)試驗(yàn)，把隨機(jī)事件A

出現(xiàn)的次數(shù)m

稱為頻數(shù)，把比值

稱為頻率.90實(shí)例考察觀察下列隨機(jī)事件的規(guī)律.拋擲硬幣

歷史上曾有人做過(guò)拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)，觀察硬幣落下后正面向上的規(guī)律.91拋擲硬幣試驗(yàn)結(jié)果

質(zhì)量抽查

對(duì)生產(chǎn)的某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行檢查，觀察優(yōu)等品頻率的規(guī)律.92

某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果觀察下表，我們看到當(dāng)拋擲硬幣的次數(shù)很多時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率

的值在0.5附近擺動(dòng)，也就是說(shuō)，出現(xiàn)正面的頻率值穩(wěn)定在常數(shù)0.5上.觀察上表，我們看到當(dāng)抽查的球數(shù)很多時(shí)，抽到優(yōu)等品的頻率

的值在0.95附近擺動(dòng)，也就是說(shuō)，抽到優(yōu)等品的頻率值穩(wěn)定在常數(shù)0.95上.93拋擲硬幣試驗(yàn)結(jié)果由此，我們得到概率的概念：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A

發(fā)生的頻率

穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，我們就把這個(gè)常數(shù)稱為事件A

的概率，記作P（A）.實(shí)例考察中，拋擲一枚硬幣，正面向上的概率是0.5，即P（“正面向上”）=0.5.實(shí)例考察中，某批乒乓球的優(yōu)等品的概率為0.95，即P（“抽到優(yōu)等品”）=0.95.94頻率和概率是兩個(gè)不同的概念.頻率是指在多次重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比值，而這個(gè)比值是隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加而不斷變化的.概率卻是一個(gè)確定的數(shù)，因?yàn)槭录l(fā)生的可能性大小是客觀存在的.在實(shí)際應(yīng)用中，通常將試驗(yàn)次數(shù)最多時(shí)的頻率值，作為概率的估計(jì)值.由概率的定義，我們可以得到概率的基本性質(zhì)：性質(zhì)1

事件A

的概率滿足0≤P（A）≤1.95性質(zhì)2

必然事件的概率為1，即P（Ω）=1.不可能事件的概率為0，即P（?）=0.也就是說(shuō)，任何事件的概率是區(qū)間[0，1]上的一個(gè)數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性.在一次試驗(yàn)中，小概率（接近0）事件很少發(fā)生，而大概率（接近1）事件則經(jīng)常發(fā)生.963.2等可能事件的概率97實(shí)例考察在下列試驗(yàn)中，結(jié)果的個(gè)數(shù)及每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性，有什么共同特征？（1）擲一枚骰子，觀察朝上一面的點(diǎn)數(shù)；（2）有紅桃1，2，3和黑桃4，5這5張撲克牌，從中任意抽取一張，觀察抽到的是什么牌；（3）一口袋中有紅、黃、白3個(gè)顏色不同的球，其大小、質(zhì)量完全相同，從中任取一個(gè)，觀察取到的是什么球；（4）同一副撲克牌中同一數(shù)字的4張牌反扣在桌面上，任意掀開(kāi)一張，觀察其花色.98由實(shí)例考察可以看出：（1）試驗(yàn)1共有6種不同的結(jié)果，分別是1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，······，6點(diǎn)，每一種結(jié)果的概率都是.（2）試驗(yàn)2共有5種不同的結(jié)果，每一種結(jié)果的概率都是.（3）試驗(yàn)3共有3種不同的結(jié)果，每一種結(jié)果的概率都是.（4）試驗(yàn)4共有4種不同的結(jié)果，每一種結(jié)果的概率都是.99以上隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果都是只有有限個(gè)，且每一種結(jié)果發(fā)生的概率都相等.像這樣，如果隨機(jī)試驗(yàn)具有下列兩個(gè)特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.那么，我們把這一試驗(yàn)的概率模型稱為等可能概率模型.在等可能概率模型中，如果基本事件的總數(shù)為n，那么任一基本事件Ai（i=1，2，···，n）發(fā)生的概率為P（Ai）=

