（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測(cè) 第03課 三角恒等變換（原卷版）

第第頁(yè)第03課三角恒等變換三角恒等變換（1）知識(shí)梳理1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，簡(jiǎn)記作S(α±β)；cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ，簡(jiǎn)記作C(α±β)；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanα·tanβ)，簡(jiǎn)記作T(α±β)．2.二倍角公式sin2α＝2sinα·cosα；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．3.輔助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中φ為輔助角，且其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq\f(b,a).4.公式的逆用及有關(guān)變形tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)；sinα±cosα＝eq\r(2)sin(α±eq\f(π,4))；sinα·cosα＝eq\f(1,2)sin2α；1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α)(降冪公式)；1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升冪公式)考向一利用兩角和(差)公式運(yùn)用【例1】已知為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【變式1-1】已知角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（）A. B.C. D.【變式1-3】已知是第二象限角，且，，則____.方法總結(jié)：考查兩角和差的三角函數(shù)．公式的結(jié)構(gòu)特征要記牢，在求值、化簡(jiǎn)時(shí)，注意觀察角度、函數(shù)名、所求角與已知角之間的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危蠼菃栴}的關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，選擇的標(biāo)準(zhǔn)是，在角的范圍內(nèi)根據(jù)函數(shù)值，角有唯一解．本題考查邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向二二倍角公式的運(yùn)用【例2】（多選）下列各式的值等于的是（）A. B. C. D.【變式2-1】已知，則的值為（）A． B． C．－ D．【變式2-2】化簡(jiǎn)：（eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2)）·（1＋tanα·taneq\f(α,2)）＝；方法總結(jié)：本題考查二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意以下3點(diǎn)：①看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，正確使用公式；②看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；③看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升冪”等．本題考查運(yùn)算求解能力，邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向三公式的綜合運(yùn)用【例3】計(jì)算（）A．1 B．﹣1 C． D．【變式3-1】化簡(jiǎn)______．【變式3-2】已知，，其中，為銳角，以下判斷正確的是（）A.B.C.D.【變式3-3】已知，則（

）A． B． C． D．方法總結(jié)：(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.(2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn).三角恒等變換（2）知識(shí)梳理1.在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、證明等三角恒等變換中，要注意將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)，如遇到正切、正弦、余弦并存的情況，一般要切化弦．2.要注意對(duì)“1”的代換：如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4)，還有1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).3.對(duì)于sinαcosα與sinβ±cosα同時(shí)存在的試題，可通過換元完成：如設(shè)t＝sinα±cosα，則sinαcosα＝±eq\f(t2－1,2).4.要注意角的變換，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角與半角是相對(duì)的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\f(α,3)是eq\f(2α,3)的半角，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的倍角等．5.用三角方法求三角函數(shù)的最值常見的函數(shù)形式：(1)y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).則－eq\r(a2＋b2)≤y≤eq\r(a2＋b2).(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理轉(zhuǎn)化為上一種形式．(3)y＝eq\f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq\f(acosx＋b,ccosx＋d))可轉(zhuǎn)化為只有分母含sinx或cosx的函數(shù)式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函數(shù)的有界性求解．6.用代數(shù)方法求三角函數(shù)的最值常見的函數(shù)形式：(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)式．(2)y＝asinx＋eq\f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，則轉(zhuǎn)化為求y＝at＋eq\f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或單調(diào)性求解．考向四變角的運(yùn)用【例4】已知，若，則（

）A． B． C． D．【變式4-1】若，，則___________.【變式4-2】已知，，則的值為______．【變式4-3】已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.方法總結(jié)：所謂邊角就是用已知角表示所求的角，要重點(diǎn)把握住它們之間的關(guān)系，然后運(yùn)用有關(guān)公式進(jìn)行求解?？枷蛭迩蠼恰纠?】已知銳角α，β滿足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，則α＋β的值為．【變式5-1】已知α，β為銳角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，則α－β的值為．【變式5-2】若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則α＋β的值為__________．【變式5-3】（多選）已知，，則（）A． B． C． D．方法總結(jié)：求角的步棸：1、求角的某一個(gè)三角函數(shù)值，（結(jié)合具體情況確定是正弦、余弦還是正切）2、確定角的范圍（范圍盡量縮?。?、根據(jù)范圍和值確定角的大小。考向六公式的綜合運(yùn)用【例6】已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈（-eq\f(π,2)，eq\f(π,2)）.(1)當(dāng)a＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4)時(shí)，求f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；(2)若f(eq\f(π,2))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．【變式6-1】（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．是圖象的一條對(duì)稱軸C．的最小正周期為D．將的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【變式6-2】已知，，則（）A. B. C. D.0【變式6-3】已知，．(1)求的值；(2)若，，求的值．三角恒等變換隨堂檢測(cè)1.（

）A． B． C． D．2.若sin(α+β)+cos(α+β)=2A．tan(α?β)=1B．tan(α+β)=1C．tan(α?β)=?13.若，則（

）A． B． C． D．4.已知，且，則（

）A．B．C．D．5.已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．26.已知，則（

）A． B． C．3 D．7.已知，則（）．A. B. C. D.8.若，則（

）A． B． C． D．9.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則A． B． C． D．10.