2009年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（湖南）（解析卷）

第頁|共頁2009年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）（2009?湖南）log2的值為（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．（5分）（2009?湖南）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（4，0） B．（2，0） C．（1，0） D．3．（5分）（2009?湖南）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2=3，a6=11，則S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．634．（5分）（2009?湖南）如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則（）A．++= B．﹣+= C．+﹣= D．﹣﹣=5．（5分）（2009?湖南）某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會，已知甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為（）A．14 B．16 C．20 D．486．（5分）（2009?湖南）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）（2009?湖南）若函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是（）A． B． C． D．8．（5分）（2009?湖南）設(shè)函數(shù)=f（x）在（﹣∞，+∞）內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK（x）=取函數(shù)f（x）=2﹣|x|．當(dāng)K=時，函數(shù)fK（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）二、填空題（共7小題，每小題5分，滿分35分）9．（5分）（2009?湖南）某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動，10人喜愛乒乓球運(yùn)動，8人對這兩項(xiàng)運(yùn)動都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為．10．（5分）（2009?湖南）若x＞0，則x+的最小值為．11．（5分）（2009?湖南）在的展開式中，x的系數(shù)為．12．（5分）（2009?湖南）一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本．已知B層中每個個體被抽到的概率都為，則總體中的個體數(shù)為．13．（5分）（2009?湖南）過雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一個焦點(diǎn)作圓x2+y2=a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．若∠AOB=120°（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為．14．（5分）（2009?湖南）在銳角△ABC中，BC=1，B=2A，則的值等于，AC的取值范圍為．15．（5分）（2009?湖南）如圖所示，把兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，則x=，y=．三、解答題（共6小題，滿分75分）16．（12分）（2009?湖南）已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2）．（1）若，求tanθ的值；（2）若，求θ的值．17．（12分）（2009?湖南）為拉動經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個數(shù)分別占總數(shù)的，，，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個項(xiàng)目參與建設(shè)，選擇哪個工程是隨機(jī)的．（I）求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；（II）記X為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．18．（12分）（2009?湖南）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DE⊥A1E．（1）證明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值．19．（13分）（2009?湖南）已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱．（1）求b的值；（2）若f（x）在x=t處取得極小值，記此極小值為g（t），求g（t）的定義域和值域．20．（13分）（2009?湖南）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．21．（13分）（2009?湖南）對于數(shù)列{un}若存在常數(shù)M＞0，對任意的n∈N+，恒有|un+1﹣un|+|un﹣un1|+…+|u2﹣u1|≤M則稱數(shù)列un為B﹣數(shù)列（1）首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B﹣數(shù)列？請說明理由；（2）設(shè)sn是數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和，給出下列兩組判斷：A組：①數(shù)列{xn}是B﹣數(shù)列．②數(shù)列{xn}不是B﹣數(shù)列．B組③數(shù)列{sn}是B﹣數(shù)列．④數(shù)列{sn}不是B﹣數(shù)列請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（3）若數(shù)列{an}是B﹣數(shù)列，證明：數(shù)列{an2}也是B﹣數(shù)列．2009年湖南省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1．（5分）（2009?湖南）log2的值為（）A．﹣ B． C．﹣ D．【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】先將轉(zhuǎn)化成，然后根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：log2=log22=．故選：D【點(diǎn)評】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是對數(shù)運(yùn)算中常用的公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）（2009?湖南）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（4，0） B．（2，0） C．（1，0） D．【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)拋物線y2=4x的方程求出p的值，進(jìn)而得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵2p=4?p=2，∴，∴拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是（1，0），故選C；【點(diǎn)評】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．3．（5分）（2009?湖南）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2=3，a6=11，則S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知項(xiàng)數(shù)之和相等的兩項(xiàng)之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出S7，將a1+a7的值代入即可求出．