，而包含m（m≤n）個(gè)基本事件的隨機(jī)事件A

的概率為1003.3事件的關(guān)系及其概率運(yùn)算101實(shí)例考察學(xué)校將學(xué)生的德育考試成績(jī)分為4個(gè)等級(jí)：優(yōu)、良、中、不合格.某班45名學(xué)生參加了德育考試，結(jié)果見(jiàn)下表.（1）在某一學(xué)期結(jié)束時(shí)，某一名同學(xué)能否既得優(yōu)又得良呢？（2）如果從這個(gè)班任意抽取一名同學(xué)，那么這名同學(xué)的德育成績(jī)?yōu)閮?yōu)或良的概率是多少？102德育考試結(jié)果3.3.1互斥事件與互逆事件將實(shí)例考察中德育考試成績(jī)的等級(jí)為優(yōu)、良、中、不合格的事件分別記為A，B，C，D.在一學(xué)期結(jié)束時(shí)，同一名同學(xué)不可能既得優(yōu)又得良，即事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生.像這樣，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件.對(duì)于上述事件A，B，C，D，其中任意兩個(gè)都是互斥事件.一般地，如果事件

A1，A2，A3，···，An

中的任意兩個(gè)都是互斥事件，就說(shuō)事件A1，A2，A3，···，An

彼此互斥.設(shè)A

與B

為互斥事件，A∪B

表示A

發(fā)生或B

發(fā)生.在實(shí)例考察關(guān)于德育考試成績(jī)的問(wèn)題中，A∪B

就表示事件“成績(jī)的等級(jí)為優(yōu)或良”，那么，事件A∪B

發(fā)生的概率是多少呢？103從45人中任意抽取1人，有45種等可能的方法，而抽到優(yōu)或良的可能結(jié)果有（9+20）個(gè)，從而事件A∪B

發(fā)生的概率為另一方面不難發(fā)現(xiàn)P（A∪B）=P（A）+P（B）.由以上分析得到：如果事件A，B

互斥，那么事件A∪B

發(fā)生的概率等于事件A，B

分別發(fā)生的概率的和，即互斥事件的概率加法公式為P（A∪B）=P（A）+P（B）.104如果將“德育成績(jī)合格”記為事件E，那么事件E

與D

不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生.像這樣，兩個(gè)互斥事件必有一個(gè)發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件為互逆事件（或?qū)α⑹录?事件A的互逆事件記為.互逆事件A與

必有一個(gè)發(fā)生，故A∪

是必然事件，從而由此，我們得到一個(gè)重要公式1053.3.2獨(dú)立事件及其同時(shí)發(fā)生的概率分別拋出兩枚硬幣，將“拋出第一枚硬幣，正面朝上”記為事件A，“拋出第二枚硬幣，正面朝上”

記為事件B，很明顯，無(wú)論拋出的第一枚硬幣是正面朝上還是反面朝上，對(duì)另一枚硬幣正面朝上的概率沒(méi)有影響.這就是說(shuō)，事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件稱為相互獨(dú)立事件.下面我們討論事件

“兩枚硬幣分別拋出，都是正面朝上”，它的發(fā)生就是事件A，B

同時(shí)發(fā)生，我們將其記作

A·B.已知

A，B

是兩個(gè)相互獨(dú)立事件，那么A，B

同時(shí)發(fā)生的概率P（A·B）如何計(jì)算呢？106拋出第一枚硬幣有“正面朝上”和“反面朝上”2種可能事件，拋出第二枚硬幣也有“正面朝上”和“反面朝上”2種可能事件，因此，兩枚硬幣各拋一次共有2×2種等可能事件，將其記為（正反），（正正），（反正），（反反）.在上面2×2種等可能事件中，正面朝上的結(jié)果只有1×1種，因此，拋兩枚硬幣都是正面朝上的概率為根據(jù)

