（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測 第04課 正弦定理、余弦定理（原卷版）

第第頁第04課正弦定理、余弦定理1、正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．正弦定理的常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA).2、余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的常見變形(1)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；(2)cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；(3)cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3、三角形的面積公式(1)S△ABC＝eq\f(1,2)aha(ha為邊a上的高)；(2)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．考向一運(yùn)用正余弦定理解三角形【例1】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，，成等差數(shù)列.（1）求角B的大?。唬?）若，求的值.【變式1-1】記的內(nèi)角的對邊分別為，．（1）證明：；（2）若，求．【變式1-2】已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．方法總結(jié)：本題考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．考查基本運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想．考向二利用正、余弦定理判定三角形形狀【例2】（多選）在中，角、、的對邊分別是、、．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．，，則的外接圓半徑是4B．若，則C．若，則一定是鈍角三角形D．若，則【變式2-1】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰非等邊三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形【變式2-2】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【變式2-3】在中，若，則的形狀為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形方法總結(jié)：判定三角形形狀的途徑：①化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；②化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系．正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．考點(diǎn)三運(yùn)用正余弦定理研究三角形的面積考向三運(yùn)用正余弦定理解決三角形的面積、周長【例3】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長．【變式3-1】在中，，，，，，若的外接圓的半徑為，則角___________.【變式3-2】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c的值；(2)設(shè)D為邊BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．【變式3-3】在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，，求的面積.方法總結(jié)：1．求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．2．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解．(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．考向四利用正弦、余弦定理解決范圍問題【例4】在①，②，③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，__________，且．（1）求角C的值；（2）求a的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分．【變式4-1】已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求；（2）若，為邊的中點(diǎn)，求的最小值．【變式4-2】在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在中，內(nèi)角的對邊分別為，且__________.（1）求角；（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.考向五利用正弦、余弦定理解決多邊形的問題【例5】已知在四邊形中，，，，且，．（1）求；（2）求．【變式5-1】在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大??；（2）求四邊形ABCD的面積．正余弦定理隨堂檢測1.在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，C＝120°，則AC等于()A．1B．2C．3D．43.已知△ABC，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，則c等于()A．2eq\r(5)B.eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5)D．均不正確4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則BC的長為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\r(3)C．2eq\r(3)D．25.若在中，角的對邊分別為，則（）A.或 B. C. D.以上都不對6.在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（）A. B. C. D.7.在銳角三角形中，已知，，分別是角，，的對邊，且，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.記內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積．9.在中，