2010年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（江西）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)2010年江西高考理科數(shù)學(xué)真題及答案第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每個(gè)小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知（x+i）（1-i）=y，則實(shí)數(shù)x，y分別為（）A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=22.若集合，，則=（）A.B.C.D.3.不等式的解集是（）A.B.C.D.4.（）A.B.C.2D.不存在5.等比數(shù)列中，，=4，函數(shù)，則（）A．B.C.D.6.展開式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為（）A.-1B.0C.1D.27.E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則（）A.B.C.D.8.直線與圓相交于M,N兩點(diǎn)，若，則k的取值范圍是A.B.C.D.9．給出下列三個(gè)命題：①函數(shù)與是同一函數(shù)；②若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)與的圖像也關(guān)于直線對(duì)稱；③若奇函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意x都有，則為周期函數(shù)。其中真命題是A.①②B.①③C.②③D.②10.過(guò)正方體的頂點(diǎn)A作直線L，使L與棱,,所成的角都相等，這樣的直線L可以作A.1條B.2條C.3條D.4條11.一位國(guó)王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國(guó)王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來(lái)檢測(cè)。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚。國(guó)王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別為和，則A.=B.<C.>D。以上三種情況都有可能12.如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對(duì)稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導(dǎo)函數(shù)的圖像大致為二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。請(qǐng)把答案填在答題卡上。13.已知向量，滿足，，與的夾角為60°，則14.將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）。15.點(diǎn)在雙曲線的右支上，若點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離等于，則=16.如圖，在三棱錐中，三條棱，，兩兩垂直，且>>,分別經(jīng)過(guò)三條棱，，作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，，，則，，的大小關(guān)系為。三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)。(1)當(dāng)m=0時(shí)，求在區(qū)間上的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，，求m的值。18.（本小題滿分12分）某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過(guò)一扇智能門。首次到達(dá)此門，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)（即等可能）為你打開一個(gè)通道，若是1號(hào)通道，則需要1小時(shí)走出迷宮；若是2號(hào)、3號(hào)通道，則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門。再次到達(dá)智能門時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過(guò)的通道，直至走完迷宮為止。令表示走出迷宮所需的時(shí)間。求的分布列；求的數(shù)學(xué)期望。19.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間。（2）若在上的最大值為，求a的值。20.（本小題滿分12分）如圖△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。求點(diǎn)A到平面MBC的距離；求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。21.（本小題滿分12分）設(shè)橢圓，拋物線。若經(jīng)過(guò)的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的離心率；設(shè)A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若△AMN的垂心為，且△QMN的重心在上，求橢圓和拋物線的方程。22.（本小題滿分14分）證明以下命題：對(duì)任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b<c)，使得成等差數(shù)列。存在無(wú)窮多個(gè)互不相似的三角形△，其邊長(zhǎng)為正整數(shù)且成等差數(shù)列。2010年江西高考理科數(shù)學(xué)真題及答案第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每個(gè)小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知（x+i）（1-i）=y，則實(shí)數(shù)x，y分別為（）A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=2【答案】D【解析】考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算?？刹捎谜归_計(jì)算的方法，得，沒有虛部，x=1,y=2.2.若集合，，則=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】考查集合的性質(zhì)與交集以及絕對(duì)值不等式運(yùn)算。