中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)重難考點強化訓(xùn)練-專題01 一次方程（組）及其應(yīng)用（知識串講+9大考點）（全國版）解析版

專題01一次方程（組）及其應(yīng)用考點類型知識一遍過（一）等式的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等式兩邊加或減同一個數(shù)或同一個整式所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則a±c＝b±c.（2）性質(zhì)2：等式兩邊同乘（或除）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則ac＝bc，(c≠0)．（3）性質(zhì)3：（對稱性）若a=b,則b=a.（4）性質(zhì)4：（傳遞性）若a=b,b=c,則a=c.（二）方程的概念（1）方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程：使方程左右兩邊值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，方程的解也叫它的根：求方程解的過程叫做解方程。（2）一元一次方程：只含有1個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程：它的一般形式為ax+b=0(a≠0)．其解為x＝．（3）二元一次方程（組）：①二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，這樣的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．②二元一次方程組：具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．③二元一次方程的解：適合一個二元一次方程的未知數(shù)的值叫做這個二元一次方程的一個解，一個二元一次方程有無數(shù)多個解．④二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．（三）解一元一次方程（1）一般步驟：①去分母：②去括號：③移項：④合并同類項：⑤系數(shù)化為1．（2）理論根據(jù)和注意點①去分母→根據(jù)等式性質(zhì)2→注意點：勿漏乘不含分母的項，分子是兩項以上的代數(shù)式須加上括號；②去括號→根據(jù)去括號法則（分配律）→注意點：一是勿漏乘括號內(nèi)每一項；二是括號前是“－”，括號內(nèi)各項都要變號；③移項→根據(jù)移項法則（等式性質(zhì)1）→注意點：一是移項要變號，二是勿漏項；④合并同類項→根據(jù)合并同類項法則→注意點：系數(shù)相加，字母及它的指數(shù)不變（四）解二元一次方程組解二元一次方程組的基本思想是消元，即化二元一次方程組為一元一次方程，主要方法有代入消元法和加減消元法．（五）一次方程（組）的應(yīng)用步驟：設(shè)（未知數(shù)）→列（方程）→解（方程）→答（作答）關(guān)鍵點：確認(rèn)等量關(guān)系；常見的等量關(guān)系：①行程問題基本等量關(guān)系：路程=時間×速度；時間=路程÷速度；速度=路程÷時間。順行：順行速度＝自身速度＋風(fēng)速（水速）；逆行速度＝自身速度－風(fēng)速（水速）②工程問題：工作總量=工作時間×工作效率。③配套問題：實際生產(chǎn)比＝配套比。④商品銷售問題：利潤＝售價－成本；售價＝標(biāo)價×0.1折扣；利潤率＝利潤÷進(jìn)價×100%總利潤＝單利潤×數(shù)量現(xiàn)單利潤＝原單利潤＋漲價部分（－降價部分）現(xiàn)數(shù)量＝原數(shù)量－（原數(shù)量＋）⑤數(shù)字問題：一個十位數(shù)可表示為：10×十位上的數(shù)字＋個位上的數(shù)字；一個百位數(shù)可表示為：100×百位上的數(shù)字＋10×十位上的數(shù)字＋個位上的數(shù)字。以此類推。⑥平均增長率（下降率）問題：計算公式：原數(shù)×（1＋增長率）＝總數(shù)，原數(shù)×（1－下降率）＝總數(shù)。考點一遍過考點1：方程的解典例1：（22·23上·紅河·期末）小剛同學(xué)在做作業(yè)時，不小心將方程3x?3?■=x+1中的一個常數(shù)涂黑了，在詢問老師后，老師告訴她方程的解是x=7，請問這個被涂黑的常數(shù)■是（A．6 B．5 C．4 D．1【答案】C【分析】將x=7代入3x?3【詳解】解：將x=7代入3x?3?■=x+1得：12?■=8，解得：■=4，故選：C．【點睛】本題主要考查了方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．【變式1】（22·23上·泰安·期末）若關(guān)于x的一元一次方程12023x+5=3x?7的解為x=?3，則關(guān)于y的一元一次方程12023A．y=?3 B．y=?4 C．y=?5【答案】C【分析】設(shè)y+2=x，將x替換y+2代入方程12023y+2+5=3【詳解】解：設(shè)y+2=x，則12023y+2+5=3∴y+2=x=?3，解得：y=?5，故選：C．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，熟知方程得解是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，設(shè)y+2=x，將x替換y+2代入方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（22·23上·鹽城·期末）整式mx?n的值隨x取值的變化而變化，下表是當(dāng)x取不同值時對應(yīng)的整式的值：x?5?4?3?2?11mx?n9630?3?9則關(guān)于x的方程?mx+n=9的解為（

）A．x=?5 B．x=?4 C．x=?2 D．x=1【答案】D【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)把?mx+n=9變形為mx?n=?9；再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】解：關(guān)于x的方程?mx+n=9變形為mx?n=?9，由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)?mx+n=9時，x=1；故選：D．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等式變形，根據(jù)表格求解．【變式3】（22·23·浙江·模擬預(yù)測）一賓館有一人間、兩人間、三人間三種客房供游客租住，某旅行團(tuán)共15人準(zhǔn)備租用客房共7間，如果每個房間都住滿，租房方案有（）A．6種 B．5種 C．4種 D．3種【答案】C【分析】設(shè)一人間x間，二人間y間，三人間7?x?y間，根據(jù)旅行團(tuán)共15人列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)一人間x間，二人間y間，三人間7?x?y間．根據(jù)題意得：x+2y+37?x?y整理得：2x+y=6，當(dāng)y=0時，x=3，7?3?0=7?3?0=4；當(dāng)y=2時，x=2，7?x?y=7?2?2=3；當(dāng)y=4時，x=1，7?x?y=7?1?4=2；當(dāng)y=6時，x=0，7?x?y=7?0?6=1．∴有4種租房方案：①租一人間3間，二人間0間，三人間4間；②租一人間2間，二人間2間，三人間3間；③租一人間1間，二人間4間，三人間2間；④租一人間0間，二人間6間，三人間1間．故選：C．【點睛】本題是二元一次方程的應(yīng)用，此題難度較大，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意列方程，然后根據(jù)x，y是整數(shù)求解，注意分類討論思想的應(yīng)用．【變式4】（22·23下·石家莊·階段練習(xí)）若x=2y=1和x=?2y=0都是方程ax+by=2的解，則a+b的值為（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】把x=2y=1和x=?2y=0代入【詳解】解：x=2y=1和x=?2y=0都是方程∴2a+b=2解②得：a=?1，把a=?1代入①得：b=4，∴a=?1∴a+b=?1+4=3，故選：C．【點睛】本題考查的是二元一次方程的解，二元一次方程組的解法，掌握“利用方程的解建立新的二元一次方程”是解本題的關(guān)鍵.【變式5】（22·23下·嘉興·階段練習(xí)）下列某個方程與x?y=3組成方程組的解為x=2y=?1，則這個方程是（

