2015年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（福建）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若（是虛數(shù)單位），則的值分別等于（）A．B．C．D．【答案】A【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)的概念．【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)相等的充要條件和復(fù)數(shù)運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)相等可以確定參數(shù)的取值，屬于基礎(chǔ)題，但是要注意運(yùn)算準(zhǔn)確．2．若集合，，則等于（）A．B．C．D【答案】D【考點(diǎn)定位】集合的運(yùn)算．【名師點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，理解交集的含義是正確解答的前提，屬于基礎(chǔ)題．3．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．B．C．D．【答案】D【考點(diǎn)定位】函數(shù)的奇偶性．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，除了要掌握奇偶性定義外，還要深刻理解其定義域特征即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則即使?jié)M足定義，但是不具有奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．4．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序．若輸入的值為1，則輸出的值為（）A．2B．7C【答案】C【考點(diǎn)定位】程序框圖．【名師點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，關(guān)鍵在于讀懂框圖有什么功能，要注意依序進(jìn)行，認(rèn)真判斷條件來(lái)決定程序的執(zhí)行方向．理解每個(gè)變量和框圖的關(guān)系．運(yùn)算量不大，重在理解，重在細(xì)心，屬于基礎(chǔ)題．5．若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值等于（）A．2B．3C．4【答案】C【考點(diǎn)定位】基本不等式．【名師點(diǎn)睛】本題以直線方程為背景考查基本不等式，利用直線過(guò)點(diǎn)尋求變量關(guān)系，進(jìn)而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三個(gè)條件“正，等，定”，屬于中檔題．6．若，且為第四象限角，則的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【考點(diǎn)定位】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式．【名師點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，在、、三個(gè)值之間，知其中的一個(gè)可以求剩余兩個(gè)，但是要注意判斷角的象限，從而決定正負(fù)符號(hào)的取舍，屬于基礎(chǔ)題．7．設(shè)，，．若，則實(shí)數(shù)的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【考點(diǎn)定位】平面向量數(shù)量積．【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算以及平面向量基本定理，由已知的坐標(biāo)計(jì)算的坐標(biāo)，再利用已知條件列方程求參數(shù)的值；本題還可以先利用向量運(yùn)算，即，，再引入坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．8．如圖，矩形中，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．且點(diǎn)與點(diǎn)在函數(shù)的圖像上．若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率等于（）A．B．C．D．【答案】B【考點(diǎn)定位】幾何概型．【名師點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果由等可能的無(wú)限多個(gè)結(jié)果組成時(shí)，利用古典概型求概率顯然是不可能的，可以將所求概率轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度的比值（一個(gè)變量）、面積的比值（兩個(gè)變量）、體積的比值（三個(gè)變量或根據(jù)實(shí)際意義）來(lái)求，屬于中檔題．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A．B．C．D．【答案】B【考點(diǎn)定位】三視圖和表面積．【名師點(diǎn)睛】本題考查三視圖和表面積計(jì)算，關(guān)鍵在于根據(jù)三視圖還原體，要掌握常見(jiàn)幾何體的三視圖，比如三棱柱、三棱錐、圓錐、四棱柱、四棱錐、圓錐、球、圓臺(tái)以及其組合體，并且要弄明白幾何體的尺寸跟三視圖尺寸的關(guān)系；有時(shí)候還可以利用外部補(bǔ)形法，將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體或者正方體等常見(jiàn)幾何體，屬于中檔題．10．變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實(shí)數(shù)等于（）A．B．C．D．【答案】C【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃．【名師點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，首先要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分析，什么時(shí)候目標(biāo)函數(shù)取到最大值，其次要對(duì)的符號(hào)討論，以確定可行域，解該類題目時(shí)候，往往還要將目標(biāo)直線的斜率和可行域邊界的斜率比較，否則很容易出錯(cuò)．11．已知橢圓的右焦點(diǎn)為．短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)．若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【考點(diǎn)定位】1、橢圓的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、點(diǎn)到直線距離公式．【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而確定的值，是本題關(guān)鍵所在，體現(xiàn)了橢圓的對(duì)稱性和橢圓概念的重要性，屬于難題．求離心率取值范圍就是利用代數(shù)方法或平面幾何知識(shí)尋找橢圓中基本量滿足的不等量關(guān)系，以確定的取值范圍．12．“對(duì)任意，”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用，根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而研究其圖象與性質(zhì)，是函數(shù)思想的體現(xiàn)，屬于難題．第II卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13．某校高一年級(jí)有900名學(xué)生，其中女生400名，按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為_(kāi)______．【答案】【考點(diǎn)】分層抽樣．【名師點(diǎn)睛】本題考查抽樣方法，要搞清楚三種抽樣方法的區(qū)別和聯(lián)系，其中分層抽樣是按比例抽樣；系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，屬于基礎(chǔ)題．14．若中，，，，則_______．【答案】【考點(diǎn)定位】正弦定理．【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下兩類問(wèn)題：（1）已知三角形的兩角和任意一邊，求三角形其他兩邊與角；（2）已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求三角形其他邊與角．關(guān)鍵是計(jì)算準(zhǔn)確細(xì)心，屬于基礎(chǔ)題．15．