常見的解法為計(jì)算出集合A、B；，,解得。在應(yīng)試中可采用特值檢驗(yàn)完成。3.不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】考查絕對(duì)值不等式的化簡(jiǎn).絕對(duì)值大于本身，值為負(fù)數(shù).，解得A?；蛘哌x擇x=1和x=-1,兩個(gè)檢驗(yàn)進(jìn)行排除。4.（）A.B.C.2D.不存在【答案】B【解析】考查等比數(shù)列求和與極限知識(shí).解法一：先求和，然后對(duì)和取極限。5.等比數(shù)列中，，=4，函數(shù)，則（）A．B.C.D.【答案】C【解析】考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，重點(diǎn)考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法?？紤]到求導(dǎo)中，含有x項(xiàng)均取0，則只與函數(shù)的一次項(xiàng)有關(guān)；得：。6.展開式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為（）A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】考查對(duì)二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，重點(diǎn)考查實(shí)踐意識(shí)和創(chuàng)新能力，體現(xiàn)正難則反。采用賦值法，令x=1得：系數(shù)和為1，減去項(xiàng)系數(shù)即為所求，答案為0.7.E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】考查三角函數(shù)的計(jì)算、解析化應(yīng)用意識(shí)。解法1：約定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐標(biāo)化。約定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夾角公式得，解得。8.直線與圓相交于M,N兩點(diǎn)，若，則k的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【解析】考查直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式，重點(diǎn)考察數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用.解法1：圓心的坐標(biāo)為（3.，2），且圓與y軸相切.當(dāng)，由點(diǎn)到直線距離公式，解得；解法2：數(shù)形結(jié)合，如圖由垂徑定理得夾在兩直線之間即可，不取，排除B，考慮區(qū)間不對(duì)稱，排除C，利用斜率估值，選A9．給出下列三個(gè)命題：①函數(shù)與是同一函數(shù)；②若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)與的圖像也關(guān)于直線對(duì)稱；③若奇函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意x都有，則為周期函數(shù)。其中真命題是A.①②B.①③C.②③D.②【答案】C【解析】考查相同函數(shù)、函數(shù)對(duì)稱性的判斷、周期性知識(shí)。考慮定義域不同，①錯(cuò)誤；排除A、B，驗(yàn)證③,,又通過(guò)奇函數(shù)得，所以f（x）是周期為2的周期函數(shù)，選擇C。10.過(guò)正方體的頂點(diǎn)A作直線L，使L與棱,,所成的角都相等，這樣的直線L可以作A.1條B.2條C.3條D.4條【答案】D【解析】考查空間感和線線夾角的計(jì)算和判斷，重點(diǎn)考查學(xué)生分類、劃歸轉(zhuǎn)化的能力。第一類：通過(guò)點(diǎn)A位于三條棱之間的直線有一條體對(duì)角線AC1，第二類：在圖形外部和每條棱的外角和另2條棱夾角相等，有3條，合計(jì)4條。11.一位國(guó)王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國(guó)王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來(lái)檢測(cè)。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚。國(guó)王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別為和，則A.=B.<C.>D。以上三種情況都有可能【答案】B【解析】考查不放回的抽球、重點(diǎn)考查二項(xiàng)分布的概率。本題是北師大版新課標(biāo)的課堂作業(yè)，作為舊大綱的最后一年高考，本題給出一個(gè)強(qiáng)烈的導(dǎo)向信號(hào)。方法一：每箱的選中的概率為，總概率為；同理，方法二：每箱的選中的概率為，總事件的概率為，作差得<。12.如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對(duì)稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導(dǎo)函數(shù)的圖像大致為【答案】A【解析】本題考查函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)圖、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識(shí)，重點(diǎn)考查的是對(duì)數(shù)學(xué)的探究能力和應(yīng)用能力。最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒有變化，導(dǎo)數(shù)取零，排除C；總面積一直保持增加，沒有負(fù)的改變量，排除B；考察A、D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔?，產(chǎn)生中斷，選擇A。二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。請(qǐng)把答案填在答題卡上。13.已知向量，滿足，，與的夾角為60°，則【答案】【解析】考查向量的夾角和向量的模長(zhǎng)公式，以及向量三角形法則、余弦定理等知識(shí)，如圖，由余弦定理得：14.將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）?！敬鸢浮?080【解析】考查概率、平均分組分配問題等知識(shí)，重點(diǎn)考查化歸轉(zhuǎn)化和應(yīng)用知識(shí)的意識(shí)。先分組，考慮到有2個(gè)是平均分組，得，再全排列得：15.