2025屆湖南省沅澧共同體高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省沅澧共同體2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，則，所以.故選：B.2.設(shè)命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，命題“，”的否定“，”.故選：A.3.設(shè)，則的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，可得，.因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則.故，即.故選：A4.已知，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】，則，所以.故選：B.5.若，向量與向量的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由投影向量定義可知，在上的投影向量為.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?故選：C.7.關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)圖象如圖所示．若關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則即解得.故選：A．8.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，所以，所以切線方程為，令，則，令，則，則三角形的面積為，故選：A.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少兩項(xiàng)是符合題目要求的．若全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不選得0分．9.若滿足對(duì)定義域內(nèi)任意的，都有，則稱為“優(yōu)美函數(shù)”，則下列函數(shù)不是“優(yōu)美函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)镽，取，則，則存在，使得，故A滿足題意；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于定義域內(nèi)任意的，故B不滿足題意；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)镽，取，則，則存在，使得故C滿足題意；對(duì)于D，函數(shù)定義域R，取，則，則存在，使得故D滿足題意.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.是偶函數(shù)D.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】A．由圖可得，，，解得，又函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，故，故A正確；B．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取得最小值，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；C．是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，故D正確，故選：ABD．11.已知函數(shù)是奇函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.，且，恒有C.函數(shù)在上的值域?yàn)镈.若，恒有的一個(gè)充分不必要條件是【答案】AD【解析】對(duì)于A：∵函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域?yàn)?，則，解得，故A正確；對(duì)于B：由選項(xiàng)A可得：，對(duì)，且，則，可得，故，可得，則，即，故在上單調(diào)遞增，∴，且，恒有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：∵，，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：∵，恒有，且在上單調(diào)遞增，∴，恒成立，即，恒成立，當(dāng)時(shí)，則不恒成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.∵，∴，恒有的一個(gè)充分不必要條件是，故D正確；故選：AD．三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的最小值是__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，．?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，最小值為．13.用半徑為的半圓形紙片卷成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的體積為________．【答案】【解析】由題意知圓錐筒的母線長(zhǎng)為2，設(shè)圓錐筒的底面半徑等于,則，，圓錐筒的高為：，這個(gè)圓錐筒的體積為;.14.函數(shù)，已知在區(qū)間恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為_______.【答案】【解析】由題意可得，令，即恰有三個(gè)實(shí)根，三根為：①，k，∵，∴，∴無(wú)解；或，當(dāng)時(shí)，解得的范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．15.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，，．（1）求及的面積；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的正弦值．解：（1）由余弦定理得，整理得，即，因?yàn)椋獾茫?（2）由正弦定理得：，所以，在三角形中，因?yàn)?，則，所以.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足．（1）求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．解：（1）由，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，也適合.綜上可得，.由，所以.（2）由（1）知，①②①②得，所以．17.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，，，，，是棱的中點(diǎn)．（1）求證：面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線和平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，,，,，且平面平面，（2）由（1）得，，異面直線與所成角的余弦值為．（3）由（1）得，．設(shè)平面的法向量n=x,y,z由得，，令，則，設(shè)，．整理得，，解得或存在點(diǎn)或．18.如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線均不與軸垂直.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的方程；（3）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.解：（1）由題意得，解得，故橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由得，由，得，則.，解得或當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線方程為.（3）直線，均不與軸垂直，所以，則且，所以為定值.19.已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒有，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）方程，當(dāng)時(shí)，方程不成立，則，令，依題意，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，取得極小值，作出函數(shù)的圖象，如圖：觀察圖象，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，且，得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，于是，而，因此，即，又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，所以.湖南省沅澧共同體2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，，則，所以.故選：B.2.設(shè)命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，命題“，”的否定“，”.故選：A.3.設(shè)，則的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，可得，.因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則.故，即.故選：A4.已知，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】，則，所以.故選：B.5.若，向量與向量的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由投影向量定義可知，在上的投影向量為.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.7.關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)圖象如圖所示．若關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則即解得.故選：A．8.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，所以，所以切線方程為，令，則，令，則，則三角形的面積為，故選：A.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少兩項(xiàng)是符合題目要求的．若全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不選得0分．9.若滿足對(duì)定義域內(nèi)任意的，都有，則稱為“優(yōu)美函數(shù)”，則下列函數(shù)不是“優(yōu)美函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)镽，取，則，則存在，使得，故A滿足題意；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于定義域內(nèi)任意的，故B不滿足題意；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)镽，取，則，則存在，使得故C滿足題意；對(duì)于D，函數(shù)定義域R，取，則，則存在，使得故D滿足題意.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.是偶函數(shù)D.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】A．由圖可得，，，解得，又函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，故，故A正確；B．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取得最小值，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；C．是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，故D正確，故選：ABD．11.已知函數(shù)是奇函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.，且，恒有C.函數(shù)在上的值域?yàn)镈.若，恒有的一個(gè)充分不必要條件是【答案】AD【解析】對(duì)于A：∵函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域?yàn)?，則，解得，故A正確；對(duì)于B：由選項(xiàng)A可得：，對(duì)，且，則，可得，故，可得，則，即，故在上單調(diào)遞增，∴，且，恒有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：∵，，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上的值域?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D：∵，恒有，且在上單調(diào)遞增，∴，恒成立，即，恒成立，當(dāng)時(shí)，則不恒成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.∵，∴，恒有的一個(gè)充分不必要條件是，故D正確；故選：AD．三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的最小值是__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，．?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，最小值為．13.用半徑為的半圓形紙片卷成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的體積為________．【答案】【解析】由題意知圓錐筒的母線長(zhǎng)為2，設(shè)圓錐筒的底面半徑等于,則，，圓錐筒的高為：，這個(gè)圓錐筒的體積為;.14.函數(shù)，已知在區(qū)間恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為_______.【答案】【解析】由題意可得，令，即恰有三個(gè)實(shí)根，三根為：①，k，∵，∴，∴無(wú)解；或，當(dāng)時(shí)，解得的范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．15.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，，．（1）求及的面積；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的正弦值．解：（1）由余弦定理得，整理得，即，因?yàn)?，解得，所?（2）由正弦定理得：，所以，在三角形中，因?yàn)椋瑒t，所以.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足．（1）求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．解：（1）由，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，也適合.綜上可得，.由，所以.（2）由（1）知，①②①②得，所以．17.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，，，，，是棱的中點(diǎn)．（1）求證：面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線和平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，,，,，且平面平面，（2）由（1）得，，異面直線與所成角的余弦值為．（3）由（1）得，．設(shè)平面的法向量n=x,y,z由得，，令，則，設(shè)，．整理得，，解得或存在點(diǎn)或．18.如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線均不與軸垂直.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的方程；（3）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.解：（1）由題意得，解得，故橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由得，由，得，則.，解得或當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線方程為.（3）直線，均不與軸垂直，所以，則且，所以為定值.19.已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒有，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由