A．12x+2y=3 B．2x?y=6y C．【答案】C【分析】直接把x=2，y=?1代入各方程進(jìn)行檢驗即可．【詳解】A、把x=2，y=?1代入：左邊=1B、把x=2，y=?1代入：左邊=2×2?(?1)C、把x=2，y=?1代入：左邊=3×2?4×(?1)=10，故此項符合題意；D、把x=2，y=?1代入：左邊=2×2?2×(?1)=6≠6×(?1)=?6，故此項不符合題意；故選：C．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是正確理解方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．考點2：等式的性質(zhì)典例2：（23·24上·長沙·期中）若a=b，m是任意有理數(shù)，則下列等式不一定成立的是（

）A．a(chǎn)+m=b+m B．a(chǎn)?m=b?mC．a(chǎn)m=bm D．a(chǎn)【答案】D【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】A、利用等式性質(zhì)1，兩邊都加m，得到a+m=b+m，原變形一定成立，故此選項不符合題意；B、利用等式性質(zhì)1，兩邊都減去m，得到a?m=b?m，原變形一定成立，故此選項不符合題意；C、利用等式性質(zhì)2，兩邊都乘m，得到am=bm，原變形一定成立，故此選項不符合題意；D、成立的條件是m≠0，原變形不一定成立，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】此題考查了等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)，等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．【變式1】（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）下列運用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（

）A．如果a+5=5?b，那么a=b B．若ac=C．若2x=2a?b，則x=a?b D．若x2=6x【答案】B【分析】應(yīng)用等式的性質(zhì)即可．【詳解】A.如果a+5=5?b，那么a=?b

，選項錯誤；B.若ac=bC.若2x=2a?b，則x=a?1D.若x2=6x，則當(dāng)x=0，或故選：B．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確應(yīng)用等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化并解決問題．【變式2】（23·24上·全國·專題練習(xí)）“△〇□”分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”處應(yīng)放〇的個數(shù)是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．據(jù)此解答即可．【詳解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．答：“？”處應(yīng)放〇的個數(shù)是3個．故選：C．【點睛】找出各圖形之間的數(shù)量關(guān)系，是解題關(guān)鍵．【變式3】（22·23上·河北·階段練習(xí)）下列方程的變形正確的是（

）A．由?2x=9，得x=?29 B．由1C．由7=?2x?5，得2x=5?7 D．由1+12【答案】D【分析】A、方程x系數(shù)化為1，求出解，即可作出判斷；B、方程x系數(shù)化為1，求出解，即可作出判斷；C、方程移項得到結(jié)果，即可作出判斷；D、方程去分母得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：A、由?2x=9，得：x=?9B、由13x=0，得：C、由7=?2x?5，得2x=?5?7，不符合題意；D、由1+12x=?3x，得2+x=?6x故選：D．【點睛】此題考查了解一元一次方程，以及等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式4】（22·23下·滄州·期末）嘉淇利用砝碼和自制天平做一個物理實驗，估測物體質(zhì)量，有兩種不同質(zhì)量的物體、，同種物體的質(zhì)量都相等，下面兩個天平中右邊都比左邊低，天平中砝碼的質(zhì)量如圖所示，的質(zhì)量可能為（

）

A．25g B．21g C．20g D．19g【答案】D【分析】根據(jù)題意可知3個比2個加1個20g砝碼輕，易得1個比20g砝碼輕，即可獲得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，可知3個比1個加1個50g砝碼輕，1個加1個50g砝碼比2個加1個20g砝碼輕，所以，3個比2個加1個20g砝碼輕，即1個比20g砝碼輕，所以的質(zhì)量可能為故選：D．【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5】（22·23下·長春·階段練習(xí)）下列變形正確的是（）A．由4x?5=3x+2得4x?3x=?2+5B．由23x?1=C．由3x?1=2D．由?2x=?3得x=【答案】D【分析】根據(jù)等式基本性質(zhì)和去括號法則逐項判斷即可．【詳解】解：A、4x?5=3x+2變形為4x?3x=2+5，故A錯誤，不符合題意；B、23x?1=1C、3x?1=2x+3D、?2x=?3得x=3故選：D．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)和去括號法則，熟練掌握等式的基本性質(zhì)和去括號法則，是解題的關(guān)鍵．考點3：解一元一次方程典例3：（23·24上·廣州·期中）解方程(1)2(2)5x?2=3【答案】(1)x=2；(2)x=4．【分析】（1）先去括號，再移項，然后合并同類項，最后系數(shù)化為1即可；（2）先去括號，再移項，然后合并同類項，最后系數(shù)化為1即可．【詳解】（1）2去括號得，2x+6=5x，移項得，2x?5x=?6，合并同類項得，?3x=?6，系數(shù)化為1得，x=2;（2）5x?2=3去括號得，5x?2=3x+6，移項得，5x?3x=6+2，合并同類項得，2x=8，系數(shù)化為1得，x=4．【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23·24上·廣州·期中）解方程：(1)x+5=8(2)3x+4=5?2x(3)8【答案】(1)3(2)1(3)9【分析】（1）直接移項即可解答；（2）先移項，再系數(shù)化為1即可解答；（3）先去括號，然后再移項、合并同類項、系數(shù)化為1即可解答【詳解】（1）解：x+5=8x=8?5x=3．（2）解：3x+4=5?2x3x+2x=5?45x=1x=1（3）解：816x?8?x+1=?4x+216x?x+4x=2+8?119x=9x=9【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步驟為去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為一．【變式2】（23·24上·大連·期中）解方程：(1)x+3(2)3x+7=32?2x．【答案】(1)x=1(2)x=5【分析】移項合并，然后系數(shù)化為1計算求解即可．本題考查了解一元一次方程．熟練掌握先移項合并，然后系數(shù)化為1，是解方程的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：x+3x?3x=?3?2x=?2，x=1；（2）解：3x+7=32?2x，3x+2x=32?7，5x=25，x=5．【變式3】（23·24上·綦江·期中）解下列方程(1)x?(2)4x?3=6x+5【答案】(1)x=?(2)x=?4【分析】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的基本步驟，“先去分母，再去括號，然后移項合并同類項，最后未知數(shù)的系數(shù)化為1”．【詳解】（1）解：x?2合并同類項得：35未知數(shù)系數(shù)化為1得：x=?5（2）解：4x?3=6x+5，移項，合并同類項得：?2x=8，未知數(shù)系數(shù)化為1得：x=?4．【變式4】（23·24上·全國·專題練習(xí)）解方程：(1)1?3(2)2x+1(3)x?1(4)3【答案】(1)x=1(2)x=?3(3)x=6.4(4)x=4或x=?2【詳解】（1）解：1?3x?2去括號，得1?3x+6=4，移項，得?3x=4?6?1，合并同類項，得?3x=?3，系數(shù)化為1，得x=1；（2）解：2x+13去分母，得22x+1去括號，得4x+2?5x+1=6，移項，得4x?5x=6?1?2，合并同類項，得?x=3，系數(shù)化為1，得x=?3；（3）解：x?10.3原方程可變形為10x?103去分母，得5(10x?10)?3(10x+20)=18，去括號，得50x?50?30x?60=18，移項，得50x?30x=18+50+60，合并同類項，得20x=128，系數(shù)化為1，得x=6.4；（4）解：3x?1去絕對值，得：3(x?1)?7=2或3(1?x)?7=2，去括號，得：3x?3?7=2或3?3x?7=2，移項，得：3x=2+3+7或?3x=2?3+7，合并同類項，得：3x=12或?3x=6，系數(shù)化為1，得：x=4或x=?2．【點睛】此題考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法“去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1”是解題的關(guān)鍵．【變式5】（23·24上·十堰·期中）解方程：(1)2x?x+3=1.5?2x(2)7x+2=5x+8【答案】(1)x=?0.5；(2)x=3．【分析】本題考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解方程的步驟：移項，合并同類項，系數(shù)化為【詳解】（1）解：2x?x+3=1.5?2x，移項得：2x?x+2x=1.5?3，合并同類項得：3x=?1.5，系數(shù)化為1：x=?0.5；（2）解：7x+2=5x+8，移項得：7x?5x=8?2，合并同類項得：2x=6，系數(shù)化為1：x=3．考點4：一次方程的實際應(yīng)用典例4：（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）制作一張桌子要用一個桌面和4條桌腿，1m3木材可制作20個桌面，或者制作400條桌腿，現(xiàn)有【答案】應(yīng)安排10立方米木材用來生產(chǎn)桌面，2立方米木材生產(chǎn)桌腿．【分析】設(shè)應(yīng)安排xm3木材用來生產(chǎn)桌面，則應(yīng)安排12?xm3木材用來生產(chǎn)桌腿．“1m【詳解】解：設(shè)用xm3木材制作桌面，則用根據(jù)題意得4×20x=40012?x整理得：480x=4800，解得：x=10，12?x=2．答：應(yīng)安排10立方米木材用來生產(chǎn)桌面，2立方米木材生產(chǎn)桌腿．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用與求解，根據(jù)題意正確列出方程式是解題關(guān)鍵．【變式1】（23·24上·海淀·開學(xué)考試）“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖．按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出，然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個搬運工，這時水位恰好到達(dá)標(biāo)記位置，如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個搬運工，水位也恰好到達(dá)標(biāo)記位置．已知搬運工體重均為130斤，求大象的體重．請將下列解答過程補充完整：