點(diǎn)在雙曲線的右支上，若點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離等于，則=【答案】2【解析】考查圓錐曲線的基本概念和第二定義的轉(zhuǎn)化，讀取a=2.c=6,,16.如圖，在三棱錐中，三條棱，，兩兩垂直，且>>,分別經(jīng)過(guò)三條棱，，作一個(gè)截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，，，則，，的大小關(guān)系為?！敬鸢浮俊窘馕觥靠疾榱Ⅲw圖形的空間感和數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力，通過(guò)補(bǔ)形，借助長(zhǎng)方體驗(yàn)證結(jié)論，特殊化，令邊長(zhǎng)為1，2，3得。三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)。(1)當(dāng)m=0時(shí)，求在區(qū)間上的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，，求m的值?！窘馕觥靠疾槿呛瘮?shù)的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求值問題。依托三角函數(shù)化簡(jiǎn)，考查函數(shù)值域，作為基本的知識(shí)交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換，屬于中等題.解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，，由已知，得從而得：的值域?yàn)椋?）化簡(jiǎn)得：當(dāng)，得：，，代入上式，m=-2.18.（本小題滿分12分）某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過(guò)一扇智能門。首次到達(dá)此門，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)（即等可能）為你打開一個(gè)通道，若是1號(hào)通道，則需要1小時(shí)走出迷宮；若是2號(hào)、3號(hào)通道，則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門。再次到達(dá)智能門時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過(guò)的通道，直至走完迷宮為止。令表示走出迷宮所需的時(shí)間。求的分布列；求的數(shù)學(xué)期望?！窘馕觥靠疾閿?shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景，重點(diǎn)考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算事件的概率、隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)特征和對(duì)思維能力、運(yùn)算能力、實(shí)踐能力的考查。必須要走到1號(hào)門才能走出，可能的取值為1，3，4，6，，，1346分布列為：（2）小時(shí)19.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間。（2）若在上的最大值為，求a的值?！窘馕觥靠疾楹瘮?shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識(shí)。解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，定義域?yàn)椋?，2）單調(diào)性的處理，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行穿線判別符號(hào)完成。當(dāng)a=1時(shí)，令當(dāng)為增區(qū)間；當(dāng)為減函數(shù)。區(qū)間上的最值問題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)的比較得到，確定待定量a的值。當(dāng)有最大值，則必不為減函數(shù)，且>0，為單調(diào)遞增區(qū)間。最大值在右端點(diǎn)取到。。20.（本小題滿分12分）如圖△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。求點(diǎn)A到平面MBC的距離；求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值?！窘馕觥勘绢}以圖形拼折為載體主要考查了考查立體圖形的空間感、點(diǎn)到直線的距離、二面角、空間向量、二面角平面角的判斷有關(guān)知識(shí)，同時(shí)也考查了空間想象能力和推理能力解法一：（1）取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD.又平面平面,則MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延長(zhǎng)AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距離相等，作OHBC于H，連MH，則MHBC，求得：OH=OCsin600=,MH=,利用體積相等得：。（2）CE是平面與平面的交線.由（1）知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形.作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為.因?yàn)椤螧CE=120°，所以∠BCF=60°.，，所以，所求二面角的正弦值是.【點(diǎn)評(píng)】傳統(tǒng)方法在處理時(shí)要注意到輔助線的處理，一般采用射影、垂線、平行線等特殊位置的元素解決解法二：取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,則MO⊥平面.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.OB=OM=，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），（1）設(shè)是平面MBC的法向量，則，，由得；由得；取，則距離（2），.設(shè)平面ACM的法向量為，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量為，則設(shè)所求二面角為，則.【點(diǎn)評(píng)】向量方法作為溝通代數(shù)和幾何的工具在考察中越來(lái)越常見，此類方法的要點(diǎn)在于建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，便于計(jì)算，位置關(guān)系明確，以計(jì)算代替