《電子技術(shù)》課件第5章

第5章數(shù)字邏輯電路5.1

數(shù)制與編碼5.2邏輯函數(shù)5.3邏輯代數(shù)的基本定律5.4邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)5.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)本章小結(jié)習(xí)題五5.1數(shù)制與編碼數(shù)字電路中經(jīng)常遇到計(jì)數(shù)問題。在日常生活中,我們習(xí)慣于用十進(jìn)制數(shù),而在數(shù)字系統(tǒng)中多采用二進(jìn)制數(shù),有時(shí)也采用八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)。5.1.1十進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)是使用最廣泛的一種計(jì)數(shù)制,它的特點(diǎn)如下:

(1)采用十個(gè)基本數(shù)碼:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

(2)按“逢十進(jìn)一”的原則計(jì)數(shù),同一個(gè)數(shù)碼在不同的位置上其數(shù)值是不同的。例如,十進(jìn)制數(shù)555,三個(gè)數(shù)碼都是5,右邊的數(shù)碼5是個(gè)位數(shù),表示5,中間的數(shù)碼5是十位數(shù),表示50,而左邊的數(shù)碼5是百位數(shù),表示500,這三個(gè)“5”表示的數(shù)值是不同的。用式子表示如下:555=5×102+5×101+5×100

100、101、102被稱為個(gè)位、十位、百位的權(quán),上式稱為按權(quán)展開式。任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以寫成以10為底的冪的和的形式,即按權(quán)展開式:(5.1.1)例如,數(shù)34.142可表示為34.142=3×101+4×100+1×10－1+4×10－2+2×10－3從計(jì)數(shù)電路的角度看來(lái),采用十進(jìn)制是不方便的。因?yàn)闃?gòu)成計(jì)數(shù)電路的基本想法是把電路的狀態(tài)跟數(shù)碼對(duì)應(yīng)起來(lái),而十進(jìn)制的十個(gè)數(shù)碼必須由十個(gè)不同的而且能嚴(yán)格區(qū)分的電路狀態(tài)與之對(duì)應(yīng),這樣將在技術(shù)上帶來(lái)許多困難,而且也不經(jīng)濟(jì)。因此在計(jì)數(shù)電路中一般不直接采用十進(jìn)制。5.1.2二進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)如下:

(1)采用0和1兩個(gè)基本數(shù)碼,任何一個(gè)二進(jìn)制數(shù)均由0和1兩個(gè)數(shù)碼來(lái)表示。

(2)按“逢二進(jìn)一”的規(guī)律計(jì)數(shù),同一個(gè)數(shù)碼在不同的位置上其數(shù)值是不同的。每一個(gè)二進(jìn)制數(shù)都可以寫成按權(quán)展開的形式,即(5.1.2)這樣,我們可將任一個(gè)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。例如,二進(jìn)制數(shù)1001轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)等于:(1001)2=1×23+0×22+0×21+1×20=95.1.3十六進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)由于二進(jìn)制數(shù)位數(shù)多,不便書寫和記憶,因此在數(shù)字計(jì)算機(jī)的資料中常采用十六進(jìn)制或八進(jìn)制來(lái)表示二進(jìn)制數(shù)。上述十進(jìn)制和二進(jìn)制數(shù)的表示法可以推廣到十六進(jìn)制和八進(jìn)制。十六進(jìn)制數(shù)采用十六個(gè)數(shù)碼,而且“逢十六進(jìn)一”,這十六個(gè)不同的數(shù)碼是:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(對(duì)應(yīng)于十進(jìn)制中的10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)。例如,將十六進(jìn)制數(shù)4E6轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù):(4E6)=4×162+14×161+6×160=1254十六進(jìn)制與二進(jìn)制之間的相互轉(zhuǎn)換也比較方便。相互轉(zhuǎn)換的方法是:將二進(jìn)制數(shù)整數(shù)部分從右往左每四位一組,小數(shù)部分從左往右每四位一組分組,每組二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)于一位十六進(jìn)制數(shù)。例如:

(01011001)2=(59)16

(10011100101101001000)2=(9CB48)16

D3F5=(1101001111110101)2八進(jìn)制數(shù)采用八個(gè)數(shù)碼:0,1,2,3,4,5,6,7,而且“逢八進(jìn)一”。同理,對(duì)于八進(jìn)制數(shù),可將三位二進(jìn)制數(shù)分為一組,對(duì)應(yīng)于一位八進(jìn)制數(shù),便可實(shí)現(xiàn)八進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的互換。例如:

(10011100101101001000)2=(2345510)8

(53.21)8=(101011.010001)2為便于對(duì)照,將十進(jìn)制數(shù)、二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制數(shù)及十六進(jìn)制數(shù)之間的關(guān)系列于表5.1.1中。5.1.4二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

1.二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)把二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為等值的十進(jìn)制數(shù)時(shí),通常是將二進(jìn)制數(shù)寫成它的按權(quán)展開式,然后將數(shù)碼為1的那些位的權(quán)值按十進(jìn)制相加,就可得到該二進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)?！纠?.1.1】求二進(jìn)制數(shù)110101.1011的等值十進(jìn)制數(shù)。解:該數(shù)的二進(jìn)制數(shù)按權(quán)展開式為(110101.1011)2=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21

+1×20+1×2－1+0×2－2+1×2－3+1×2－4

=32+16+0+4+0+1+0.5+0+0.125+0.0625

=53.6875

2.十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成等值的二進(jìn)制數(shù)時(shí),需要將十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換,因兩者的轉(zhuǎn)換方法是不相同的。

1)整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制整數(shù)時(shí),通常采用“除2取余,逆序排列”的方法。轉(zhuǎn)換步驟如下:

(1)用二進(jìn)制數(shù)的基數(shù)2除給定的十進(jìn)制整數(shù),所得的余數(shù)(0或1)即為所求二進(jìn)制整數(shù)的最低位(K0)。

(2)再用2除第一步所得的商,得余數(shù)(0或1)為所求二進(jìn)制整數(shù)的次低位(K1)。

(3)重復(fù)用2除前一步所得的商,得余數(shù)(0或1),一直進(jìn)行到商數(shù)得0為止,末次所得的余數(shù)為所求二進(jìn)制數(shù)的最高位。

【例5.1.2】將十進(jìn)制數(shù)178轉(zhuǎn)換為等值的二進(jìn)制數(shù)。解:

于是得(178)10=(10110010)2

2)小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換將十進(jìn)制純小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制純小數(shù)時(shí),通常采用“乘2取整,順序排列”的方法。轉(zhuǎn)換步驟如下:

(1)用二進(jìn)制數(shù)的基數(shù)2乘給定的十進(jìn)制小數(shù),所得乘積的整數(shù)(0或1)即為所求二進(jìn)制小數(shù)的最高位(K－1)。

(2)用2乘第一步所得乘積的小數(shù)部分,所得第二次乘積的整數(shù)部分(0或1)即為所求二進(jìn)制小數(shù)的次高位(K－2);

(3)重復(fù)用2乘前一步所得乘積的小數(shù)部分,一直到所得乘積的小數(shù)部分為零或達(dá)到轉(zhuǎn)換精度為止。

【例5.1.3】將十進(jìn)制小數(shù)0.6875轉(zhuǎn)換成等值的二進(jìn)制數(shù)。解:乘積整數(shù)部分為于是得(0.6875)10=(0.1011)2帶小數(shù)點(diǎn)的任意十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為等值的二進(jìn)制數(shù)時(shí),可運(yùn)用上述方法,將十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù),再將所得的二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)相加,即可得到所轉(zhuǎn)換的等值二進(jìn)制數(shù)。

【例5.1.4】將十進(jìn)制數(shù)19.625轉(zhuǎn)換成等值的二進(jìn)制數(shù)。解:(1)整數(shù)部分用“除2取余,逆序排列”法進(jìn)行轉(zhuǎn)換。故(19)10=(10011)2

(2)小數(shù)部分用“乘2取整,順序排列”法進(jìn)行轉(zhuǎn)換。0.625×2=1.25整數(shù)部分為1(K－1)

0.25×2=0.50整數(shù)部分為0(K－2)

0.50×2=1.0整數(shù)部分為1(K－3)故(0.625)10=(0.101)2

(3)將整數(shù)部分和小數(shù)部分相加,得轉(zhuǎn)換結(jié)果如下:

(19.625)10=(10011.101)2

最后,需要指出的是,不是所有的十進(jìn)制小數(shù)都能轉(zhuǎn)換成有限位的二進(jìn)制小數(shù),因?yàn)橛?去乘乘積的小數(shù)部分,若小數(shù)部分不為0,則演算將一直進(jìn)行下去。在用計(jì)算機(jī)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的情況下,由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)(位數(shù))有限,當(dāng)演算到最低位時(shí),往往采用“四舍五入”的辦法處理,這將出現(xiàn)誤差,其誤差的大小(或稱轉(zhuǎn)換的精度)與計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)(位數(shù))有關(guān)。5.1.5二進(jìn)制數(shù)的四則運(yùn)算

1.加法運(yùn)算規(guī)律加法運(yùn)算時(shí)要注意“逢二進(jìn)一”的原則,若某位相加得2,則應(yīng)向高位進(jìn)一,而本位為0。

【例5.1.5】求1101+1101=？

解:得1101+1101=11010。

2.減法運(yùn)算規(guī)律減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算,遇到0減1時(shí),應(yīng)向高位借1,在本位作2使用。

【例5.1.6】求1001－011=？

解:得1001－011=110。

3.乘法運(yùn)算規(guī)律

【例5.1.7】求1011×101=？

解:得1011×101=110111。

4.除法運(yùn)算規(guī)律除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算。

【例5.1.8】求11001÷101=?解:得11001÷101=101。由上面的討論可知,二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單,加法運(yùn)算是基本運(yùn)算,其他的運(yùn)算都可歸結(jié)為移位和加法兩種操作。5.1.6二-十進(jìn)制編碼在數(shù)字通信和計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中,信息可分為數(shù)值信息和字符信息兩大類。前面我們已討論了數(shù)值信息的表示方法。為了表示字符信息,往往也采用由若干位二進(jìn)制數(shù)碼來(lái)表示,這種給每個(gè)信息所分配的二進(jìn)制代碼稱為對(duì)信息的編碼。用特定的二進(jìn)制碼來(lái)代表每一個(gè)十進(jìn)制數(shù),即為二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制,簡(jiǎn)稱二－十進(jìn)制編碼(BinaryCodedDecimalCodes,BCD)。一位十進(jìn)制數(shù)有0～9個(gè)不同的信息,至少需要四位二進(jìn)制碼才能表示一位十進(jìn)制數(shù),而用四位二進(jìn)制碼可以組成24=16個(gè)不同的二進(jìn)制序列(或稱碼組),用其中的十個(gè)碼組分別代表十進(jìn)制中0～9十個(gè)數(shù),剩下六個(gè)多余的碼組稱為冗余碼組。由于從十六個(gè)二進(jìn)制碼組中任意選取十個(gè)碼組的方案有很多種,因而產(chǎn)生了多種BCD碼。常用的幾種碼如表5.1.2所示。從表5.1.2中可看出,8421BCD碼的編碼特點(diǎn)是:十進(jìn)制數(shù)0～9所對(duì)應(yīng)的四位二進(jìn)制代碼就是與該十進(jìn)制數(shù)等值的二進(jìn)制數(shù),即四位二進(jìn)制數(shù)0000～1111十六種碼組中的前十種碼組0000～1001。后面的六個(gè)碼組1010～1111在8421BCD碼中是不允許出現(xiàn)的,稱冗余碼組。8421碼各位的權(quán)值從左到右分別是8、4、2、1,所以稱這種編碼為8421BCD碼。

