2025屆遼寧省沈陽市郊聯(lián)體高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以.故選：B.2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為、，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知，，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選：A3.若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】D【解析】若數(shù)列的公比為，由，故，若，則，故充分性不成立；由得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故必要性成立；因此“”是“”的必要不充分條件.故選：D.4.設(shè)等差數(shù)列中，，使函數(shù)在時取得極值，則的值是（）A.2或 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)在時取得極值，所以，而，故有，解得或，當(dāng)時，，故，令，，令，，得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在函數(shù)在時取得極小值，符合題意，由等差中項性質(zhì)得，當(dāng)時，，故，即在上單調(diào)遞增，所以此時函數(shù)無極值，不符合題意，故排除，綜上，的值是，故C正確.故選：C5.在正四棱柱中，，，是該正四棱柱表面上的一動點，且滿足，則點的運動軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，在上取點，使，連接，則，故，又，故，因為平面，平面，所以，又，平面，故平面，又平面，故，在上取點，使，同理可證，又，平面，則平面，設(shè)平面與棱交于點，連接，則平面平面，又平面平面，由平面平面，則，同理可證，故四邊形為平行四邊形，則四點共面，在平面內(nèi)，在棱上取點，使，連接，則，，則四邊形是平行四邊形，則，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，則，則為的中點，由，可得，則四邊形為菱形，且平面，由，則點在過點且與垂直的平面內(nèi)，即平面內(nèi)，又點是該正四棱柱表面上的一動點，故點的運動軌跡即為菱形，且該菱形的周長為.故選：B.6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，圖象與軸的交點為，與軸的交點為，最高點，且滿足．若將的圖象向左平移1個單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】由題知，函數(shù)的周期滿足，解得，所以，由圖象與軸的交點為得，因為，所以，即，所以，圖象與軸的交點為，因為，所以，解得（負(fù)舍），所以，所以若將的圖象向左平移1個單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，所以.故選：D7.已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為為奇函數(shù)，則，且函數(shù)的圖象關(guān)于0,1中心對稱，即，因為為偶函數(shù)，所以，則，所以，，所以，故的周期為，因為，所以，故選：B.8.已知，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）A.4 B. C.8 D.【答案】C【解析】設(shè)，又，所以在0,+∞單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，，由圖象開口向上，，可知方程gx=0有一正根一負(fù)根，即函數(shù)在0,+∞有且僅有一個零點，且為異號零點；由題意知，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以是方程的根，則，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則的最小值是8，故選：C二、多選題：本大題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.9.下列說法，正確的有（）.A.已知，，則向量在向量上的投影向量是B.函數(shù)，圖象向左平移后所得的函數(shù)為奇函數(shù).C.已知，則D.在中，若，則為等腰三角形【答案】ACD【解析】對于A：向量在向量上投影向量，故A正確；對于B：函數(shù)，圖象向左平移后所得的函數(shù)為，不是奇函數(shù)，故B不正確；對于C：，C正確；對于D：，向量與的角平分線共線，所以的角平分線與垂直，所以為等腰三角形，D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間的最小值為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱C.已知函數(shù)，若時，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為D.若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A：，，則，當(dāng)時f'x<0，當(dāng)時f'x所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在取得極小值，即最小值，即，故A正確；對于B：因為，則，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，故B正確；對于C：因為時，都有成立，即時，都有成立，即時，都有成立，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為，故C錯誤；對于D：當(dāng)時，不等式在上恒成立不會成立，故，當(dāng)時，，此時不等式恒成立；不等式在上恒成立,即在上恒成立,而即，設(shè)，當(dāng)x>1時，，故是增函數(shù)，則即，故，設(shè)，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，則，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是，故D正確.故選：ABD11.在邊長為的正方體中，為邊的中點，下列結(jié)論正確的有（）A.與所成角的余弦值為B.三棱錐外接球表面積為C.當(dāng)在線段上運動時，的最小值為D.若為正方體表面上的一個動點，、分別為的三等分點，則的最小值為【答案】AC【解析】正方體易得，取CD中點，連接，．由于是中點，因此，所以，所以是與所成角或其補角，在中，，，所以，故A對；分別取的中點為、、，連接、、、，所以長方體的外接球即是三棱錐外接球，所以長方體的體對角線即是三棱錐外接球的直徑，又，所以三棱錐外接球表面積為，故B錯；由對稱性可知，故，因為，所以四點共面，故，當(dāng)為與交點時，等號成立，故C正確，設(shè)點關(guān)于平面對稱點為，則，，顯然，又，所以，，，故D錯；故選：AC第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列其前項和為，則______.