解：由題意得等量關(guān)系：20塊等重的條形石的重量+3個搬運工的體重和=21塊等重的條形石的重量+1個搬運工的體重，所以①已知搬運工體重均為130斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則可列方程為：______．②解這個方程得，x=______．③實際上由題也可直接得到：一塊條形石的重量=______．個搬運工的體重④最終可求得：大象的體重為______斤．【答案】20x+3×130=20x+x+130；260；2；5590【分析】根據(jù)題意，表示出大象的重量可表示為20x+3×130斤，也可表示為20x+x+130斤，進(jìn)而可列方程求解即可.【詳解】解：由題意得等量關(guān)系：20塊等重的條形石的重量+3個搬運工的體重和=21塊等重的條形石的重量+1個搬運工的體重，所以①已知搬運工體重均為130斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則可列方程為：20x+3×130=20x+x+130．②解這個方程得，x=260．③實際上由題也可直接得到：一塊條形石的重量=2個搬運工的體重；④20×260+3×130=5590，即最終可求得：大象的體重為5590斤．故答案為：20x+3×130=20x+x+130；260；2；55【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程并正確求解是解答的關(guān)鍵．【變式2】（23·24上·武漢·期中）紅領(lǐng)巾球館計劃購買某品牌的乒乓球拍和乒乓球，己知該品牌的乒乓球拍每副定價150元，乒乓球每盒定價15元．元旦期間該品牌決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案，即方案一：買一副乒乓球拍送兩盒乒乓球；方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定價的90%該球館計劃購買乒乓球拍10副，乒乓球x盒（x>20，x為整數(shù)）．(1)當(dāng)x=40時，若該球館按方案一購買，需付款______元；若該球館按方案二購買，需付款_____元；(2)當(dāng)x為何值時，分別用兩種方式購買所需費用一樣？(3)若x=40，能否找到一種更為省錢的購買方案？如果能，請你寫出購買方案，并計算出此方案所需費用；如果不能，請說明理由．【答案】(1)1800，1890(2)x=100(3)先按方案一購買10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二購買20盒乒乓球，需付款1770元【分析】（1）根據(jù)兩種方案的收費方式列式，計算x=40時的值即可；（2）根據(jù)題意建立方程求解即可；（3）根據(jù)題意得出方案一購買球拍，方案二購買剩余所需乒乓球．【詳解】（1）解：由題意得，方案一需付款：10×150+15x?20方案二需付款：10×150×90%當(dāng)x=40時，方案一需付款：15×40+1200=1800（元）方案二需付款：13.5×40+1350=1890（元），故答案為：1800，1890；（2）解：由題意得，15x+1200=13.5x+1350，解得：x=100，∴當(dāng)x=100時，分別用兩種方式購買所需費用一樣；（3）解：先按方案一購買10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二購買20盒乒乓球，需付款10×150+20×15×90%【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式及代數(shù)式求值問題，一元一次方程的應(yīng)用，得到兩種優(yōu)惠方案付費的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式3】（23·24上·沈陽·期中）已知數(shù)軸上兩點A，B對應(yīng)的數(shù)分別為?4，10，點P為數(shù)軸上一動點，對應(yīng)的數(shù)為x．(1)若點P到點A，點B的距離相等，請求出x的值；(2)數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為20?若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由；(3)一小球甲從點A處以1個單位/秒的速度向左運動，2秒后，另一小球乙從點B處以2個單位/秒的速度也向左運動，追上小球甲后立即以原來的速度向相反的方向運動，設(shè)點A的運動的時間為t秒．請直接寫出甲，乙兩小球到原點的距離相等時t的值．【答案】(1)x=3(2)存在；x=?7或13(3)6秒或62秒【分析】（1）根據(jù)點P到點A，點B的距離相等，則可得x?(?4)=10?x，進(jìn)而可求解．（2）依題意得x+4+x?10=20，分類討論：當(dāng)x<?4時，當(dāng)?4≤x<10（3）分類討論：當(dāng)甲，乙兩小球到原點的距離第一次相等時和當(dāng)甲，乙兩小球到原點的距離第二次相等時，利用距離相等為等量關(guān)系列出式子即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：x?(?4)=10?x，解得：x=3．（2）存在，理由如下：由題意得：x+4+當(dāng)x<?4時，x+4+解得：x=?7，當(dāng)?4≤x<10時，x+4+即：14=20，不符合題意，舍去，當(dāng)x≥10時，x+4+解得：x=13，綜上所述：x=?7或（3）當(dāng)甲，乙兩小球到原點的距離第一次相等時，依題意得：t+4=10?2(t?2)，解得：t=6（秒）；當(dāng)甲，乙兩小球到原點的距離第二次相等時，甲、乙兩小球相遇時，時間為：2(t?2)?(t+4)=10，解得：t=18（秒），此時甲、乙兩小球與原點的距離為：18+4=22，則：t+4=2(t?2)?(10+2×22)，解得：t=62秒，綜上所述：甲，乙兩小球到原點的距離相等時t的值為：6秒或62秒．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸及化簡絕對值，比較復(fù)雜，讀題是難點，所以解題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，利用分類討論的思想解決問題．【變式4】（22-23下·浦東新·期末）六年級（1）班、（2）班各有48人，兩個班都有一些同學(xué)參加課外數(shù)學(xué)小組，（1）班參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)恰好是（2）班沒有參加數(shù)學(xué)小組人數(shù)的12，（2）班參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)恰好是（1）班沒有參加數(shù)學(xué)小組人數(shù)的2【答案】六年級（1）、（2）班沒有參加的同學(xué)有36人、24人【詳解】解：設(shè)六年級（1）班沒有參加的同學(xué)有x人，則（2）班參加的同學(xué)有23（1）班參加的同學(xué)有48?x人，（2）班沒有參加的同學(xué)有48?2根據(jù)題意可得，48?x=48?x=24?48?24=?2x=36∴48?2故六年級（1）、（2）班沒有參加的同學(xué)有36人、24人．【點睛】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用；從沒有參加的人數(shù)開始分別列出各班沒有參加和參加的人數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式5】（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）水是生命之源，節(jié)約用水是全社會的共同責(zé)任．為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采取價格調(diào)控的手段達(dá)到節(jié)水的目的，某市自來水收費的價格表如下（水費按月結(jié)算）價格表每月用水量價格不超過6立方米的部分每立方米3元超過6立方米不超過10立方米的部分每立方米5元超過10立方米的部分每立方米8元小亮家一月份用水256立方米，二月份用的水量比一月份用的12(1)求小亮家一月份應(yīng)交的水費．(2)求小亮家二月份應(yīng)交的水費．(3)若小亮家三月份交的水費是二月份水費的2714【答案】(1)12.5(2)28(3)12【分析】（1）根據(jù)表格中的收費方法，列式計算即可；（2）根據(jù)表格中的收費方法，列式計算即可；（3）設(shè)小亮家三月份的用水量是x立方米，根據(jù)題意，求出x的范圍，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：256答：應(yīng)交水費12.5元；故答案為：12.（2）二月份用水量為256根據(jù)題意得：6×3+8?6∴張鳴家5月份應(yīng)交水費28元；（3）三月份交的水費為2714設(shè)小亮家三月份的用水量是x立方米，當(dāng)用水量為10立方米時，應(yīng)交水費6×3+10?6∵54>38，∴x>10．根據(jù)題意得6×3+10?6解得x=12．答：小亮家三月份的用水量是12立方米．【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是理清收費方法，正確的列出方程和代數(shù)式．【變式6】（23·24上·南岸·期中）如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是?4，點B在點A的右側(cè)，且到點A的距離是18；點C在點A與點B之間，且到點B的距離是到點A距離的2倍．

