（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測 第05課 平面向量（原卷版）

第第頁第05課平面向量1、向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，如圖所示，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：夾角θ的范圍是[0，π]．當(dāng)θ＝0時(shí)，兩向量a，b共線且同向；當(dāng)θ＝eq\f(π,2)時(shí)，兩向量a，b相互垂直，記作a⊥b；當(dāng)θ＝π時(shí)，兩向量a，b共線但反向．2、平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ是a與b的夾角．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．3、平面向量數(shù)量積的幾何意義(1)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影設(shè)θ是a，b的夾角，則|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b的方向上的投影．(2)a·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．4、向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a.(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線．5、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量，θ是a與e的夾角，則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.6、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則(1)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(2)a·b＝x1x2＋y1y2；(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0;_(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).考向一平面向量的夾角及模的問題【例1】已知向量，滿足，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．【變式1-1】已知，當(dāng)時(shí)，向量與的夾角為（）A． B． C． D．【變式1-2】若非零向量a，b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為.【變式1-3】已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是．方法總結(jié)：求向量的夾角，有兩種方法：(1)定義法：當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關(guān)系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]．考向二平面向量中的垂直【例2】已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為()A.eq\f(22,15) B.eq\f(10,3) C.6 D.eq\f(12,7)【變式2-1】（多選）已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A． B．C．向量與的夾角為30° D．向量在上的投影向量為【變式2-2】（多選）若是所在的平面內(nèi)的點(diǎn)，且下面給出的四個(gè)命題中，其中正確的是（）A． B．C．點(diǎn)??…一定在一條直線上 D．?在向量方向上的投影一定相等方法總結(jié)：平面向量的垂直問題，有兩個(gè)類型：(1)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問題若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可。(2)已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值?？枷蛉矫嫦蛄康臄?shù)量積的運(yùn)算【例3】在中，，點(diǎn)E滿足，則（）A． B． C．3 D．6【變式3-1】如圖，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝．【變式3-2】在△ABC中，∠BAD＝60°，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝．【變式3-3】（多選）在中，，，其中，，，，，則（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，方法總結(jié)：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；(2)幾何法，利用向量的幾何意義.2.求向量模的最值(范圍)的方法：(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.平面向量的應(yīng)用1、向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)也用到向量減法的定義．(2)證明線段平行，三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運(yùn)用向量平行(共線)的條件，a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)?x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．(3)證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．(4)求夾角問題：利用夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(5)用向量方法解決幾何問題的步驟：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．2、向量在解析幾何中的應(yīng)用(1)直線的傾斜角、斜率與平行于該直線的向量之間的關(guān)系．設(shè)直線l的傾斜角為α，斜率為k，向量a＝(a1，a2)平行于l，則k＝tanα＝eq\f(a2,a1)；如果已知直線的斜率為k＝eq\f(a2,a1)，則向量(a1，a2)與向量(1，k)一定都與l平行．(2)與a＝(a1，a2)平行且過P(x0，y0)的直線方程為y－y0＝eq\f(a2,a1)(x－x0)，過點(diǎn)P(x0，y0)且與向量a＝(a1，a2)垂直的直線方程為y－y0＝－eq\f(a1,a2)(x－x0)．考向四平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【例4】（1）已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的______心．（2）等腰直角三角形中，，，點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn)，且，那么（）A． B． C．2 D．4（3）已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝________.方法總結(jié)：利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問題1、若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)考向五平面向量與三角綜合【例5】在中，，為的重心，若，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．【變式5-1】已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值等于（）A． B． C． D．【變式5-2】的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知向量，，且.（1）求；（2）若，且，求的周長.方法總結(jié)：(1)以向量為載體考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用題目，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)建出三角函數(shù)，然后再考查有關(guān)三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、周期性等三角函數(shù)性質(zhì)問題，有時(shí)還加入?yún)?shù)，考查分類討論的思想方法．(2)向量與三角函數(shù)結(jié)合時(shí)，通常以向量為表現(xiàn)形式，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)問題，所以要靈活運(yùn)用三角函數(shù)中的相關(guān)方法與技巧求解．(3)注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系，避免出現(xiàn)將內(nèi)角等同于向量夾角的錯(cuò)誤．考向六平面向量與解析幾何【例6】(1)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(10，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線，當(dāng)k<0時(shí)，若k為直線的斜率，則過點(diǎn)(2，－1)的直線方程為________________．(2)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值為________．方法總結(jié)：向量在解析幾何中的作用：(1)載體作用，向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算，脫去“向量外衣”；(2)工具作用，對于解析幾何中出現(xiàn)的垂直可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積等于0，對于共線的線段長度乘積可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積等．平面向量隨堂檢測1.已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（

）A．B．C．D．2.已知向量，若，則（

）A．B．C．D．3.已知向量a,b滿足|a|=1,|bA．?2B．?1C．1D．24.已知向量，滿足，，，則（）A．B．C．D．5.已知向量，則（）A.B.C.D.6.已知，為單位向量，且，則，的夾角為（）A．B．C．D．7.已知向量、滿足，且在上的投影的數(shù)量為，則（）A．B．C．D．8.已知△是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，且，則的值為（）A．B．C．1D．9.在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，則△ABC的形狀一定是________三角形．()A.等邊B.等腰C.直角D.等腰直角10.若O為△ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，且滿足（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))）·（eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))）＝0，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.