，我們可以得出P（A·B）=P（A）·P（B）.這就是說(shuō)，兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積.1073.4抽樣方法108實(shí)例考察如果難以逐一觀察或試驗(yàn)每個(gè)考察對(duì)象，用什么方法才能得到相對(duì)準(zhǔn)確的考察結(jié)果呢？一批燈泡中，燈泡壽命低于1000h的為次品.要確定這批燈泡的次品率，最簡(jiǎn)單的辦法就是把每一個(gè)燈泡都做壽命試驗(yàn)，然后用壽命不超過(guò)1000h的燈泡個(gè)數(shù)，除以該批燈泡的總個(gè)數(shù).顯然這樣做是不現(xiàn)實(shí)的.我們只需從這批燈泡中抽取一部分燈泡做壽命試驗(yàn)并記錄結(jié)果，根據(jù)這組數(shù)據(jù)計(jì)算出這部分燈泡的次品率，從而推斷整批燈泡的次品率.109例如，從這批燈泡中任意抽取10個(gè)燈泡做壽命（單位：h）試驗(yàn)，結(jié)果為1203，980，1120，903，1010，995，1530，990，1002，1340.可以看出，其中有4個(gè)燈泡的壽命低于1000h，從而可以粗略地推斷出這批燈泡的次品率為0.4.1103.4.1總體與樣本像上面整批燈泡作為所考察對(duì)象的全體稱為總體，總體中每一個(gè)考察的對(duì)象稱為個(gè)體.一般地，為了考察總體ξ，從總體中抽取n個(gè)個(gè)體來(lái)進(jìn)行試驗(yàn)或觀察，這n個(gè)個(gè)體稱為來(lái)自總體ξ的一個(gè)樣本，n為樣本容量.對(duì)來(lái)自總體的容量為n的一個(gè)樣本進(jìn)行一次觀察，所得的一組數(shù)據(jù)x1，x2，···，xn

稱為樣本觀察值.1113.4.2簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要使樣本及樣本觀察值能很好地反映總體的特征，必須合理地抽取樣本.樣本中的每個(gè)個(gè)體必須從總體中隨機(jī)地取出，不能加上人為的“偏向”.也就是必須滿足下面兩個(gè)條件：第一，總體中的每個(gè)個(gè)體都有被抽到的可能；第二，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都是相等的.我們稱這種抽樣方法為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，用這種方法抽得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.112具體抽樣方法有以下兩種.1.抽簽法一般地，用抽簽法從個(gè)體數(shù)為

N

的總體中抽取一個(gè)容量為k的樣本的步驟為：（1）將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；（2）將這N

個(gè)號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上；（3）將號(hào)簽放在同一箱中，并攪拌均勻；（4）從箱中每次抽出1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取k次；（5）將總體中與抽到的號(hào)簽編號(hào)一致的k個(gè)個(gè)體取出.這樣就得到一個(gè)容量為k的樣本.1132.隨機(jī)數(shù)表法用抽簽法抽取樣本時(shí)，編號(hào)的過(guò)程有時(shí)可以省略（如用已有的編號(hào)），但制簽的過(guò)程難以省去，而且制簽也比較麻煩.如何簡(jiǎn)化制簽過(guò)程呢？一個(gè)有效的辦法是制作一個(gè)表，其中的每個(gè)數(shù)都是用隨機(jī)方法產(chǎn)生的（稱

“隨機(jī)數(shù)”），這樣的表稱為隨機(jī)數(shù)表，我們只需按一定的規(guī)則到隨機(jī)數(shù)表中選取號(hào)碼.這種抽樣方法稱為隨機(jī)數(shù)表法.114例如，前例中抽取10名學(xué)生的方法與步驟：（1）對(duì)40名學(xué)生按01，02，···，40編號(hào).（2）在隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)地確定一個(gè)數(shù)，如第2行第3列的數(shù)27.為了便于說(shuō)明，我們摘錄隨機(jī)數(shù)表的第1行到第5行.115（3）從數(shù)字27開(kāi)始向右讀下去，每次讀一個(gè)兩位數(shù)，將不在01到40中的數(shù)跳過(guò)去不讀，遇到已經(jīng)讀過(guò)的數(shù)也跳過(guò)去，便可依次得到27，31，16，39，19，26，22，32，36，4這10個(gè)號(hào)碼，就是所要抽取的容量為10的樣本.給總體中的個(gè)體編號(hào)，可以從0開(kāi)始，例如當(dāng)