(1)點B表示的數(shù)是______；點C表示的數(shù)是______；(2)若點P從點A出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位長度的速度向右勻速運動；同時，點Q從點B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒3個單位長度的速度向左勻速運動．設(shè)運動時間為t秒，在運動過程中，當(dāng)t為何值時，點P與點Q重合，求出t的值和此時點P對應(yīng)的數(shù)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點Q到達(dá)點A后沿原路按原速返回，點P到達(dá)點B后兩個點同時停止運動．是否存在某一時刻t，使得P、Q兩點間的距離恰好等于線段AB的一半，如果存在，請直接寫出t的值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)14；2(2)當(dāng)t為3.6時，P,Q兩點相遇，相遇點所表示的數(shù)是3.2(3)t的值為1.8或5.4或9【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式可求點B表示的數(shù)；根據(jù)線段的倍分關(guān)系可求點C表示的數(shù)；（2）t秒后，點P表示的數(shù)為：?4+2t；點Q表示的數(shù)為：14?3t，根據(jù)相遇時點P、Q表示的數(shù)相同得出?4+2t=14?3t，求出t（3）分Q還未返回前，Q返回途中兩種情況討論即可求解．【詳解】（1）解：點B表示的數(shù)是?4+18=14；點C表示的數(shù)是?4+18×1故答案為：14；（2）解：t秒后，點P表示的數(shù)為：?4+2t；點Q表示的數(shù)為：14?3t，根據(jù)題意得：?4+2t=14?3t解得：t=3.6相遇點所表示的數(shù)為?4+2×3.6=3.2，答：當(dāng)t為3.6時，P,Q兩點相遇，相遇點所表示的數(shù)是3.2；（3）解：由已知得：P運動9秒到B，Q運動6秒到A，Q還未返回前：點P表示的數(shù)為：?4+2t；點Q表示的數(shù)為：14?3t14?3t??4+2tt=1.8或5.4，Q返回途中：Q表示的數(shù)是?4+3t?6?4+2t?解得：t=9，答：t的值為1.8或5.4或【點睛】本題考查了數(shù)軸、兩點間的距離，本題滲透了分類討論和方程的思想，在解決類似的問題時，要防止漏解．【變式7】（23·24上·沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，將某些具有一定規(guī)律的數(shù)按照如下圖的方式進(jìn)行排列，得到一個數(shù)陣，用如圖的一個矩形框框住其中的4個數(shù)：(1)若方框內(nèi)最右上角的數(shù)是97，則最左下角的數(shù)為________；(2)若方框內(nèi)最右上角的數(shù)用a表示，請用含a的代數(shù)式表示這4個數(shù)之和；(3)方框內(nèi)的4個數(shù)之和可能為612嗎？若可能，求最右上角的數(shù)；若不可能，請說明理由．【答案】(1)151(2)4a+108(3)見解析【分析】（1）由題意即可得出結(jié)論；（2）方框內(nèi)最右上角的數(shù)為a，則其它三個數(shù)分別為a+18，a+36，a+54，利用代數(shù)式求和即可；（3）由題意：方框內(nèi)4個數(shù)的和為612，列出一元一次方程，解方程求出a，再由數(shù)陣排列規(guī)律即可得出結(jié)論.【詳解】（1）∵方框內(nèi)最右上角的數(shù)是97，則最左下角的數(shù)為：97+54=151；故答案為：151；（2）∵方框內(nèi)最右上角的數(shù)用a表示，∴第二個數(shù)為a+18，第三個數(shù)為a+36，最左下角的數(shù)為a+54，∴這4個數(shù)之和為：a+a+18（3）不能，理由是：4a+108=612,解得：a=126，根據(jù)數(shù)陣排列規(guī)律，不存在126這個數(shù)，所以方框內(nèi)的4個數(shù)之和不可能為612．【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)規(guī)律題的解法的運用，列一元一次方程解實際問題的運用，一元一次方程的解法的運用，解答時尋找數(shù)據(jù)變化的規(guī)律是解答的關(guān)鍵．【變式8】（22·23上·漯河·期末）某校初一（1）班組織生活小常識競賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，每題必答．下表記錄了其中4個參賽者的得分情況．參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)得分A200100B288C64D1040(1)請補全表格．(2)參賽者E得82分，他答對了幾道題？(3)參賽者F說他錯了10個題，得50分，請你判斷可能嗎？并說明理由【答案】(1)18，14，6，10(2)17(3)不可能，理由見解析【分析】（1）先由A同學(xué)，D同學(xué)的得分可得可得答對一題得5分，答錯一題扣1分，再填表即可；（2）設(shè)E答對了y道題，則他答錯了20?y道題，再由得分為82分建立方程求解即可；（3）由D同學(xué)的情況可作判斷．【詳解】（1）解：由A同學(xué)可得：100÷20=5，可得答對一題得5分，由D同學(xué)可得：10×5?40=10，10÷10=1，可得答錯一題扣1分，∴B同學(xué)答對18題，D同學(xué)答錯10題，設(shè)C同學(xué)答對x題，則答錯20?x題，∴5x?解得：x=14，∴C同學(xué)答對14題，答錯6題．（2）設(shè)E答對了y道題，則他答錯了20?y道題，∴5y?20?y解得y=17；（3）由D同學(xué)答錯了10題，得分是40分，∴參賽者F說他錯了10個題，得50分是錯誤的．【點睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運算的實際應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，選擇合適的方法解題是關(guān)鍵．【變式9】（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）比優(yōu)特超市銷售甲、乙兩種商品，已知甲商品每件進(jìn)價40元，售價60元；乙商品每件售價48元，利潤率為60%(1)每件甲商品利潤率為______；乙商品每件進(jìn)價為______元；(2)若超市同時購進(jìn)甲、乙兩種商品共52件，總進(jìn)價為1790元，則購進(jìn)乙種商品多少件？(3)在“十一國慶”期間超市所有商品有優(yōu)惠促銷活動，方案如下：①購買商品不超過300元，不優(yōu)惠；②購買商品超過300元，但不超過500元，按照售價九折優(yōu)惠；③購買商品超過500元時，按照售價的八折優(yōu)惠；按照以上優(yōu)惠條件，若王阿姨一次性購買甲商品實際付款432元，求王阿姨此次購物購買多少件甲商品？【答案】(1)50%(2)29件(3)8件或者9件【分析】（1）設(shè)乙的進(jìn)價為x元/件，根據(jù)乙的利潤率為50%，求出x（2）設(shè)購進(jìn)甲種商品x件，則購進(jìn)乙種商品52?x件，再由總進(jìn)價是1790元，列出方程求解即可；（3）分兩種情況討論，①打折前購物金額超過300元，但不超過500元，②打折前購物金額超過500元，分別列方程求解即可．【詳解】（1）解：甲商品的利潤率為60?40÷40=50設(shè)乙的進(jìn)價為x元/件，則48?x=60%解得：x=30．故乙的進(jìn)價為30元/件；故答案為：50%（2）設(shè)購進(jìn)甲種商品x件，則購進(jìn)乙種商品52?x件，由題意得，40x+3052?x解得：x=23，52?x=52?23=29∴購進(jìn)乙種商品29件；（3）設(shè)王阿姨此次購物購買m件甲商品，①當(dāng)打折前購物金額超過300元，但不超過500元時，由題意得0.9×60y=432，解得：y=8；②當(dāng)打折前購物金額超過500元時，0.8×60y=432，解得：y=9，綜上可得王阿姨此次購物購買8件或9件甲商品．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，找到等量關(guān)系，利用方程思想求解．【變式10】（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）修一條公路，甲工程隊單獨承包要40天完成，乙工程隊單獨承包要60天完成．(1)現(xiàn)在由兩個工程隊合作承包，幾天可以完成？(2)如果甲、乙兩工程隊合作12天后，因甲工程隊另有任務(wù)，剩下的工作由乙工程隊完成，則修好這條路共需要幾天？【答案】(1)24天(2)42天【分析】（1）設(shè)兩隊合作需要x天完成，由工程問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可；（2）設(shè)乙隊單獨做還需要y天完成，根據(jù)甲乙完成的工作量之和為1建立方程求出其解即可．【詳解】（1）設(shè)兩隊合作需要x天完成，由題意，得x×解得：x=24．答：兩人合做需要24天完成；（2）設(shè)乙單獨做還需要y天完成，由題意，得12×解得：y=30．12+30=42（天）．答：修好這條路共需要42天．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，抓住關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系列出方程．考點5：方程組的概念典例5：（22·23下·周口·階段練習(xí)）下列方程組中，是二元一次方程組的是（