【解答】解：因?yàn)閍1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故選C．【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和的公式，是一道基礎(chǔ)題．4．（5分）（2009?湖南）如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則（）A．++= B．﹣+= C．+﹣= D．﹣﹣=【考點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義．【分析】模相等、方向相同的向量為相等向量，得出圖中的相等向量，再由向量加法法則得選項(xiàng)．【解答】解：由圖可知=，==在△DBE中，++=0，即++=0．故選項(xiàng)為A．【點(diǎn)評】考查向量相等的定義及向量加法的三角形法則．5．（5分）（2009?湖南）某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開會，已知甲企業(yè)有2人到會，其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為（）A．14 B．16 C．20 D．48【考點(diǎn)】計數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】本題是一個分類計數(shù)問題，由于甲有兩個人參加會議需要分兩類，含有甲的選法有C21C42種；不含有甲的選法有C43種，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，由于甲有兩個人參加會議需要分兩類：①含有甲的選法有C21C42種，②不含有甲的選法有C43種，共有C21C42+C43=16（種），故選B．【點(diǎn)評】本題考查分類計數(shù)問題，在排列的過程中出現(xiàn)有特殊情況的元素，需要分類來解，不然不能保證發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)．6．（5分）（2009?湖南）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論．【專題】計算題．【分析】根據(jù)平行六面體的結(jié)構(gòu)特征和公理2的推論進(jìn)行判斷，即找出與AB和CC1平行或相交的棱．【解答】解：根據(jù)兩條平行直線、兩條相交直線確定一個平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合條件．故選C．【點(diǎn)評】本題考查了平行六面體的結(jié)構(gòu)特征和公理2的推論的應(yīng)用，找出與AB和CC1平行或相交的棱即可，考查了空間想象能力．7．（5分）（2009?湖南）若函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】數(shù)形結(jié)合法．【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，用排除法進(jìn)行判斷．【解答】解：∵函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，∴對任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b處它們的斜率是依次增大的．∴A滿足上述條件，B存在f′（x′）＞f′（x″），C對任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），D對任意的x∈[a，b]，f′（x）不滿足逐項(xiàng)遞增的條件，故選A．【點(diǎn)評】掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，并會觀察圖形．8．（5分）（2009?湖南）設(shè)函數(shù)=f（x）在（﹣∞，+∞）內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK（x）=取函數(shù)f（x）=2﹣|x|．當(dāng)K=時，函數(shù)fK（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)題中所給的函數(shù)定義求出函數(shù)函數(shù)fK（x）的解析式，是一個分段函數(shù)，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可選出答案．【解答】解：由f（x）≤得：，即，解得：x≤﹣1或x≥1．∴函數(shù)fK（x）=由此可見，函數(shù)fK（x）在（﹣∞，﹣1）單調(diào)遞增，故選C．【點(diǎn)評】本題主要考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題（共7小題，每小題5分，滿分35分）9．（5分）（2009?湖南）某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動，10人喜愛乒乓球運(yùn)動，8人對這兩項(xiàng)運(yùn)動都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為12．【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】應(yīng)用題；集合．【分析】設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為x人，則只喜愛籃球的有（15﹣x）人，只喜愛乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可兩者都喜歡的人數(shù)，然后即可得出喜愛籃球運(yùn)動但不喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)．【解答】解：設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為x人，則只喜愛籃球的有（15﹣x）人，只喜愛乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人數(shù)為12人，故答案為：12．【點(diǎn)評】本題考查了集合的混合運(yùn)算，屬于應(yīng)用題，關(guān)鍵是運(yùn)用集合的知識求解實(shí)際問題．10．（5分）（2009?湖南）若x＞0，則x+的最小值為．．【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】計算題．【分析】由于x和都是正數(shù)，x與的積是常數(shù)，所以使用基本不等式求式子的最小值，注意檢驗(yàn)等號成立條件．【解答】解：∵x＞0，∴＞0，由基本不等式得：x+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=時取等號，∴當(dāng)x=時，x+有最小值為2，故答案為2．【點(diǎn)評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式使用條件：一正、二定、三相等，即不等式的各項(xiàng)都是正數(shù)，和或積中出現(xiàn)定值、等號成立條件具備．11．（5分）（2009?湖南）在的展開式中，x的系數(shù)為6．【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)題意，的展開式為Tr+1=C4r（）r；分析可得，r=2時，有x的項(xiàng)，將x=2代入可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，的展開式為Tr+1=C4r（）r；當(dāng)r=2時，有T3=C42（）2=6x；故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，特別要注意對x系數(shù)的化簡．12．（5分）（2009?湖南）一個總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本．