若函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值等于_______．【答案】【考點(diǎn)定位】函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由已知條件確定的解析式，確定遞增區(qū)間，進(jìn)而確定參數(shù)取值范圍，注意函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D和函數(shù)在區(qū)間D上遞增是不同的概念，其中“單調(diào)遞增區(qū)間是D”反映了函數(shù)本身的屬性，而“函數(shù)在區(qū)間D上遞增”反映函數(shù)的局部性質(zhì)．16．若是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于________．【答案】9【考點(diǎn)定位】等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)．【名師點(diǎn)睛】本題以零點(diǎn)為載體考查等比中項(xiàng)和等差中項(xiàng)，其中分類討論和邏輯推理是解題核心．三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，項(xiàng)與項(xiàng)之間是有順序的，但是等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)是唯一的，故可以利用中項(xiàng)進(jìn)行討論，屬于難題．三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．(本小題滿分12分)等差數(shù)列中，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【考點(diǎn)定位】1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2、分組求和法．【名師點(diǎn)睛】確定等差數(shù)列的基本量是．所以確定等差數(shù)列需要兩個(gè)獨(dú)立條件，求數(shù)列前n項(xiàng)和常用的方法有四種：（1）裂項(xiàng)相消法（通過(guò)將通項(xiàng)公式裂成兩項(xiàng)的差或和，在前n項(xiàng)相加的過(guò)程中相互抵消）；（2）錯(cuò)位相減法（適合于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列型）；（3）分組求和法(根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，將其分解為等差數(shù)列求和以及等比數(shù)列求和)；（4）奇偶項(xiàng)分析法（適合于整個(gè)數(shù)列特征不明顯，但是奇數(shù)項(xiàng)之間以及偶數(shù)項(xiàng)之間有明顯的等差數(shù)列特征或等比數(shù)列特征）．18．（本題滿分12分）全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國(guó)網(wǎng)民中影響了的綜合指標(biāo)．根據(jù)相關(guān)報(bào)道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國(guó)性大型活動(dòng)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”融合指數(shù)的數(shù)據(jù)，對(duì)名列前20名的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表所示．組號(hào)分組頻數(shù)12283743（Ⅰ）現(xiàn)從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研，求至少有1家的融合指數(shù)在的概率；（Ⅱ）根據(jù)分組統(tǒng)計(jì)表求這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)的平均數(shù)．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【考點(diǎn)定位】1、古典概型；2、平均值．【名師點(diǎn)睛】本題考差古典概型和平均數(shù)，利用古典概型的“等可能”“有限”性的特點(diǎn)，能方便的求出概率．由實(shí)際意義構(gòu)造古典概型，首先確定試驗(yàn)的樣本空間結(jié)構(gòu)并計(jì)算它所含樣本點(diǎn)總數(shù)，然后再求出事件A所含基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型的概率計(jì)算公式；根據(jù)頻率分布表求平均數(shù)，對(duì)于每組的若干個(gè)數(shù)可以采取區(qū)間中點(diǎn)值作為該組數(shù)據(jù)的數(shù)值，再求平均數(shù)．19．（本小題滿分12分）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，證明：以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析．【考點(diǎn)定位】1、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和圓的位置關(guān)系．【名師點(diǎn)睛】利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到準(zhǔn)線距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解過(guò)程，在解拋物線問(wèn)題的同時(shí)，一定要善于利用其定義解題．直線和圓的位置關(guān)系往往利用幾何判斷簡(jiǎn)潔，即圓心到直線的距離與圓的半徑比較；若由圖形觀察，結(jié)合平面幾何知識(shí)，說(shuō)明即可，這樣可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷，高效解題的過(guò)程就是優(yōu)化轉(zhuǎn)化的過(guò)程．20．（本題滿分12分）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且．（Ⅰ）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；（Ⅱ）求三棱錐體積的最大值；（Ⅲ）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值．【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【考點(diǎn)定位】1、直線和平面垂直的判定；2、三棱錐體積．【名師點(diǎn)睛】證明直線和平面垂直可以利用判定定理，即線線垂直到線面垂直；也可以利用面面垂直的性質(zhì)定理，即面面垂直到線面垂直；決定棱錐體積的量有兩個(gè)，即底面積和高，當(dāng)研究其體積的最值問(wèn)題時(shí)，若其中有一個(gè)量確定，則只需另一個(gè)量的最值；若兩個(gè)量都不確定，可通過(guò)設(shè)變量法，將體積表示為變量的函數(shù)解析式，利用函數(shù)思想確定其最值；將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一個(gè)平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間距離最短求解．21．（本題滿分12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的最大值為2．（?。┣蠛瘮?shù)的解析式；（ⅱ）證明：存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（?。唬áⅲ┰斠?jiàn)解析．【考點(diǎn)定位】1、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；2、三角不等式．【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、周期、奇偶性、對(duì)稱性都是通過(guò)將解析式變形為進(jìn)行；若三角函數(shù)圖象變換是縱向伸縮和縱向平移，都是相對(duì)于而言，即和，若三角函數(shù)圖象變換是橫向伸縮和橫向平移，都是相對(duì)于自變量而言，即和；本題第（ⅱ）問(wèn)是解三角不等式問(wèn)題，由函數(shù)周期性的性質(zhì)，先在一個(gè)周期內(nèi)求解，然后再加周期，將存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得，轉(zhuǎn)化為解集長(zhǎng)度大于1，是本題的核心．22．（本小題滿分14分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）．【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】利