2014年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（北京）（解析卷）

第頁|共頁2014年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，則A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2} 【考點】1E：交集及其運算．【專題】5J：集合．【分析】解出集合A，再由交的定義求出兩集合的交集．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故選：C．【點評】本題考查交的運算，理解好交的定義是解答的關(guān)鍵．2．（5分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．y= B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1） 【考點】4O：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性，判斷各個選項中函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)y=在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，故滿足條件，由于函數(shù)y=（x﹣1）2在（0，1）上是減函數(shù)，故不滿足條件，由于函數(shù)y=2﹣x在（0，+∞）上是減函數(shù)，故不滿足條件，由于函數(shù)y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是減函數(shù)，故不滿足條件，故選：A．【點評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和判斷，基本初等函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）曲線（θ為參數(shù)）的對稱中心（）A．在直線y=2x上 B．在直線y=﹣2x上 C．在直線y=x﹣1上 D．在直線y=x+1上 【考點】QK：圓的參數(shù)方程．【專題】17：選作題；5S：坐標系和參數(shù)方程．【分析】曲線（θ為參數(shù)）表示圓，對稱中心為圓心，可得結(jié)論．【解答】解：曲線（θ為參數(shù)）表示圓，圓心為（﹣1，2），在直線y=﹣2x上，故選：B．【點評】本題考查圓的參數(shù)方程，考查圓的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）當m=7，n=3時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S的值為（）A．7 B．42 C．210 D．840 【考點】E7：循環(huán)結(jié)構(gòu)．【專題】11：計算題；5K：算法和程序框圖．【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的k值，計算輸出S的值．【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，當m=7，n=3時，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循環(huán)的k值為4，∴輸出S=7×6×5=210．故選：C．【點評】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解答本題的關(guān)鍵．5．（5分）設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q＞1”是“{an}為遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件；87：等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；5L：簡易邏輯．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結(jié)論．【解答】解：等比數(shù)列﹣1，﹣2，﹣4，…，滿足公比q=2＞1，但{an}不是遞增數(shù)列，充分性不成立．若an=﹣1為遞增數(shù)列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選：D．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，利用特殊值法是解決本題的關(guān)鍵．6．（5分）若x，y滿足，且z=y﹣x的最小值為﹣4，則k的值為（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】31：數(shù)形結(jié)合；59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】對不等式組中的kx﹣y+2≥0討論，當k≥0時，可行域內(nèi)沒有使目標函數(shù)z=y﹣x取得最小值的最優(yōu)解，k＜0時，若直線kx﹣y+2=0與x軸的交點在x+y﹣2=0與x軸的交點的左邊，z=y﹣x的最小值為﹣2，不合題意，由此結(jié)合約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，由圖得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【解答】解：對不等式組中的kx﹣y+2≥0討論，可知直線kx﹣y+2=0與x軸的交點在x+y﹣2=0與x軸的交點的右邊，故由約束條件作出可行域如圖，當y=0，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由圖可知，當直線y=x+z過B（﹣）時直線在y軸上的截距最小，即z最?。藭r，解得：k=﹣．故選：D．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．7．（5分）在空間直角坐標系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分別表示三棱錐D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐標平面上的正投影圖形的面積，則（）A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3 C．S3=S1且S3≠S2 D．S3=S2且S3≠S1 【考點】JG：空間直角坐標系．【專題】5H：空間向量及應(yīng)用．【分析】分別求出三棱錐在各個面上的投影坐標即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），則各個面上的射影分別為A'，B'，C'，D'，在xOy坐標平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=．在yOz坐標平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐標平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1，），S3=，則S3=S2且S3≠S1，故選：D．【點評】本題主要考查空間坐標系的應(yīng)用，求出點對于的投影坐標是解決本題的關(guān)鍵．8．（5分）學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評定為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”．若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”．如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生，則這一組學(xué)生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 【考點】F4：進行簡單的合情推理．【專題】5M：推理和證明．【分析】分別用ABC分別表示優(yōu)秀、及格和不及格，根據(jù)題干中的內(nèi)容推出文成績得A，B，C的學(xué)生各最多只有1個，繼而推得學(xué)生的人數(shù)．【解答】解：用ABC分別表示優(yōu)秀、及格和不及格，顯然語文成績得A的學(xué)生最多只有1個，語文成績得B得也最多只有一個，得C最多只有一個，因此學(xué)生最多只有3人，顯然（AC）（BB）（CA）滿足條件，故學(xué)生最多有3個．