）①x+6=13y?x=2

②x+y=154y?3x=3

③1xA．①② B．③④ C．①②④ D．①②③【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義：兩個一次方程，共兩個未知數(shù)，組成的方程組，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①是二元一次方程組；②是二元一次方程組；③不是整式方程，不是二元一次方程組；④是二元一次方程組；故選C．【點睛】本題考查二元一次方程組的識別，熟記定義，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（22·23下·濟寧·階段練習(xí)）下列方程組中是二元一次方程組的是（

）A．x+y=1xy=2 B．5x?2y=31x+y=3 C．【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義“把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組”進(jìn)行判斷即可得．【詳解】解：A、x+y=1xy=2B、5x?2y=31C、2x+y=03x?2=yD、z=5x故選：C．【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組的定義．【變式2】（22·23下·廊坊·期中）若二元一次方程組4x?3y=13?的解為x=1y=?3，則?表示的方程可以是（A．x+y=4 B．1x?y=4 C．xy=?3 【答案】D【分析】將方程組的解代入每個選項分別計算即可判斷．【詳解】解：A、將x=1y=?3代入x+y=4，左邊≠B、將x=1y=?3代入1C、將x=1y=?3代入xy=?3D、將x=1y=?3代入y故選：D．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，正確理解二元一次方程組的定義及正確代入計算是解題的關(guān)鍵．【變式3】（22·23下·東莞·階段練習(xí)）在方程組2x?y=1y=3z+1，x=23y?x=1，x+y=03x?y=5，xy=1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義逐一分析即可．【詳解】解：2x?y=1y=3z+1x=23y?x=1x+y=03x?y=5xy=1x+2y=3中xy=1綜上，是二元一次方程組的只有x=23y?x=1和x+y=0故選：B．【點睛】本題考查二元一次方程組的定義，要求熟悉二元一次方程組的形式及其特點：含有2個未知數(shù)，最高次項的次數(shù)是1的整式方程．考點6：解二元一次方程組典例6：（23·24上·深圳·期中）解方程組：x+3y=14【答案】x=6【分析】先把第二個方程化簡，再用加減法解即可．【詳解】解：x+3y=14①②化簡得：2x?2?3y?2①＋③得：3x=18，解得：x=6，將x=6代入①得：6+3y=14，解得：y=8原方程組的解為：x=6y=【點睛】本題考查了用加減法解二元一次方程組，當(dāng)方程組中有可以化簡的方程時，應(yīng)先化簡方程．【變式1】（23·24上·長沙·開學(xué)考試）（1）計算：?（2）解方程組：2x?y=?1【答案】（1）3?1；（2）【分析】（1）先計算乘方，算術(shù)平方根，立方根，化簡絕對值，再合并即可；（2）由②+①×3可得：x=2，把x=2【詳解】解：（1）?=?1+3?2+=3（2）2x?y=?1①②+①×3解得：x=2，把x=2代入①得：y=5，∴方程組的解為：x=2y=5【點睛】本題考查的是實數(shù)的混合運算，算術(shù)平方根與立方根的含義，二元一次方程的解法，掌握以上基礎(chǔ)的計算是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（22·23下·延邊·期末）計算：x?2y=32x+8y=18【答案】x=5【分析】運用加減消元法進(jìn)行計算即可得．【詳解】解：x?2y=3①①×2，得2x?4y=6③②-③得，12y=12，y=1，把y=1代入①，得x?2=3，x=5，∴這個方程組的解為x=5y=1【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組的解法．【變式3】（22·23下·溫州·期中）計算：選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M(1)x=3y+4(2)4x?y=5【答案】(1)x=?2(2)x=3【分析】（1）根據(jù)代入消元法解答即可；（2）根據(jù)加減消元法解答即可；【詳解】（1）解：x=3y+4①把①代入②得：23y+4?5y=6，解得：把y=?2代入①得：x=?2，∴方程組的解為x=?2y=?2（2）解：4x?y=5①+②得：6x=18，解得：把x=3代入①得：y=7，∴方程組的解為x=3y=7【點睛】本題考查了解二元一次方程組，掌握加減消元法和代入消元法是解答本題的關(guān)鍵.【變式4】（22·23下·成都·期末）已如方程組x+y=3a+7x?y=5a+1(1)求a的取值范圍；(2)化簡：a2【答案】(1)?1<a<3(2)3?a【分析】（1）首先解方程組求得方程組的解，在根據(jù)條件得到不等式組，即可求得a的范圍；（2）根據(jù)正數(shù)的絕對值是正數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)即可去掉絕對值符號，化簡．【詳解】（1）由方程組x+y=3a+7x?y=5a+1解方程組得：x=4a+4y=3?a根據(jù)題意得：4a+4＞解得：?1<a<3.（2）∵?1<a<3，∴a=a?3【點睛】本題主要考查解二元一次方程組和一元一次不等式及絕對值的性質(zhì)二次根式的化簡，根據(jù)方程組解的屬性列出關(guān)于a的不等式組是解題的關(guān)鍵．【變式5】（23·24上·濟南·期中）解方程組：(1)3x+4y=165x?8y=34(2)x?12【答案】(1)x=6(2)x=?1【分析】（1）運用加減消元法解出x的值，再運用代入消元法解出y的值，即可作答；（2）先去分母，再運用代入消元法解出y的值，即可作答；【詳解】（1）解：因為3x+4y=16①所以②+①×2，得把x=6代入①，得18+4y=16，解得y=?1所以方程組的解為x=6（2）解：因為x?1所以整理①得3x?3+2y+2=6，即3x+2y=7所以整理②得x=4?y，把x=4?y代入3x+2y=7，得3×4?y解得y=5，把y=5代入x=4?y，解得x=?1，所以方程組的解為x=?1【點睛】本題考查了解二元一次方程組，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M是解此題的關(guān)鍵，注意：解二元一次方程組的方法有代入消元法和加減消元法．考點7：一次方程組的實際應(yīng)用典例7：（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）安居小區(qū)業(yè)主安先生準(zhǔn)備裝修新居，裝修公司派來甲工程隊完成此項完程．由于工期過長，安先生要求裝修公司再派乙工程隊與甲隊共同工作．