8421碼具有奇偶特性,即凡是奇數(shù)(1,3,5,7,9)碼組的最低位二進(jìn)制數(shù)皆為1,而偶數(shù)(0,2,4,6,8)碼組的最低位二進(jìn)制數(shù)皆為0,因此,采用8421碼容易判別它的奇偶性。用8421BCD碼對(duì)一個(gè)多位十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行編碼時(shí),只要把十進(jìn)制數(shù)的各位數(shù)字編成對(duì)應(yīng)的8421碼即可。例如,十進(jìn)制數(shù)579的8421BCD編碼如下:(579)10=(010101111001)8421BCD實(shí)際應(yīng)用中還有一種常見的碼叫格雷碼,其編碼如表5.1.3所示。這種碼的特點(diǎn)是:相鄰的兩個(gè)碼組之間僅有一位不同,因而常用于模擬量的轉(zhuǎn)換中,當(dāng)模擬量發(fā)生微小變化而可能引起數(shù)字量發(fā)生變化時(shí),格雷碼僅改變一位,這樣與其他碼同時(shí)改變兩位或多位的情況相比更為可靠,可減少出錯(cuò)的可能性。5.2邏輯函數(shù)數(shù)字電路是一種開關(guān)電路,開關(guān)的兩種狀態(tài)“開通”與“關(guān)斷”常用電子器件的“導(dǎo)通”與“截止”來(lái)實(shí)現(xiàn),并用二元常量0和1來(lái)表示。數(shù)字電路的輸入、輸出量一般用高、低電平來(lái)表示。高、低電平也可用二元常量表示。就其整體而言,數(shù)字電路的輸出量與輸入量之間的關(guān)系是一種因果關(guān)系,它可以用邏輯表達(dá)式來(lái)描述,因而數(shù)字電路又稱為邏輯電路。5.2.1基本邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)是按一定邏輯規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算的代數(shù),雖然它和普通代數(shù)一樣也是用字母表示變量,但兩種代數(shù)中變量的含義是完全不同的,它們之間有著本質(zhì)區(qū)別。邏輯代數(shù)中的變量只有兩個(gè)值,即邏輯0和1,而沒有中間值。0和1并不表示數(shù)量的大小,而是表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)。脈沖信號(hào)的高、低電平可以用1和0來(lái)表示。同時(shí)規(guī)定:如果高電平用1來(lái)表示,低電平用0來(lái)表示,則稱這種表示方法為正邏輯;反之,高電平用0來(lái)表示,低電平用1來(lái)表示,則稱這種表示方法為負(fù)邏輯。本書如無(wú)特殊聲明,均采用正邏輯。在邏輯代數(shù)中,有與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算。眾所周知,運(yùn)算是一種函數(shù)關(guān)系,它可以用語(yǔ)句描述,亦可用邏輯表達(dá)式描述,還可用表格或圖形來(lái)描述。描述邏輯關(guān)系的表格為真值表。表示邏輯運(yùn)算的規(guī)定的圖形符號(hào)稱為邏輯符號(hào)。下面分別討論三種基本的邏輯運(yùn)算。

1.與運(yùn)算圖5.2.1(a)表示一個(gè)簡(jiǎn)單的與邏輯電路。電池E通過開關(guān)A和B向燈泡供電,只有A與B同時(shí)接通,燈泡才亮。A和B中只要有一個(gè)不接通或二者均不接通,則燈泡不亮。其真值表如圖5.2.1(b)所示。因此,從這個(gè)電路可總結(jié)出這樣的邏輯關(guān)系:只有當(dāng)一件事(燈亮)的幾個(gè)條件(開關(guān)A與B都接通)全部具備之后,這件事(燈亮)才發(fā)生,這種關(guān)系稱為與邏輯。如果用二元常量來(lái)表示,并設(shè)開關(guān)不通和燈不亮均用0表示,而開關(guān)接通和燈亮均用1表示,則得圖5.2.1(c),其中F表示燈的狀態(tài)。若用邏輯表達(dá)式來(lái)描述,則可寫為F=A·B=AB

(5.2.1)式中,小圓點(diǎn)“·”表示A、B的與運(yùn)算,也表示邏輯乘。在不致引起混淆的前提下,乘號(hào)“·”常被省略。與運(yùn)算的邏輯符號(hào)如圖5.2.1(d)所示。圖5.2.1與邏輯運(yùn)算

2.或運(yùn)算圖5.2.2(a)表示一簡(jiǎn)單的或邏輯電路。電池E通過開關(guān)A或B向燈泡供電,只要開關(guān)A或B接通或二者均接通,則燈亮,而當(dāng)A和B均不通時(shí),燈不亮。其真值表如5.2.2(b)所示。由此可總結(jié)出另一種邏輯關(guān)系:當(dāng)一件事情(燈亮)的幾個(gè)條件(開關(guān)A、B接通)中只要有一個(gè)條件得到滿足,這件事(燈亮)就會(huì)發(fā)生,這種關(guān)系稱為或邏輯。仿照前述,用二元常量表示的或邏輯真值表如圖5.2.2(c),若用邏輯表達(dá)式來(lái)描述,則可寫為