【答案】5000【解析】由題意.故答案為：5000.13.已知一個正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為______.【答案】【解析】如圖所示，正四棱柱為，正四棱錐，設(shè)底邊邊長，高，則，又正四棱柱的側(cè)面積，正四棱錐的側(cè)面積，則，解得，所以正四棱錐體積，故答案為：.14.已知梯形中，，，，，，點、在線段上移動，且，則的最小值為______.【答案】2【解析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點，BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，過A作于M，因為，，所以，，所以.不妨設(shè)，則，所以，，所以當(dāng)時，取得最小值2.三、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．解：（1）由及正弦定理得，故，在中，，，所以，可得，而，故即.（2）由正弦定理的得，，因為，則，所以，因為為銳角三角形，則，，，故，所以周長的取值范圍.16.已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）當(dāng)時，，解得，因①，當(dāng)時，②，①②得，，即，則，即，，又.所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，可得，即；（2）由（1）可得：，令，所以.17.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)，當(dāng)時，在區(qū)間上，若對于任意兩個自變量的值都有，求實數(shù)的范圍.解：（1）由，得，所以，即在處的切線斜率為，又，即切點為0,3，所以曲線y=fx在處的切線方程為，即.（2）由（1）可得，，因為，所以，所以當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，所以的最小值.又，，所以，從而的最大值，所以設(shè)，則，由，知，所以在上單調(diào)遞增，因為，，所以的取值范圍為所以的范圍為.18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點.（1）證明：平面；（2）若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.（1）證明：取的中點，連接，，如圖所示：為棱的中點，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）解：，，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，又，以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則P0,0,1，，A1,0,0，，為棱的中點，，（i），，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則，令，則，，，平面的一個法向量為，，根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為（ii）假設(shè)在線段上存在點，使得點到平面的距離是，設(shè)，，則，，由（2）知平面的一個法向量為，，點到平面的距離是,，，.19.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，f″x是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點處的曲率.（1）求曲線在處的曲率的平方；（2）求正弦曲線曲率的平方的最大值.（3）正弦曲線，若，判斷在區(qū)間上零點的個數(shù)，并寫出證明過程.解：（1）因為，所以，，所以，.（2）由，，則，，令，則，故，設(shè)，則，在時，遞減，所以，最大值為1.（3）因為，，則.①當(dāng)時，因為，所以在上單調(diào)遞減.所以.所以在上無零點.②當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，且，，所以存在，使.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.所以.設(shè)，，，,所以φx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.所以，所以.所以在上存在一個零點.所以在有2個零點.綜上所述，在上的零點個數(shù)為2.遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以.故選：B.2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為、，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知，，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選：A3.若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】D【解析】若數(shù)列的公比為，由，故，若，則，故充分性不成立；由得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故必要性成立；因此“”是“”的必要不充分條件.故選：D.4.設(shè)等差數(shù)列中，，使函數(shù)在時取得極值，則的值是（）A.2或 B.2 C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)在時取得極值，所以，而，故有，解得或，當(dāng)時，，故，令，，令，，得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在函數(shù)在時取得極小值，符合題意，由等差中項性質(zhì)得，當(dāng)時，，故，即在上單調(diào)遞增，所以此時函數(shù)無極值，不符合題意，故排除，綜上，的值是，故C正確.故選：C5.在正四棱柱中，，，是該正四棱柱表面上的一動點，且滿足，則點的運動軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，在上取點，使，連接，則，故，又，故，因為平面，平面，所以，又，平面，故平面，又平面，故，在上取點，使，同理可證，又，平面，則平面，設(shè)平面與棱交于點，連接，則平面平面，又平面平面，由平面平面，則，同理可證，故四邊形為平行四邊形，則四點共面，在平面內(nèi)，在棱上取點，使，連接，則，，則四邊形是平行四邊形，則，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，則，則為的中點，由，可得，則四邊形為菱形，且平面，由，則點在過點且與垂直的平面內(nèi)，即平面內(nèi)，又點是該正四棱柱表面上的一動點，故點的運動軌跡即為菱形，且該菱形的周長為.