已知甲工程隊單獨完成此項工程需要天數(shù)恰好比乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)的3倍少5天，并且甲工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)與乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)之和為55天．(1)求甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要多少天；(2)若甲工程隊工作10天后，與公司派來的乙工程隊再合作多少天可完成此項工程的45(3)甲、乙工程隊每天的施工費分別為800元和1000元，安先生裝修工程施工完成時費用正好為21800元，求甲工程隊參加工作多少天？【答案】(1)40，15(2)6(3)16【分析】（1）設(shè)乙隊單獨完成此項工程需要x天，甲隊單獨完成此項工程需要3x?5天，依題意得，x+3x?5=55，解得，x=15，則（2）由（1）可知，甲的工作效率為140，乙的工作效率為115，設(shè)還需要再合作y天可完成此項工程的45（3）設(shè)甲單獨工作a天，甲乙合作工作b天，依題意得，800a+b+1000b=21800140a+【詳解】（1）解：設(shè)乙隊單獨完成此項工程需要x天，甲隊單獨完成此項工程需要3x?5天，依題意得，x+3x?5解得，x=15，∴3x?5=3×15?5=40，∴甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要40、15天；（2）解：由（1）可知，甲的工作效率為140，乙的工作效率為1設(shè)還需要再合作y天可完成此項工程的45依題意得，140解得，y=6，∴還要再合作6天可完成此項工程；（3）解：設(shè)甲單獨工作a天，甲乙合作工作b天，依題意得，800a+b解得，a=7b=9∵a+b=16，∴甲工程隊參加工作16天．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程（組）．【變式1】（23·24上·廣州·階段練習(xí)）為推進(jìn)“書香社區(qū)”建設(shè)，某社區(qū)計劃購進(jìn)一批圖書，已知購買2本科技類圖書和3本文學(xué)類圖書需154元，購買4本科技類圖書和5本文學(xué)類圖書需282元．(1)科技類圖書與文學(xué)類圖書的單價分別為多少元？(2)為了支持“書香社區(qū)”建設(shè)，助推科技發(fā)展，商家對科技類圖書推出銷售優(yōu)惠活動（文學(xué)類圖書售價不變）；購買科技類圖書超過40本但不超過50本時，每增加1本，單價降低1元；超過50本時，均按購買50本時的單價銷售．社區(qū)計劃購進(jìn)兩種圖書共計100本，其中科技類圖書超過40本，但不超過60本．按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準(zhǔn)備多少購書款？【答案】(1)科技類圖書的單價為38元，文學(xué)類圖書的單價為26元(2)社區(qū)至少要準(zhǔn)備購書款2700元【分析】（1）設(shè)科技類圖書的單價為x元，文學(xué)類圖書的單價為y元，再根據(jù)“購買2本科技類圖書和3本文學(xué)類圖書需154元，購買4本科技類圖書和5本文學(xué)類圖書需282元”列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，求解即可；（2）設(shè)社區(qū)要準(zhǔn)備購書款w元，購買的科技類圖書為m本，則購買的文學(xué)類圖書為(100?m)本，利用總價=單價×數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，由題意可分當(dāng)40<m≤50及50<m≤60時進(jìn)行討論，取其最小值比較即可．【詳解】（1）解：設(shè)科技類圖書的單價為x元，文學(xué)類圖書的單價為y元，由題意得：2x+3y=1544x+5y=282解得：x=38y=26答：科技類圖書的單價為38元，文學(xué)類圖書的單價為26元．（2）解：設(shè)社區(qū)要準(zhǔn)備購書款w元，購買的科技類圖書為m本，則購買的文學(xué)類圖書為(100?m)本，①當(dāng)40<m≤50時，w=[38?(m?40)]m+26×(100?m)=?m∵?1<0，∴此拋物線的開口向下，對稱軸為m=26，∴當(dāng)40<m≤50時，w隨m的增大而減少，∴當(dāng)m=50時，w的值最小，即w=?50②當(dāng)50<m≤60時，w=[38?(50?40)]m+26×(100?m)=2m+2600，∵2>0，∴w隨m的增大增加，∴當(dāng)m=51時，w的值最小，即w=2×51+2600=2702；∵2700<2702；∴社區(qū)至少要準(zhǔn)備購書款2700元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、二次函數(shù)及一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，找到題目中的等量關(guān)系并進(jìn)行分類討論，是解題關(guān)鍵．【變式2】（23·24上·沙坪壩·階段練習(xí)）某城市自行車賽線路為從起點出發(fā)，先騎行一段緩下坡路，再騎行一段平路到達(dá)折返點，然后從折返點沿原路線返回起點（起點即終點）．假定某運動員A在平路上騎行的速度始終是25千米/小時，下坡的騎行速度始終是30千米/小時，上坡的騎行速度始終是20千米/小時，已知該運動員從起點到折返點用時46分鐘，從折返點回到起點用時51分鐘．(1)求比賽的下坡路程、下坡結(jié)束到折返點的平路路程分別是多少千米？(2)某參賽運動員B騎行時，下坡的速度是上坡速度的2倍，且從起點到折返點的用時比從折返點到終點少用10分鐘，求該運動員B騎行時的上坡速度是多少千米/小時？【答案】(1)比賽的下坡路程、下坡結(jié)束到折返點的平路路程分別是5千米、15千米(2)該運動員B騎行時的上坡速度是15千米/小時【分析】（1）設(shè)比賽的下坡路程、下坡結(jié)束到折返點的平路路程分別是x千米、y千米，利用“從起點到折返點用時46分鐘，從折返點回到起點用時51分鐘”完成求解即可；（2）該運動員B騎行時的上坡速度是a千米/小時，根據(jù)“從起點到折返點的用時比從折返點到終點少用10分鐘”列方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)比賽的下坡路程、下坡結(jié)束到折返點的平路路程分別是x千米、y千米．根據(jù)題意，得：x30解這個方程組，得x=5y=15答：比賽的下坡路程、下坡結(jié)束到折返點的平路路程分別是5千米、15千米；（2）該運動員B騎行時的上坡速度是a千米/小時．根據(jù)題意，得：52a解這個方程，得a=15，經(jīng)檢驗，a=15是原方程的解，答：該運動員B騎行時的上坡速度是15千米/小時．【點睛】本題考查二元一次方程組和分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3】（22·23下·沙坪壩·期末）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”．三階幻方的填寫規(guī)則是將9個不同的整數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都相等．