N=100時(shí)，編號(hào)可以是00，01，02，···，99.這樣，總體中的所有個(gè)體均可用兩位數(shù)字號(hào)碼表示，便于使用隨機(jī)數(shù)表.當(dāng)隨機(jī)地選定起始數(shù)字后，讀數(shù)的方向可以向左、右、上、下等任意方向.116用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的步驟是：（1）將總體中的個(gè)體編號(hào)（每個(gè)號(hào)碼位數(shù)一致）.（2）在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開(kāi)始.（3）從選定的數(shù)開(kāi)始按一定的方向讀下去，若得到的號(hào)碼在編號(hào)中，則取出；若得到的號(hào)碼不在編號(hào)中或前面已經(jīng)取出，則跳過(guò)，如此繼續(xù)下去，直到取滿為止.（4）根據(jù)選定的號(hào)碼抽取樣本.1173.4.3系統(tǒng)抽樣當(dāng)總體與樣本容量很大時(shí)，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣非常麻煩，例如，從3000瓶礦泉水中抽出100瓶進(jìn)行檢測(cè)，通過(guò)編號(hào)一個(gè)個(gè)抽取非常費(fèi)時(shí)，這時(shí)我們可以使用另一種抽樣方法———系統(tǒng)抽樣.118實(shí)例考察某學(xué)校一年級(jí)新生共有20個(gè)班，每班有50名學(xué)生.為了解新生的視力狀況，從這1000名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為100的樣本進(jìn)行檢查，應(yīng)該怎樣抽樣？

通常先將各班學(xué)生平均分成5組，再在第一組（1~10號(hào)學(xué)生）中用抽簽法抽取一個(gè)，然后按照“逐次加10（每組中個(gè)體數(shù)）”的規(guī)則分別確定學(xué)號(hào)為11到20，21到30，31到40，41到50的另外4組中的學(xué)生代表.假如第一組中抽到3號(hào)，則抽到的班中學(xué)生編號(hào)分別為3，13，23，33，43.119將總體平均分成幾個(gè)部分，然后按照一定的規(guī)則，從每個(gè)部分中抽取一個(gè)個(gè)體作為樣本，這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣.系統(tǒng)抽樣也稱為等距抽樣.系統(tǒng)抽樣方法在日常生活中經(jīng)常會(huì)用到，例如，某班有5個(gè)組，每組人數(shù)相同，老師要隨機(jī)抽取5名同學(xué)了解作業(yè)完成情況，可以請(qǐng)每組第3位同學(xué)交作業(yè)（3是一個(gè)隨機(jī)抽取的數(shù)字），這也可以看作是系統(tǒng)抽樣的簡(jiǎn)化使用.120某電影院擬對(duì)某電影的觀影情況做一個(gè)調(diào)查，如果采用重新編號(hào)抽樣的方式，費(fèi)時(shí)且影響觀眾觀影.可采用系統(tǒng)抽樣方式抽取，請(qǐng)每排第n位觀眾填寫調(diào)查表（n為隨機(jī)抽取的數(shù)字）.某市由于交通擁堵嚴(yán)重，擬進(jìn)行機(jī)動(dòng)車單雙號(hào)限行，即車輛車牌尾號(hào)為單號(hào)時(shí)單日上路行駛，雙號(hào)時(shí)雙日上路行駛，這也是采用了等距抽樣的思想.如果每天公布可行駛的車輛的具體車牌號(hào)將是一項(xiàng)非常艱巨且難以執(zhí)行的工作.前面提到的礦泉水瓶的抽樣，可以從100箱中每箱抽取第n瓶（n是隨機(jī)抽取的數(shù)字）組成樣本，也是系統(tǒng)抽樣的一種方式.1213.4.3系統(tǒng)抽樣實(shí)例考察某學(xué)校一、二、三年級(jí)分別有學(xué)生1200名、960名、840名，為了了解全校學(xué)生的視力情況，從中抽取容量為100的樣本，怎樣抽樣較為合理？由于不同年級(jí)的學(xué)生視力狀況有一定的差異，不宜在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，也不宜在三個(gè)年級(jí)中平均抽取.為準(zhǔn)確反映客觀實(shí)際，不僅要使每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，而且要注意總體中個(gè)體的層次性.122一個(gè)有效的辦法是，使抽取的樣本中各年級(jí)學(xué)生的占比與實(shí)際人數(shù)占總體人數(shù)的比例基本相同.據(jù)此，應(yīng)抽取一年級(jí)學(xué)生（名），二年級(jí)學(xué)生（名），三年級(jí)學(xué)生（名）.123一般地，當(dāng)總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個(gè)體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中的占比實(shí)施抽樣，這種抽樣方法稱為分層抽樣，所分成的各個(gè)部分稱為