F=A+B

(5.2.2)式中,符號(hào)“+”表示A、B的或運(yùn)算,也表示邏輯加?；蜻\(yùn)算的邏輯符號(hào)如圖5.2.2(d)所示。圖5.2.2或邏輯運(yùn)算

3.非運(yùn)算如圖5.2.3(a)所示,電池E通過一繼電器觸點(diǎn)向燈泡供電,NC為繼電器A的常閉觸點(diǎn)。當(dāng)A不通電時(shí),燈亮;當(dāng)A通電時(shí),燈不亮。其真值表如圖5.2.3(b)所示。由此可總結(jié)出第三種邏輯關(guān)系,即一件事情(燈亮)的發(fā)生是以其相反的條件為依據(jù)的,這種邏輯關(guān)系稱為非邏輯。若用二元常量來(lái)表示繼電器和燈泡的狀態(tài),則可得圖5.2.3(c)。在圖5.2.3(c)中,讀者很容易理解,A不通電和燈不亮定義為0態(tài),而A通電和燈亮定義為1態(tài),顯然,F與A總是處于對(duì)立的邏輯狀態(tài)。若用邏輯表達(dá)式來(lái)描述,則可寫為

(5.2.3)式中,字母A上方的短劃“——”表示非運(yùn)算。非運(yùn)算的邏輯符號(hào)如圖5.2.3(d)所示。圖5.2.3非邏輯運(yùn)算以上所討論的與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算常用與、或、非門電路來(lái)實(shí)現(xiàn),這將在第6章中討論。上述與、或邏輯運(yùn)算可以推廣到多變量的情況,即

F=A·B·C·…

(5.2.4)

F=A＋B＋C＋…

(5.2.5)

其他邏輯函數(shù)都可用上述三種基本函數(shù)組合而成。表5.2.1列出了其他幾種常用的邏輯運(yùn)算及其相應(yīng)的邏輯函數(shù)式,以便于比較和應(yīng)用。5.2.2邏輯函數(shù)與邏輯問題的描述上一節(jié)討論了與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算,即三種基本的邏輯函數(shù)。本節(jié)從工程實(shí)際出發(fā),提出邏輯命題,然后用真值表加以描述。從真值表可直接寫出邏輯函數(shù)。一般來(lái)說(shuō),一個(gè)比較復(fù)雜的邏輯電路往往是受多種因素控制的,就是說(shuō)有多個(gè)邏輯變量,輸出量與輸入量之間的關(guān)系可用一邏輯函數(shù)來(lái)描述。下面看一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例。圖5.2.4是一個(gè)控制樓梯照明燈的電路,單刀雙擲開關(guān)A裝在樓下,B裝在樓上,這樣在樓下開燈后,可在樓上關(guān)燈,同樣,也可在樓上開燈,而在樓下關(guān)燈,因?yàn)橹挥挟?dāng)兩個(gè)開關(guān)都向上扳或向下扳時(shí),燈才亮,而一個(gè)向上扳,一個(gè)向下扳時(shí),燈就不亮。圖5.2.4邏輯電路舉例上述電路的邏輯關(guān)系可用邏輯函數(shù)來(lái)描述。設(shè)F表示燈的狀態(tài),即F=1表示燈亮,F=0表示燈不亮,用A和B表示開關(guān)A和開關(guān)B的位置,用1表示開關(guān)向上扳,用0表示開關(guān)向下扳,則F與A、B的關(guān)系可用真值表(見表5.2.2)來(lái)表示。由真值表可知,在A、B狀態(tài)的四種不同組合中,只有第一(A=B=0)和第四(A=B=1)兩種組合才能使燈亮(F=1),故可寫出燈亮的邏輯函數(shù):

上式描述了只有開關(guān)A、B都扳上或扳下時(shí)燈才亮,這就是同或邏輯運(yùn)算。上述分析過程即為由邏輯問題建立邏輯函數(shù)的過程。5.3邏輯代數(shù)的基本定律5.3.1邏輯代數(shù)定律根據(jù)邏輯與、或、非三種基本運(yùn)算法則,可推導(dǎo)出邏輯運(yùn)算的一些基本定律,如表5.3.1所示。這些基本公式的正確性都可以用真值表證明。下面僅證明吸收律和摩根定律。