(1)如圖1所示幻方，求x的值；(2)如圖2所示幻方，求a，b的值；(3)如圖3所示幻方，若m，n為正整數(shù)，直接寫出一共有多少種填法，并把其中一種幻方填寫完整．【答案】(1)x=5(2)a=4(3)一共有3種填法；填寫見解析【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）根據(jù)題意列出關(guān)于a、b的方程組，解方程組即可；（3）根據(jù)題意列出關(guān)于m、n的二元一次方程，求出整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：9+x+1=x+3+1+2x?4，解得：x=5；（2）解：根據(jù)題意得：12+2a+1+3b?3=12+7+2a4b?2+2a+1+2a=12+7+2a解得：a=4b=3（3）解：根據(jù)題意得：13+12+11=13+2m+2+3n，即2m+3n=21，∵m，n為正整數(shù)，∴m=3n=5，m=6n=3，∴共有3種填法；

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組和一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)表格列出方程或方程組．【變式4】（22-23下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？【答案】(1)爸爸36歲，爺爺76歲(2)爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子【分析】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲，根據(jù)“爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40”列出二元一次方程組求解即可．（2）用現(xiàn)在年份減去年齡加15即可得到答案．【詳解】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲．x?4+解得：x=36答：今年小明的爸爸36歲，爺爺76歲；（2）2022?36+15=2001（年）2022?76+15=1961（年）小明的爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式5】（23·24上·重慶·期中）某共享單車運營公司準(zhǔn)備采購一批共享單車投入市場，而共享單車安裝公司由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，準(zhǔn)備招聘一批新工人．已知2名熟練工人和3名新工人每天共安裝44輛共享單車；4名熟練工人每天安裝的共享單車數(shù)與5名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車；(2)共享單車安裝公司計劃抽調(diào)出熟練工人若干，并且招聘新工人共同安裝共享單車．如果25天后剛好交付運營公司3500輛合格品投入市場，求熟練工人和新工人各多少人．【答案】(1)每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝10輛和8輛共享單車(2)熟練工人和新工人分別有10人、5人或6人、10人或2人、15人【分析】（1）設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)題意列方程組即可；（2）設(shè)熟練工人和新工人各m，n人，根據(jù)題意列出等式取值即可．【詳解】（1）解：設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)題意，得：2x+3y=444x=5y，解得x=10答：每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝10輛和8輛共享單車．（2）解：設(shè)熟練工人和新工人各m，n人，由題意得：25×10m+25×8n=3500，整理得：5m+4n=70，當(dāng)m=2時，n=15；當(dāng)m=6時，n=10；當(dāng)m=10時，n=5；答：熟練工人和新工人分別有10人、5人或6人、10人或2人、15人；【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關(guān)系．【變式6】（23·24上·沙坪壩·階段練習(xí)）成都大運會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款文創(chuàng)紀(jì)念品，已知A、B兩款紀(jì)念品的進(jìn)價分別為30元/個、25元/個．(1)網(wǎng)店第一次用1400元購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共50個，求A款紀(jì)念品購進(jìn)的個數(shù)；(2)大運會臨近結(jié)束時，網(wǎng)店打算把A款紀(jì)念品降價20%銷售，則降價后銷售A款紀(jì)念品要獲得銷售額800元，比按照原價銷售要多賣4個才能獲得同樣多的銷售額，求A【答案】(1)A款紀(jì)念品購進(jìn)的個數(shù)為30個(2)A款紀(jì)念品降價以前的售價50元【分析】（1）設(shè)購進(jìn)A款紀(jì)念品x個，購進(jìn)B款紀(jì)念品y個，根據(jù)共購進(jìn)50個和花費1400元，可列二元一次方程組，即可解答；（2）設(shè)A款紀(jì)念品降價以前的售價為m元，則可得降價后的售價為0.8m元，利用按照原價銷售的個數(shù)加上4等于降價后銷售的個數(shù)，可列分式方程，即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)A款紀(jì)念品x個，購進(jìn)B款紀(jì)念品y個，根據(jù)題意可得x+y=5030x+25y=1400解得x=30y=20答：A款紀(jì)念品購進(jìn)的個數(shù)為30個；（2）解：設(shè)A款紀(jì)念品降價以前的售價為m元，則可得降價后的售價為1?20%根據(jù)題意可得800m解得m=50，經(jīng)檢驗，m=50為原方程的解，答：A款紀(jì)念品降價以前的售價50元．【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，列出相應(yīng)的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7】（22·23·西藏·中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題：如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成．