“層”.分層抽樣的步驟是：（1）將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分層；（2）計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比；（3）按各層個(gè)體數(shù)在總體個(gè)體數(shù)的占比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；（4）在每一層進(jìn)行抽樣（可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣）.1243.5總體分布的估計(jì)1253.5.1頻率分布表實(shí)例考察為了觀察7月25日至8月24日北京地區(qū)的氣溫分布狀況，可以對(duì)北京歷年這段時(shí)間的日最高氣溫進(jìn)行抽樣，并對(duì)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.隨機(jī)抽取近年來(lái)北京地區(qū)7月25日至8月24日的日最高氣溫，得到下表中的兩個(gè)樣本.

怎樣通過(guò)以上表中的數(shù)據(jù)，分析比較兩時(shí)間段內(nèi)日最高氣溫不低于33℃的狀況呢？126最高氣溫的樣本

單位：℃以上兩個(gè)樣本中的不低于33℃天氣的頻率用下表表示.由上表可以發(fā)現(xiàn)，近年來(lái)，北京地區(qū)7月25日至8月10日出現(xiàn)日最高氣溫不低于33℃天氣的頻率明顯高于8月8日至8月24日的頻率.實(shí)例說(shuō)明，當(dāng)總體很大或不便于獲得時(shí)，可以用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布.我們把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表.127高溫天氣的情況一般地，編制頻率分布表的步驟如下：（1）計(jì)算極差，確定組數(shù)與組距，組距=，必要時(shí)取整.（2）分組.（3）登記頻數(shù)，計(jì)算各組頻率，列出頻率分布表.1283.5.2頻率分布直方圖我們繼續(xù)作出前面例題的頻率分布直方圖.129（1）以橫軸表示植物的高度，縱軸表示.（2）在橫軸上標(biāo)出40.5，46.5，52.5，···，100.5的點(diǎn).（3）在上面標(biāo)出的各點(diǎn)中，分別以連接相鄰兩點(diǎn)的線段為底作矩形，高等于該組的.一般地，作頻率直方圖的方法是：把橫軸分成若干段，每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)組距，然后以此線段為底作一個(gè)矩形，它的高等于該組的，這樣得出一系列的矩形，每個(gè)矩形的面積恰好是該組的頻率.這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖.130頻率直方圖比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律.如上圖所示直方圖在70.5附近達(dá)到