已知B層中每個個體被抽到的概率都為，則總體中的個體數(shù)為120．【考點(diǎn)】分層抽樣方法；等可能事件的概率．【專題】計算題．【分析】本題考查分層抽樣，抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相同，這是解決一部分抽樣問題的依據(jù)，樣本容量、總體個數(shù)、每個個體被抽到的概率，這三者可以知二求一．【解答】解：∵B層中每個個體被抽到的概率都為，∴總體中每個個體被抽到的概率是，∴由分層抽樣是等概率抽樣得總體中的個體數(shù)為10÷=120故答案為：120．【點(diǎn)評】抽樣選用哪一種抽樣形式，要根據(jù)題目所給的總體情況來決定，若總體個數(shù)較少，可采用抽簽法，若總體個數(shù)較多且個體各部分差異不大，可采用系統(tǒng)抽樣，若總體的個體差異較大，可采用分層抽樣．13．（5分）（2009?湖南）過雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一個焦點(diǎn)作圓x2+y2=a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．若∠AOB=120°（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為2．【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)題意可先求得∠AOF利用OF和OA，在直角三角形中求得的值，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率．【解答】解：如圖，由題知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=120°，∴∠AOF=60°，又OA=a，OF=c，∴==cos60°=，∴=2．故答案為2【點(diǎn)評】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．解題的過程中采用了數(shù)形結(jié)合的思想，使問題的解決更直觀．14．（5分）（2009?湖南）在銳角△ABC中，BC=1，B=2A，則的值等于2，AC的取值范圍為（）．【考點(diǎn)】正弦定理；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化簡可得值；（2）由（1）得到AC=2cosA，要求AC的范圍，只需找出2cosA的范圍即可，根據(jù)銳角△ABC和B=2A求出A的范圍，然后根據(jù)余弦函數(shù)的增減性得到cosA的范圍即可．【解答】解：（1）根據(jù)正弦定理得：=，因?yàn)锽=2A，化簡得=即=2；（2）因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，C為銳角，所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，從而解得：，于是，由（1）的結(jié)論得2cosA=AC，故．故答案為：2，（，）【點(diǎn)評】考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理及二倍角的正弦公式化簡求值，本題的突破點(diǎn)是根據(jù)三角形為銳角三角形、內(nèi)角和定理及B=2A變換角得到角的范圍．15．（5分）（2009?湖南）如圖所示，把兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，則x=，y=．【考點(diǎn)】相等向量與相反向量．【專題】壓軸題；待定系數(shù)法；數(shù)形結(jié)合法．【分析】設(shè)，求出題中有關(guān)線段的長度及有關(guān)角的大小，利用2個向量的數(shù)量積公式，待定系數(shù)法求出x、y的值．【解答】解∵，又，∴，∴．又∵，∴．設(shè)，則由題意知：．又∵∠BED=60°，∴，顯然與的夾角為45°．∴由得×1×cos45°=（x﹣1）×1，∴x=+1．同理，在中，兩邊同時乘以，由數(shù)量積公式可得：y=，故答案為：1+，．【點(diǎn)評】本題考查2個向量的混合運(yùn)算，兩個向量的數(shù)量積定義式、公式的應(yīng)用，待定系數(shù)法求參數(shù)值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．三、解答題（共6小題，滿分75分）16．（12分）（2009?湖南）已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2）．（1）若，求tanθ的值；（2）若，求θ的值．【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】（1）根據(jù)平面向量的共線定理的坐標(biāo)表示即可解題．（2）由||=||化簡得sin2θ+cos2θ=﹣1，再由θ∈（0，π）可解出θ的值．【解答】解：（1）∵∥∴2sinθ=cosθ﹣2sinθ即4sinθ=cosθ∴tanθ=（2）由||=||∴sin2θ+（cosθ﹣2sinθ）2=5即1﹣2sin2θ+4sin2θ=5化簡得sin2θ+cos2θ=﹣1故有sin（2θ+）=﹣又∵θ∈（0，π）∴2θ+∈（，π）∴2θ+=π或2θ+=π∴θ=或θ=π【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的共線定理的坐標(biāo)表示以及向量的求模運(yùn)算．向量和三角函數(shù)的綜合題是高考的熱點(diǎn)問題，每年必考．17．（12分）（2009?湖南）為拉動經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個數(shù)分別占總數(shù)的，，，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個項(xiàng)目參與建設(shè)，選擇哪個工程是隨機(jī)的．（I）求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；（II）記X為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】計算題．【分析】（I）由題意知3名工人獨(dú)立地從中任選一個項(xiàng)目參與建設(shè)，根據(jù)三類工程的概率和相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，寫出他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率．（II）由題意知X為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程的人數(shù)，X的取值為：0，1，2，3．結(jié)合變量對應(yīng)的事件，寫出事件的概率，寫出分布列和期望．【解答】解：（I）3名工人獨(dú)立地從中任選一個項(xiàng)目參與建設(shè)設(shè)一次選擇基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程依次為事件A、B、C．則，他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率是：（II）由題意知X為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程的人數(shù)，X的取值為：0，1，2，3．P（X=0）=；；；．∴X的分布列為：X0123P∴．【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，是一個綜合題，注意規(guī)范答題，這是一個送分的題目．18．（12分）（2009?湖南）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DE⊥A1E．（1）證明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值．【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）欲證平面A1DE⊥平面ACC1A1，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ADE內(nèi)一直線與平面ACC1A1垂直，而根據(jù)DE⊥AA1而DE⊥AE．