1.吸收律的證明吸收律(Ⅰ):A+AB=A。

【證明】

A+AB=A(1+B)=A·1=A吸收律(Ⅱ):

【證明】

2.反演律(摩根定律)的證明二變量的摩根定律為。

【證明】設(shè),則利用吸收率利用分配率由于X+Y=1,而XY=0,根據(jù)互補(bǔ)律知X與Y必定互補(bǔ),

即,故,定律得到了證明。摩根定律解決了函數(shù)求反和邏輯函數(shù)變換問題,是邏輯函數(shù)中十分重要的定律。應(yīng)該指出,在邏輯函數(shù)運(yùn)算中,不能使用普通代數(shù)中的移項(xiàng)規(guī)則。例如:絕不能寫成也絕不能寫成;同樣,在邏輯函數(shù)的運(yùn)算中也不能使用倍乘和乘方規(guī)則。例如:A+A=A不能寫成A+A=2A,A·A=A不能寫成A·A=A2。在邏輯函數(shù)運(yùn)算中,運(yùn)算的先后次序是:括號(hào)→非→與(乘)→或(加)。也就是說(shuō),如果邏輯表達(dá)式中有括號(hào),則必須對(duì)括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式先進(jìn)行運(yùn)算,然后依次進(jìn)行非、與、或運(yùn)算。5.3.2邏輯代數(shù)中的三個(gè)重要規(guī)則在邏輯代數(shù)運(yùn)算中有三個(gè)重要規(guī)則,它們是:代入規(guī)則、反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則。利用這些規(guī)則可以擴(kuò)充上述基本定律的使用范圍。

1.代入規(guī)則在邏輯等式的兩邊,用同一個(gè)邏輯函數(shù)來(lái)置換某一個(gè)邏輯變量,等式仍然成立,這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。例如:吸收律,若將等式兩邊的變量B用邏輯函數(shù)CD來(lái)置換,則等式仍然成立,即

2.反演規(guī)則由原函數(shù)求反函數(shù)的過程稱為反演。由摩根定律可以推導(dǎo)出,只要將原函數(shù)F按如下規(guī)則進(jìn)行變換:

(1)將原函數(shù)F中所有單個(gè)變量用它的反變量代替;

(2)將“與”和“或”運(yùn)算互換;

(3)將常數(shù)“1”和“0”互換。就可得到原函數(shù)F的反函數(shù),這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則。

【例5.3.1】試用摩根定律和反演規(guī)則求函數(shù)的反函數(shù)。

解:

(1)用摩根定律求解:(2)用反演規(guī)則求解:兩種方法求解的結(jié)果完全一致,證明了反演規(guī)則的正確性。實(shí)際上,用反演規(guī)則求反函數(shù)更為簡(jiǎn)便。若原函數(shù)中有多層“非”號(hào),或長(zhǎng)非號(hào),則用反演規(guī)則求此種函數(shù)的反函數(shù)時(shí),除單個(gè)變量變反外,長(zhǎng)非號(hào)保留不變。

【例5.3.2】用摩根定律和反演規(guī)則求函數(shù)的反函數(shù)。解:

(2)用反演規(guī)則求解。原函數(shù)則若將此式再進(jìn)一步化簡(jiǎn),則可得:兩種方法的求解結(jié)果也完全一致。應(yīng)該指出,運(yùn)用反演規(guī)則時(shí),必須注意運(yùn)算符號(hào)的先后順序,即先括號(hào),后乘,然后加。必須正確運(yùn)用括號(hào)來(lái)表示運(yùn)算順序,否則就會(huì)出錯(cuò)。

3.對(duì)偶規(guī)則由已知邏輯函數(shù)式求其對(duì)偶式的規(guī)則如下:

(1)將邏輯函數(shù)式中所有“與”運(yùn)算和“或”運(yùn)算互換;

(2)將邏輯函數(shù)式中的常數(shù)“1”和“0”互換。由對(duì)偶規(guī)則可得到一個(gè)新的邏輯函數(shù)式F′。F′稱為原函數(shù)式F的對(duì)偶式,或者說(shuō)F和F′互為對(duì)偶式。例如:

