2025屆四川省仁壽高三上學(xué)期一模診斷數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省仁壽2025屆高三上學(xué)期一模診斷數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?故選：A.2.在平行四邊形ABCD中，（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平行四邊形ABCD中，，而，，，.故選：B.3.若某圓臺的上、下底面的半徑分別為1，3，且該圓臺的體積為，則該圓臺的高為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由題可知，該圓臺上底面圓的面積為，下底面圓的面積為，設(shè)該圓臺的高為，則該圓臺的體積為，即，解得.故選：D.4.函數(shù)的部分圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，當(dāng)x∈1,+∞和時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，在1,+∞，上單調(diào)遞減，可排除BC；當(dāng)x∈-1,1時(shí)，，∴fx圖象不關(guān)于軸對稱，可排除D.故選：A.5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為21，且，則（）A. B.2 C.6 D.4【答案】C【解析】由題意知，正項(xiàng)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為21，且，則，解得.故選：C.6.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，得；令，得，所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故選：B.7.已知，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為.故選：A.8.若，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，則，，下面比較與的大小，即比較與的大小，即比較與大小，即比較與的大小，而，則，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)根，則（）A.為純虛數(shù) B.C. D.【答案】ABD【解析】方程，，方程的根為，即方程的根為，，不妨設(shè)，，則為純虛數(shù)，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則（）A. B.C.在上單調(diào)遞增 D.在上恰有10個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】由圖可知，，，即，又，則，故A正確；此時(shí)，又，且，則，故B正確；此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有10個(gè)零點(diǎn)，所以在上恰有10個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.11.在體積為的正四棱錐中，異面直線PC與AB所成角的余弦值為，則（）A.B.二面角的余弦值為C.正四棱錐的外接球的表面積為D.直線BC與平面PCD所成角的正切值為2【答案】BCD【解析】取的中點(diǎn)，設(shè)為正方形的中心，連接，，則.因?yàn)?，所以異面直線與所成的角即，則.設(shè)，則，，，則，所以正四棱錐的體積為，解得，所以，故A錯(cuò)誤.在正方形中，由于，為的中點(diǎn)，所以，則為二面角的平面角，所以，故B正確.設(shè)正四棱錐的外接球的球心為，且，又，由，得，解得，所以正四棱錐的外接球的表面積為，故C正確.因?yàn)?，所以直線與平面所成的角即直線與平面所成的角.過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以，又，且平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若鈍角滿足，則______.【答案】5【解析】由題意，，則，所以，由，解得.13.已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【解析】由是奇函數(shù)，得函數(shù)關(guān)于對稱，又當(dāng)時(shí)，，則.14.在如圖所示的方格表中選5個(gè)方格，則這5個(gè)方格的數(shù)中恰有2個(gè)11的概率為______，若要求每行和每列都恰有1個(gè)方格被選中，則被選方格的5個(gè)數(shù)之和的最大值為______.10213041501120304049101929405111203139501123324352【答案】【解析】由題知表中共有25個(gè)數(shù)，其中包含3個(gè)11，所以任選5個(gè)方格，其中恰有2個(gè)11的概率為.根據(jù)題表知每列數(shù)字最大值都在最后一行出現(xiàn)，根據(jù)題表可得出每列數(shù)字與此列中最大數(shù)的差的絕對值，如下表：1222203233143310314200000按要求每行和每列都恰有1個(gè)方格被選中，若被選方格的5個(gè)數(shù)之和最大，則差的絕對值之和最小，所以要使得5個(gè)數(shù)之和最大，則這5個(gè)數(shù)可以為11，23，31，41，51，此時(shí)和為，即和的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，，且.（1）求的大??；（2）若的面積為，求外接圓的直徑.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，不妨設(shè)，，則由余弦定理得，，又，則.（2）設(shè)外接圓的半徑為，由題意，，即，由（1）知，設(shè)，，則，解得，則，所以，則外接圓的直徑為.16.如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面ABCD.（2）若，求點(diǎn)N到平面AMF的距離.（1）證明：因?yàn)?，，都垂直于平面，則.取的中點(diǎn)，連接，，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）解：連接.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，得，，可得.故點(diǎn)到平面的距離.17.在遞增的等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)的公差為，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，由解得，所以，所以.（2）由（1）可得，則①，②，①-②得則.18.某工廠打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一種易損零件，在購買設(shè)備時(shí)可以額外購買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)200元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購買該零件，價(jià)格為每個(gè)320元.在使用期間，每臺設(shè)備需要更換的零件個(gè)數(shù)T的分布列為45670.30.20.40.1表示2臺設(shè)備使用期間需更換的零件個(gè)數(shù)，代表購買2臺設(shè)備的同時(shí)購買易損零件的個(gè)數(shù).（1）求的分布列；（2）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，試問在和中，應(yīng)選擇哪一個(gè)?解：（1）由題意，的可能取值為8，9，10，11，12，13，14，則，，，，，，，則的分布列為：8910111213140.090.120.280.220.20.080.01（2）記為當(dāng)時(shí)購買零件所需費(fèi)用，的可能取值為2000，2320，2640，2960，3280，則，，，，，則.記為當(dāng)時(shí)購買零件所需費(fèi)用，的可能取值為2200，2520，2840，3160，則，，，，，顯然，所以應(yīng)選擇.19.若存在有限個(gè)，使得，且不是偶函數(shù)，則稱為“缺陷偶函數(shù)”，稱為的偶點(diǎn).