AA1∩AE=A滿足線面垂直的判定定理可知DE⊥平面ACC1A1；（2）過點(diǎn)A做AF垂直A1E于F，連接DF，由（1）知：平面A1DE⊥平面ACC1A1．所以AF⊥平面A1DE，則∠ADF即為直線AD和平面A1DE所成角，在三角形ADF中求出此角即可．【解答】解：（1）如圖所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的性質(zhì)知AA1⊥平面A1B1C1又DE?平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．而DE⊥AE．AA1∩AE=A，所以DE⊥平面ACC1A1，又DE?平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1．（2）過點(diǎn)A做AF垂直A1E于F，連接DF，由（1）知：平面A1DE⊥平面ACC1A1．所以AF⊥平面A1DE，則∠ADF即為直線AD和平面A1DE所成角，因?yàn)镈E⊥平面ACC1A1．所以DE⊥AC，而△ABC是邊長為4的正三角形，所以AD=2，AE=4﹣CE=4﹣CD=3，又因?yàn)锳A1=，所以A1E===4，AF==，所以sin∠ADF==，故直線AD和平面A1DE所成角的正弦值為【點(diǎn)評】本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查面面垂直的判定及線面所成角的計算，考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19．（13分）（2009?湖南）已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱．（1）求b的值；（2）若f（x）在x=t處取得極小值，記此極小值為g（t），求g（t）的定義域和值域．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域．【專題】計算題．【分析】（1）函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則求出f′（x）得到一個二次函數(shù)，利用x==2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函數(shù)的對稱軸為x=2，討論c的取值范圍求出g（t）的定義域和值域即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c因?yàn)楹瘮?shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以，于是b=﹣6（2）由（Ⅰ）知，f（x）=x3﹣6x2+cxf′（x）=3x2﹣12x+c=3（x﹣2）2+c﹣12（?。┊?dāng)c≥12時，f′（x）≥0，此時f（x）無極值．（ii）當(dāng)c＜12時，f′（x）=0有兩個互異實(shí)根x1，x2．不妨設(shè)x1＜x2，則x1＜2＜x2．當(dāng)x＜x1時，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（﹣∞，x1）內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)x1＜x＜x2時，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（x1，x2）內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x＞x2時，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（x2，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．所以f（x）在x=x1處取極大值，在x=x2處取極小值．因此，當(dāng)且僅當(dāng)c＜12時，函數(shù)f（x）在x=x2處存在唯一極小值，所以t=x2＞2．于是g（t）的定義域?yàn)椋?，+∞）．由f′（t）=3t2﹣12t+c=0得c=﹣3t2+12t．于是g（t）=f（t）=t3﹣6t2+ct=﹣2t3+6t2，t∈（2，+∞）．當(dāng)t＞2時，g′（t）=﹣6t2+12t=6t（2﹣t）＜0所以函數(shù)g（t）在區(qū)間（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，故g（t）的值域?yàn)椋ī仭蓿?）【點(diǎn)評】考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及確定函數(shù)極值存在位置的能力，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的能力．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個極其重要的應(yīng)用，它大大簡化了證明單調(diào)性的方法．20．（13分）（2009?湖南）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（1）設(shè)橢圓C的方程為．由于以兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個面積為8的正方形，可得b=c，=8，a2=b2+c2即可得出．（2）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為：x=﹣4．設(shè)直線l的方程為y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)G（x0，y0）．與橢圓的方程聯(lián)立化為（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0，由△＞0，解得．利用根與系數(shù)的關(guān)系與中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得y0，x0≤0，可得點(diǎn)G不可能在y軸的右邊．直線F1B2，F(xiàn)1B1的方程分別為y=x+2，y=﹣x﹣2，點(diǎn)G落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件是，解出即可．【解答】解：（1）設(shè)橢圓C的方程為．∵以兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個面積為8的正方形，∴b=c，=8，∴b=c=2，a2=b2+c2=8．∴．（2）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為：x=﹣4．∴P（﹣4，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)G（x0，y0）．由化為（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0，①由△=256k4﹣4（1+32k2）（32k2﹣8）＞0，解得．②．∴．∴x0==﹣，y0=k（x0+4）=．∵x0≤0，∴點(diǎn)G不可能在y軸的右邊．又直線F1B2，F(xiàn)1B1的方程分別為y=x+2，y=﹣x﹣2，∴點(diǎn)G落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件是，即化為，解得，滿足②．因此直線l的斜率的取值范圍是．【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．21．（13分）（2009?湖南）對于數(shù)列{un}若存在常數(shù)M＞0，對任意的n∈N+，恒有|un+1﹣un|+|un﹣un1|+…+|u2﹣u1|≤M則稱數(shù)列un為B﹣數(shù)列（1）首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B﹣數(shù)列？請說明理由；（2）設(shè)sn是數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和，給出下列兩組判斷：A組：①數(shù)列{xn}是B﹣數(shù)列．②數(shù)列{xn}不是B﹣數(shù)列．B組③數(shù)列{sn}是B﹣數(shù)列．