(1)若函數(shù)式則對(duì)偶式

(2)若函數(shù)式則對(duì)偶式

(3)若函數(shù)式則對(duì)偶式若兩個(gè)邏輯式相等,則它們的對(duì)偶式必然相等,這就是對(duì)偶定理。例如:A+BC=(A+B)(A+C)

則等式兩邊邏輯式的對(duì)偶式分別為A·(B+C)和AB+AC。根據(jù)分配律可知,這兩個(gè)對(duì)偶式是相等的,即A(B+C)=AB+AC。最后還應(yīng)指出,用對(duì)偶規(guī)則求邏輯函數(shù)的對(duì)偶式時(shí),要注意:

(1)遵守運(yùn)算符號(hào)的先后順序;

(2)正確運(yùn)用括號(hào)來(lái)表示運(yùn)算順序;

(3)原式中的長(zhǎng)、短非號(hào)一律保持不變。否則,將導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。5.4邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)在邏輯設(shè)計(jì)中,從某一邏輯問題歸納出來(lái)的邏輯函數(shù)往往不是最簡(jiǎn)的邏輯表達(dá)式,必須進(jìn)行化簡(jiǎn),使設(shè)計(jì)出來(lái)的邏輯電路既經(jīng)濟(jì)又可靠。邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)具有十分重要的意義。邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)一般遵循的原則如下:

(1)使設(shè)計(jì)邏輯電路所需的門數(shù)最少。

(2)在滿足第一條原則的條件下,使各門的輸入端數(shù)最少。(3)為了提高電路的工作速度,邏輯電路的級(jí)數(shù)應(yīng)最少。(4)邏輯電路應(yīng)能可靠地工作。邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)就是靈活運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和常用公式,將邏輯函數(shù)簡(jiǎn)化。公式化簡(jiǎn)的技巧性很強(qiáng),化簡(jiǎn)的方法往往也不是唯一的,能否化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)的邏輯表達(dá)式,往往取決于掌握和運(yùn)用基本定律的熟練程度。根據(jù)目前集成器件的產(chǎn)品情況,除了三種基本邏輯外,與非、或非電路已經(jīng)成為構(gòu)成邏輯電路的常用器件。下面我們將主要介紹化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的方法,然后再介紹將與或表達(dá)式轉(zhuǎn)換成與非－與非表達(dá)式的方法。5.4.1合并項(xiàng)法合并項(xiàng)法是指利用公式,將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng),消去一個(gè)變量。

【例5.4.1】化簡(jiǎn)解：

【例5.4.2】化簡(jiǎn)解:

【例5.4.3】化簡(jiǎn)解：5.4.2吸收法吸收法是指利用公式A+AB=A,C去掉多余項(xiàng)。

【例5.4.4】化簡(jiǎn)

解：

【例5.4.5】化簡(jiǎn)

解:

【例5.4.6】

化簡(jiǎn)

解:

【例5.4.7】化簡(jiǎn)

解:5.4.3消去法消去法是指利用公式消去多余因子。

【例5.4.8】化簡(jiǎn)

解:

【例5.4.9】化簡(jiǎn)

解:5.4.4化簡(jiǎn)成與非-與非形式一個(gè)邏輯表達(dá)式要化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)與非-與非形式,通常是先將該表達(dá)式化簡(jiǎn)成與或表達(dá)式,然后用“二次求反”和摩根定律將其轉(zhuǎn)換成為與非-與非形式。

【例5.4.10】

將化簡(jiǎn),并轉(zhuǎn)換成與非－與非表達(dá)式,畫出邏輯電路圖。解：二次求反,再用摩根定律得:邏輯電路見圖5.4.1。圖5.4.1例5.4.10的邏輯電路圖5.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)5.5.1邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式

1.最小項(xiàng)定義在邏輯函數(shù)中,如果某一乘積項(xiàng)(與項(xiàng))包含了函數(shù)的全部變量因子,而且每個(gè)變量以原變量或反變量的形式只出現(xiàn)一次,則稱該乘積項(xiàng)為最小項(xiàng)。例如,是一個(gè)具有變量A、B、C的三變量函數(shù),其中乘積項(xiàng)是最小項(xiàng),其它各項(xiàng)都不是最小項(xiàng)。