故選：B．【點評】本題主要考查了合情推理，關(guān)鍵是找到語句中的關(guān)鍵詞，培養(yǎng)了推理論證的能力．二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9．（5分）復(fù)數(shù)（）2=﹣1．【考點】A5：復(fù)數(shù)的運算．【專題】5N：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡括號內(nèi)部，然后由虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)得答案．【解答】解：（）2=．故答案為：﹣1．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查了虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．10．（5分）已知向量，滿足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），則|λ|=．【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】設(shè)=（x，y）．由于向量，滿足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．【解答】解：設(shè)=（x，y）．∵向量，滿足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化為λ2=5．解得．故答案為：．【點評】本題考查了向量的坐標運算、向量的模的計算公式、零向量等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）設(shè)雙曲線C經(jīng)過點（2，2），且與﹣x2=1具有相同漸近線，則C的方程為；漸近線方程為y=±2x．【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用雙曲線漸近線之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法即可得到結(jié)論．【解答】解：與﹣x2=1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為﹣x2=m，（m≠0），∵雙曲線C經(jīng)過點（2，2），∴m=，即雙曲線方程為﹣x2=﹣3，即，對應(yīng)的漸近線方程為y=±2x，故答案為：，y=±2x．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，利用漸近線之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．12．（5分）若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，則當n=8時，{an}的前n項和最大．【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】可得等差數(shù)列{an}的前8項為正數(shù)，從第9項開始為負數(shù)，進而可得結(jié)論．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差數(shù)列{an}的前8項為正數(shù)，從第9項開始為負數(shù)，∴等差數(shù)列{an}的前8項和最大，故答案為：8．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和單調(diào)性，屬中檔題．13．（5分）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有36種．【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【專題】5O：排列組合．【分析】分3步進行分析：①用捆綁法分析A、B，②計算其中A、B相鄰又滿足B、C相鄰的情況，即將ABC看成一個元素，與其他產(chǎn)品全排列，③在全部數(shù)目中將A、B相鄰又滿足A、C相鄰的情況排除即可得答案．【解答】解：先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，把A、B作為一個元素有種方法，而A、B可交換位置，所以有2=48種擺法，又當A、B相鄰又滿足A、C相鄰，有2=12種擺法，故滿足條件的擺法有48﹣12=36種．故答案為：36．【點評】本題考查分步計數(shù)原理的應(yīng)用，要優(yōu)先分析受到限制的元素，如本題的A、B、C．14．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0）若f（x）在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性，且f（）=f（）=﹣f（），則f（x）的最小正周期為π．【考點】H1：三角函數(shù)的周期性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由f（）=f（）求出函數(shù)的一條對稱軸，結(jié)合f（x）在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性，且f（）=﹣f（）可得函數(shù)的半周期，則周期可求．【解答】解：由f（）=f（），可知函數(shù)f（x）的一條對稱軸為x=，則x=離最近對稱軸距離為．又f（）=﹣f（），則f（x）有對稱中心（，0），由于f（x）在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性，則≤T?T≥，從而=?T=π．故答案為：π．【點評】本題考查f（x）=Asin（ωx+φ）型圖象的形狀，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，是中檔題．三、解答題（共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）15．（13分）如圖，在△ABC中，∠B=，AB=8，點D在邊BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的長．【考點】HR：余弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】根據(jù)三角形邊角之間的關(guān)系，結(jié)合正弦定理和余弦定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，則sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC?cosB﹣cos∠ADC?sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB?BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．【點評】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理和余弦定理是解決本題本題的關(guān)鍵，難度不大．16．（13分）李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下（假設(shè)各場比賽相互獨立）；場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512（1）從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；（2）從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率；（3）記是表中10個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機選擇一場，記X為李明在這場比賽中的命中次數(shù)，比較EX與的大小（只需寫出結(jié)論）．【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（1）根據(jù)概率公式，找到李明在該場比賽中超過0.6的場次，計算即可，（2）根據(jù)互斥事件的概率公式，計算即可．（3）求出平均數(shù)和EX，比較即可．