（1）證明：為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點(diǎn)唯一.（2）對任意x，，函數(shù)，都滿足.①若是“缺陷偶函數(shù)”，證明：函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn).②若，證明：當(dāng)時(shí)，.參考數(shù)據(jù)：，.解：（1）由可得，由可得，解得，所以為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點(diǎn)唯一，且為0，（2）由可得對任意x，，恒成立，所以存在常數(shù)，使得,令，則，且，解得，①，則，由于“缺陷偶函數(shù)”，故，即，即，則，得，，由于，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有兩個(gè)極值點(diǎn).②若，即，則，故，當(dāng)時(shí)，要證，只需要證.，因?yàn)?，故，只需證，令，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，故，所以，從而，故，時(shí)，得證.四川省仁壽2025屆高三上學(xué)期一模診斷數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所?故選：A.2.在平行四邊形ABCD中，（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平行四邊形ABCD中，，而，，，.故選：B.3.若某圓臺的上、下底面的半徑分別為1，3，且該圓臺的體積為，則該圓臺的高為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由題可知，該圓臺上底面圓的面積為，下底面圓的面積為，設(shè)該圓臺的高為，則該圓臺的體積為，即，解得.故選：D.4.函數(shù)的部分圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，當(dāng)x∈1,+∞和時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，在1,+∞，上單調(diào)遞減，可排除BC；當(dāng)x∈-1,1時(shí)，，∴fx圖象不關(guān)于軸對稱，可排除D.故選：A.5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為21，且，則（）A. B.2 C.6 D.4【答案】C【解析】由題意知，正項(xiàng)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為21，且，則，解得.故選：C.6.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，得；令，得，所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故選：B.7.已知，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為.故選：A.8.若，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，則，，下面比較與的大小，即比較與的大小，即比較與大小，即比較與的大小，而，則，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若復(fù)數(shù)，是方程的兩個(gè)根，則（）A.為純虛數(shù) B.C. D.【答案】ABD【解析】方程，，方程的根為，即方程的根為，，不妨設(shè)，，則為純虛數(shù)，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則（）A. B.C.在上單調(diào)遞增 D.在上恰有10個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】由圖可知，，，即，又，則，故A正確；此時(shí)，又，且，則，故B正確；此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有10個(gè)零點(diǎn)，所以在上恰有10個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.11.在體積為的正四棱錐中，異面直線PC與AB所成角的余弦值為，則（）A.B.二面角的余弦值為C.正四棱錐的外接球的表面積為D.直線BC與平面PCD所成角的正切值為2【答案】BCD【解析】取的中點(diǎn)，設(shè)為正方形的中心，連接，，則.因?yàn)?，所以異面直線與所成的角即，則.設(shè)，則，，，則，所以正四棱錐的體積為，解得，所以，故A錯(cuò)誤.在正方形中，由于，為的中點(diǎn)，所以，則為二面角的平面角，所以，故B正確.設(shè)正四棱錐的外接球的球心為，且，又，由，得，解得，所以正四棱錐的外接球的表面積為，故C正確.因?yàn)?，所以直線與平面所成的角即直線與平面所成的角.過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以，又，且平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若鈍角滿足，則______.【答案】5【解析】由題意，，則，所以，由，解得.13.已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【解析】由是奇函數(shù)，得函數(shù)關(guān)于對稱，又當(dāng)時(shí)，，則.14.在如圖所示的方格表中選5個(gè)方格，則這5個(gè)方格的數(shù)中恰有2個(gè)11的概率為______，若要求每行和每列都恰有1個(gè)方格被選中，則被選方格的5個(gè)數(shù)之和的最大值為______.10213041501120304049101929405111203139501123324352【答案】【解析】由題知表中共有25個(gè)數(shù)，其中包含3個(gè)11，所以任選5個(gè)方格，其中恰有2個(gè)11的概率為.根據(jù)題表知每列數(shù)字最大值都在最后一行出現(xiàn)，根據(jù)題表可得出每列數(shù)字與此列中最大數(shù)的差的絕對值，如下表：1222203233143310314200000按要求每行和每列都恰有1個(gè)方格被選中，若被選方格的5個(gè)數(shù)之和最大，則差的絕對值之和最小，所以要使得5個(gè)數(shù)之和最大，則這5個(gè)數(shù)可以為11，23，31，41，51，此時(shí)和為，即和的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，，且.（1）求的大??；（2）若的面積為，求外接圓的直徑.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，不妨設(shè)，，則由余弦定理得，，又，則.（2）設(shè)外接圓的半徑為，由題意，，即，由（1）知，設(shè)，，則，解得，則，所以，則外接圓的直徑為.16.如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面ABCD.（2）若，求點(diǎn)N到平面AMF的距離.（1）證明：因?yàn)椋?，都垂直于平面，則.取的中點(diǎn)，連接，，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）解：連接.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，得，，可得.故點(diǎn)到平面的距離.17.在遞增的等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)的公差為，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，由解得，所以，所以.（2）由（1）可得，則①，②，①-②得則.18.某工廠打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一種易損零件，在購買設(shè)備時(shí)可以額外購買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)200元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購買該零件，價(jià)格為每個(gè)320元