“峰值”，這說(shuō)明產(chǎn)品的尺寸在70.5cm附近較為集中.另外還可以看出，產(chǎn)品尺寸特別大或特別小的都很少，相對(duì)“峰值”具有一定的對(duì)稱性.頻率直方圖中所有矩形面積之和正好為1，根據(jù)需要，我們也可以使用頻數(shù)直方圖，頻數(shù)分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻數(shù)，每一組矩形高度為該組頻數(shù)，兩種圖形都可以清楚地看到數(shù)據(jù)分布的總體形態(tài)，頻數(shù)分布直方圖繪制難度相對(duì)較小.1311323.6總體特征值的估計(jì)1333.5.1頻率分布表實(shí)例考察某魚(yú)塘投放了1萬(wàn)條魚(yú)，經(jīng)一段時(shí)間的養(yǎng)殖后，為了了解魚(yú)的生長(zhǎng)情況，從中隨機(jī)打撈出30條，重量（單位：g）如下：742726681724652710720705696683678724735680661665681708724724736653714678735722669723697744134這里的總體是“某魚(yú)塘投放的1萬(wàn)條魚(yú)”，將1萬(wàn)條魚(yú)全部打撈上來(lái)稱重顯然不太現(xiàn)實(shí)，上面抽到的30條魚(yú)是總體的一個(gè)容量為30的樣本.通常情況下，我們可以用樣本的平均值作為魚(yú)塘中所有魚(yú)平均重量的估計(jì)值，實(shí)際上也可以用其他估計(jì)量來(lái)反映總體的數(shù)據(jù)特征.在數(shù)學(xué)中，通常把能反映總體某種特征的量稱為總體特征值.怎樣通過(guò)抽樣的方法，用樣本的特征值估計(jì)總體的特征值呢？1353.6.1平均數(shù)及其估計(jì)一般地，當(dāng)樣本容量為

n

時(shí)，設(shè)每次抽取的樣本為（x1，x2，···，xn），樣本平均數(shù)記為，則對(duì)于實(shí)例考察中的問(wèn)題，我們可通過(guò)計(jì)算撈出的魚(yú)的平均重量來(lái)反映魚(yú)塘中魚(yú)的總體情況，即1363.6.2方差與標(biāo)準(zhǔn)差我們也通過(guò)學(xué)生成績(jī)的波動(dòng)情況來(lái)反映學(xué)生成績(jī)的總體情況，通常用方差來(lái)表示.波動(dòng)越大，方差越大，說(shuō)明學(xué)生成績(jī)參差不齊；波動(dòng)越小，方差越小，說(shuō)明學(xué)生整體成績(jī)較好.一般地，當(dāng)樣本容量為

n

時(shí)，設(shè)每次抽取的樣本為（x1，x2，···，xn），樣本平均數(shù)記為，方差記為s2，則137其中s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.如實(shí)例考察中魚(yú)重量的方差為1383.7一元線性回歸139實(shí)例考察某超市為了了解熱茶銷量與氣溫之間的相關(guān)關(guān)系，隨機(jī)提取了一年內(nèi)6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照下表.如果某天的氣溫是-5℃，那么你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)這天賣出熱茶的杯數(shù)嗎？140杯數(shù)與氣溫對(duì)照表在實(shí)際問(wèn)題中，有聯(lián)系的變量與變量之間的關(guān)系常見(jiàn)的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系.另一類是變量間有一定的關(guān)系，但又不能準(zhǔn)確用函數(shù)關(guān)系來(lái)表達(dá).通常把研究?jī)蓚€(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為一元回歸分析.這里我們只研究一元線性回歸分析.141我們以具體的例子來(lái)說(shuō)明一元線性回歸方程的建立.在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕刻線試驗(yàn)，腐蝕深度y（單位：μm）與腐蝕時(shí)間x（單位：s）之間相應(yīng)的一組觀察值見(jiàn)下表.142

腐蝕深度與腐蝕時(shí)間的觀察值

由上表中的數(shù)據(jù)可以看出，y

有隨x

增加而增加的趨勢(shì)，它們之間的這種關(guān)系無(wú)法用函數(shù)式準(zhǔn)確表達(dá)，是一種相關(guān)關(guān)系.為了探求兩者之間的定量關(guān)系，我們以腐蝕時(shí)間x

的取值作橫坐標(biāo)，以y的相應(yīng)取值作縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)（xi，yi）（i=1，2，···，11），如圖所示.這樣的圖叫散點(diǎn)圖