【解答】解：（1）設(shè)李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6為事件A，由題意知，李明在該場比賽中超過0.6的場次有：主場2，主場3，主場5，客場2，客場4，共計5場所以李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率P（A）=，（2）設(shè)李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率為事件B，同理可知，李明主場命中率超過0.6的概率，客場命中率超過0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=【點評】本題主要考查了概率的計算、數(shù)學(xué)期望，平均數(shù)，互斥事件的概率，屬于中檔題．17．（14分）如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點，在五棱錐P﹣ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點，平面ABF與棱PD，PC分別交于點G，H．（1）求證：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長．【考點】MI：直線與平面所成的角．【專題】11：計算題；14：證明題；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角．【分析】（1）運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理即可證得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE為正方形，建立如圖的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，分別求出A，B，C，E，P，F(xiàn)，及向量BC的坐標，設(shè)平面ABF的法向量為n=（x，y，z），求出一個值，設(shè)直線BC與平面ABF所成的角為α，運用sinα=|cos|，求出角α；設(shè)H（u，v，w），再設(shè)，用λ表示H的坐標，再由n=0，求出λ和H的坐標，再運用空間兩點的距離公式求出PH的長．【解答】（1）證明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中點，∴AB∥DE，又∵AB?平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F(xiàn)（0，1，1），，設(shè)平面ABF的法向量為=（x，y，z），則即，令z=1，則y=﹣1，∴=（0，﹣1，1），設(shè)直線BC與平面ABF所成的角為α，則sinα=|cos＜，＞|=||=，∴直線BC與平面ABF所成的角為，設(shè)H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可設(shè)，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF的法向量，∴=0，即（0，﹣1，1）?（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2．【點評】本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面平行、垂直的判定和性質(zhì)，同時考查直線與平面所成的角的求法，考查運用空間直角坐標系求角和距離，是一道綜合題．18．（13分）已知函數(shù)f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求證：f（x）≤0；（2）若a＜＜b對x∈（0，）上恒成立，求a的最大值與b的最小值．【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在區(qū)間∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在區(qū)間∈[0，]上單調(diào)遞減，從而f（x）≤f（0）=0．（2）當x＞0時，“＞a”等價于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等價于“sinx﹣bx＜0”構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx﹣cx，通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論參數(shù)c求出函數(shù)的最值，進一步求出a，b的最值．【解答】解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在區(qū)間∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在區(qū)間∈[0，]上單調(diào)遞減，從而f（x）≤f（0）=0．（2）當x＞0時，“＞a”等價于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等價于“sinx﹣bx＜0”令g（x）=sinx﹣cx，則g′（x）=cosx﹣c，當c≤0時，g（x）＞0對x∈（0，）上恒成立，當c≥1時，因為對任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞減，從而，g（x）＜g（0）=0對任意x∈（0，）恒成立，當0＜c＜1時，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）與g′（x）在區(qū)間（0，）上的情況如下：x（0，x0）x0（x0，）g′（x）+﹣g（x）↑↓因為g（x）在區(qū)間（0，x0）上是增函數(shù)，所以g（x0）＞g（0）=0進一步g（x）＞0對任意x∈（0，）恒成立，當且僅當綜上所述當且僅當時，g（x）＞0對任意x∈（0，）恒成立，當且僅當c≥1時，g（x）＜0對任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b對x∈（0，）上恒成立，則a的最大值為，b的最小值為1【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；考查解決不等式問題常通過構(gòu)造函數(shù)解決函數(shù)的最值問題，屬于一道綜合題．19．（14分）已知橢圓C：x2+2y2=4，（1）求橢圓C的離心率（2）設(shè)O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB，求直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【考點】K4：橢圓的性質(zhì)；KJ：圓與圓錐曲線的綜合．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）化橢圓方程為標準式，求出半長軸和短半軸，結(jié)合隱含條件求出半焦距，則橢圓的離心率可求；（2）設(shè)出點A，B的坐標分別為（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐標表示后把t用含有A點的坐標表示，然后分A，B的橫坐標相等和不相等寫出直線AB的方程，然后由圓x2+y2=2的圓心到AB的距離和圓的半徑相等說明直線AB與圓x2+y2=2相切．【解答】解：（1）由x2+2y2=4，得橢圓C的標準方程為．∴a2=4，b2=2，從而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故橢圓C的離心率e=；（2）直線AB與圓x2+y2=2相切．證明如下：設(shè)點A，B的坐標分別為（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得．當x0=t時，，代入橢圓C的方程，得．故直線AB的方程為x=，圓心O到直線AB的距離d=．此時直線AB與圓x2+y2=2相切．當x0≠t時，直線AB的方程為，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．圓心O到直線AB的距離d=．又，t=．故=．此時直線AB與圓x2+y2=2相切．【點評】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了圓與圓錐曲線的綜合，訓(xùn)練了由圓心到直線的距離判斷直線和圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了計算能力和邏輯思維能力，是壓軸題．20．（13分）對于數(shù)對序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），記T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak兩個數(shù)中最