(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；(2)求電視背景墻的面積．【答案】(1)1.2m，0.3(2)3.6m【分析】（1）首先設(shè)一塊長方形墻磚的長為xm，寬為ym，然后用x,y的代數(shù)式分別表示出長方形的兩條長邊分別為2xm，x+4y（2）根據(jù)長方形的面積計算公式即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)一塊長方形墻磚的長為xm，寬為y依題意得：2x=x+4yx+y=1.5解得：x=1.2y=0.3答：一塊長方形墻磚的長為1.2m，寬為0.3（2）求電視背景墻的面積為：2×1.2×1.5=3.6m答：電視背景墻的面積為3.6m【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，長方形的性質(zhì)，根據(jù)長方形的兩組對邊分別相等列出方程組是解答此題的關(guān)鍵．【變式8】（23·24上·福州·開學(xué)考試）我國古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《增刪算法統(tǒng)宗·六均輸》中有一個“隔溝計算”的問題：“甲乙隔溝牧放，二人暗里參詳．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙說得甲九只，兩家之?dāng)?shù)相當(dāng)．”翻譯成現(xiàn)代文，其大意如下：甲乙兩人隔一條溝放牧，二人心里暗中合計．甲對乙說：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙對甲說：“我得到你的九只羊，咱倆家的羊就一樣多．”求甲、乙各有多少只羊呢？【答案】甲有羊63只，乙有羊45只．【分析】設(shè)甲有羊x只，乙有羊y只，根據(jù)“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，兩人的羊一樣多”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解方程組即可得解．【詳解】解：設(shè)甲有羊x只，乙有羊y只．∵甲對乙說：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍”．∴x+9=2y?9∵乙對甲說：“我得到你的九只羊，咱倆家的羊就一樣多”．∴x?9=y+9．聯(lián)立兩方程組成方程組x+9=2y?9解得x=63y=45答：甲有羊63只，乙有羊45只．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．考點8：方程組的應(yīng)用——錯解問題典例8：（22·23下·郴州·階段練習(xí)）一個星期天，小明和小文兩人同解關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄錯了方程①，得到方程組的解為x=3y=2；小文抄錯了方程②，得到方程組的解為x=?1y=2【答案】608449/【分析】根據(jù)題意將小明所得方程組的解代入方程②，將小文所得方程組的解代入方程①，即可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組，即可求解．【詳解】解：由題意得：?a+2b=163b+2a=2解方程組得a=?44∴a【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的知識，理解抄錯了方程①，得到方程組的解即只滿足方程②，同理抄錯了方程②，得到方程組的解即只滿足方程①，是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（22-23下·江西·階段練習(xí)）已知方程組2x+my=10?①nx?2y=?6?②，小聰由于看錯了方程①中的系數(shù)m，得到方程組的解為x=26y=42；小明由于看錯了方程②中的系數(shù)【答案】x=2【分析】根據(jù)題意得到關(guān)于m、n得二元一次方程組，求出m、n的值，再代入原方程組，然后利用加減消元法解方程組，即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，26n?2×42=?62×14?18m=10整理得：26n?84=?628?18m=10解得：m=1n=3∴原方程組為2x+y=10①①×2+②得：解得：x=2，將x=2代入①得：2×2+y=10，解得：y=6，∴方程組的解為x=2y=6【點睛】本題主要考查的是解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法和代入消元法是解題關(guān)鍵．【變式2】（22·23下·衡陽·階段練習(xí)）在解方程組mx+2y=62x+ny=8時，由于粗心，小軍看錯了方程組中的n得解為x=73y=2(1)小軍把n看成了什么數(shù)？小紅把m看成了什么數(shù)？(2)正確的解應(yīng)該是怎樣的？【答案】(1)5；1(2)x=1【分析】（1）依題意，得2×73+n×23=8，解得（2）依題意，得m×73+2×23=6，解得【詳解】（1）解：∵小軍看錯了方程組中的n，把x=73y=23解得n=5，∴小軍把n看成了5；∵小紅看錯了方程組中的m，把x=?2y=4代入mx+2y=6，得m×(?2)+2×4=6解得m=1，∴小紅把m看成了1；（2）解：把x=73y=23解得m=2，把x=?2y=4代入2x+ny=8，得2×(?2)+n×4=8解得n=3，∴原方程組為2x+2y=6①②?①得，把y=2代入①得2x+4=6，解得x=1，∴原方程組的解為x=1y=2【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的錯解問題，考查方式較為新穎，要熟練掌握該知識點.【變式3】（22·23下·萬州·期末）甲、乙兩人解同一個關(guān)于x，y的方程組ax+5y=15①4x?by=?2②，甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=?3y=?1，乙看錯了方程②中的(1)求a與b的值；(2)求a2022【答案】(1)a=?1，b=10(2)2【分析】（1）將x=?3y=?1代入方程組的第②個方程，將x=5y=4代入方程組的第①個方程，聯(lián)立即可求得a與（2）將a與b的值代入即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，將x=?3y=?1代入②可得：?12+b=?2，解得：b=10將x=5y=4代入①得：5a+20=15，即a=?1（2）解：a2022=(?1)=1+1，=2．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解和代數(shù)式求值，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【變式4】（22·23下·泉州·期末）甲、乙兩人同解方程組ax+5y=15①4x?by=?2②甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=?3y=?1，乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為【答案】?2【分析】因為甲看錯了方程①中的a，而方程②中的b沒有看錯，所以x=?3y=?1滿足方程4x?by=?2，將x=?3y=?1代入4x?by=?2可求b，同理乙看錯了方程②中的b，而方程①中的a沒有看錯，所以x=5y=4滿足方程ax+5y=15，將x=5y=4代入ax+5y=15可求a，最后將a、【詳解】ax+5y=15解：將x=?3y=?1代入方程4x?by=?2中得：?12+b=?2，即b=10將x=5y=4代入方程ax+5y=15中的得：5a+20=15，即a=?1將a=?1，b=10代入a2023則a2023【點睛】本題考查解二元一次方程組的錯解問題，掌握方程組的解為使方程組中兩個方程同時成立的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．【變式5】（22·23下·全國·期末）甲、乙兩位同學(xué)一起解方程組mx+ny=2px?3y=?2，甲正確地解得x=1y=?2，乙僅因抄錯了題中的p，而求得x=2y=?6，求原方程組中m，n【答案】m=4,n=1,p=?8【分析】把x=1y=?2代入②可求出p，再把x=1y=?2和x=2y=?6【詳解】解：mx+ny=2①把x=1y=?2代入②得：p+6=?2解得：p=?8，把x=1y=?2和x=2y=?6代入①得：解得：m=4n=1即m=4,n=1,p=?8．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵，解二元一次方程組的方法有代入消元法和加減消元法兩種．考點9：方程組的應(yīng)用——含參問題典例9：（23·24上·深圳·期中）閱讀材料并回答下列問題：當(dāng)m，n都是實數(shù)，且滿足m﹣n=6，就稱點Pm﹣1，3n+1為“燕南點”．例如：點E3，1，令m?1=33n+1=1得m=