故選：B.6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，圖象與軸的交點為，與軸的交點為，最高點，且滿足．若將的圖象向左平移1個單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】由題知，函數(shù)的周期滿足，解得，所以，由圖象與軸的交點為得，因為，所以，即，所以，圖象與軸的交點為，因為，所以，解得（負(fù)舍），所以，所以若將的圖象向左平移1個單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，所以.故選：D7.已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為為奇函數(shù)，則，且函數(shù)的圖象關(guān)于0,1中心對稱，即，因為為偶函數(shù)，所以，則，所以，，所以，故的周期為，因為，所以，故選：B.8.已知，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）A.4 B. C.8 D.【答案】C【解析】設(shè)，又，所以在0,+∞單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，，由圖象開口向上，，可知方程gx=0有一正根一負(fù)根，即函數(shù)在0,+∞有且僅有一個零點，且為異號零點；由題意知，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以是方程的根，則，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則的最小值是8，故選：C二、多選題：本大題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.9.下列說法，正確的有（）.A.已知，，則向量在向量上的投影向量是B.函數(shù)，圖象向左平移后所得的函數(shù)為奇函數(shù).C.已知，則D.在中，若，則為等腰三角形【答案】ACD【解析】對于A：向量在向量上投影向量，故A正確；對于B：函數(shù)，圖象向左平移后所得的函數(shù)為，不是奇函數(shù)，故B不正確；對于C：，C正確；對于D：，向量與的角平分線共線，所以的角平分線與垂直，所以為等腰三角形，D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間的最小值為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱C.已知函數(shù)，若時，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為D.若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A：，，則，當(dāng)時f'x<0，當(dāng)時f'x所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在取得極小值，即最小值，即，故A正確；對于B：因為，則，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，故B正確；對于C：因為時，都有成立，即時，都有成立，即時，都有成立，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為，故C錯誤；對于D：當(dāng)時，不等式在上恒成立不會成立，故，當(dāng)時，，此時不等式恒成立；不等式在上恒成立,即在上恒成立,而即，設(shè)，當(dāng)x>1時，，故是增函數(shù)，則即，故，設(shè)，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，則，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是，故D正確.故選：ABD11.在邊長為的正方體中，為邊的中點，下列結(jié)論正確的有（）A.與所成角的余弦值為B.三棱錐外接球表面積為C.當(dāng)在線段上運動時，的最小值為D.若為正方體表面上的一個動點，、分別為的三等分點，則的最小值為【答案】AC【解析】正方體易得，取CD中點，連接，．由于是中點，因此，所以，所以是與所成角或其補角，在中，，，所以，故A對；分別取的中點為、、，連接、、、，所以長方體的外接球即是三棱錐外接球，所以長方體的體對角線即是三棱錐外接球的直徑，又，所以三棱錐外接球表面積為，故B錯；由對稱性可知，故，因為，所以四點共面，故，當(dāng)為與交點時，等號成立，故C正確，設(shè)點關(guān)于平面對稱點為，則，，顯然，又，所以，，，故D錯；故選：AC第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列其前項和為，則______.【答案】5000【解析】由題意.故答案為：5000.13.已知一個正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為______.【答案】【解析】如圖所示，正四棱柱為，正四棱錐，設(shè)底邊邊長，高，則，又正四棱柱的側(cè)面積，正四棱錐的側(cè)面積，則，解得，所以正四棱錐體積，故答案為：.14.已知梯形中，，，，，，點、在線段上移動，且，則的最小值為______.【答案】2【解析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點，BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，過A作于M，因為，，所以，，所以.不妨設(shè)，則，所以，，所以當(dāng)時，取得最小值2.三、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．解：（1）由及正弦定理得，故，在中，，，所以，可得，而，故即.（2）由正弦定理的得，，因為，則，所以，因為為銳角三角形，則，，，故，所以周長的取值范圍.16.已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）當(dāng)時，，解得，因①，當(dāng)時，②，①②得，，即，則，即，，又.所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，可得，即；（2）由（1）可得：，令，所以.17.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)，當(dāng)時，在區(qū)間上，若對于任意兩個自變量的值都有，求實數(shù)的范圍.解：（1）由，得，所以，即在處的切線斜率為，又，即切點為0,3，所以曲線y=fx在處的切線方程為，即.（2）由（1）可得，，因為，所以，所以當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增