2.最小項(xiàng)編號(hào)

為了表達(dá)方便,對(duì)最小項(xiàng)進(jìn)行編號(hào),對(duì)于n個(gè)變量的邏輯函數(shù)而言,共有2n個(gè)最小項(xiàng)。例如,二變量A、B的邏輯函數(shù)共有22=4個(gè)最小項(xiàng),即、、和AB。三變量A、B、C的邏輯函數(shù)共有8個(gè)最小項(xiàng),即、、、、、、和ABC。變量數(shù)越多,最小項(xiàng)的書寫越復(fù)雜。為了便于書寫,將最小項(xiàng)編號(hào),記做mi,并使i和變量取值組合相對(duì)應(yīng)。據(jù)此根據(jù)mi就可以聯(lián)想到它的最小項(xiàng)表達(dá)式。表5.5.1是三變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及其相應(yīng)編號(hào)。表中,當(dāng)變量取值為0時(shí),最小項(xiàng)中以反變量形式出現(xiàn);當(dāng)變量取值為1時(shí),在最小項(xiàng)中以原變量形式出現(xiàn)。把變量取值的0、1組合看做是一個(gè)二進(jìn)制數(shù),與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是這個(gè)最小項(xiàng)編號(hào)i。例如,表中變量取值是100,對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)是4,則最小項(xiàng)記做m4。根據(jù)這一規(guī)則,知道了最小項(xiàng)編號(hào)就可以寫出最小項(xiàng)的表達(dá)式。值得注意的是,變量A、B、C的位置對(duì)應(yīng)于二進(jìn)制數(shù)的權(quán)值,故A、B、C的排列次序不可顛倒,今后我們約定A總是處于最高位,B是次高位,其余類推。例如三變量的

,而四變量的m6=。

3.函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式是函數(shù)的與或表達(dá)式中每一項(xiàng)乘積項(xiàng)(與項(xiàng))均是最小項(xiàng),這樣的表達(dá)式稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。【例5.5.1】求F=A+BC的最小項(xiàng)表達(dá)式。

解:利用公式將函數(shù)式中非最小項(xiàng)進(jìn)行配項(xiàng)、展開、合并。例5.5.1是求一般的與或表達(dá)式的最小項(xiàng)表達(dá)式,其基本方法是將某一乘積項(xiàng)乘以所缺變量,使每一與項(xiàng)包含所有的變量,然后展開,合并相同的最小項(xiàng)即可。對(duì)于一般函數(shù)的表達(dá)形式,則先將其化成與－或表達(dá)式后再依據(jù)上述方法進(jìn)行。5.5.2邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

1.卡諾圖

n個(gè)變量的邏輯函數(shù)具有2n個(gè)最小項(xiàng),其卡諾圖是具有2n個(gè)小方格的方塊圖,每個(gè)小方格對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)。二變量的邏輯函數(shù)有4個(gè)小方格,三變量的邏輯函數(shù)有8個(gè)小方格,四變量的邏輯函數(shù)有16個(gè)小方格,它們的卡諾圖如圖5.5.1所示。圖5.5.1不同變量的卡諾圖畫卡諾圖的規(guī)定如下:

(1)每個(gè)小方格對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng),其編號(hào)是行變量為高位組,列變量為低位組。例如圖5.5.1(c)中第二行、第二列的那個(gè)小格,行變量AB取值是01,列變量CD取值是01,合起來(lái)ABCD的取值是0101,對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)是5,因此該小格對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)是,其編號(hào)是m5。

(2)行、列變量的取值順序按相鄰性原則,即按00、01、11、10的規(guī)律。這樣安排使得幾何相鄰的小方格無(wú)論從水平或垂直方向來(lái)看,變量取值只有一個(gè)是互補(bǔ)的,而其他變量的取值是相同的。例如圖5.5.1(b)中的m5和m7兩個(gè)小方格,其A變量取值相同,均為1,C變量的取值也相同,也為1,B變量是m5為0,m7為1,所以B變量的取值是互補(bǔ)的。我們?cè)倏磮D5.5.1(b)中的m0和m2,它們?cè)趲缀紊峡春孟癫幌噜?但也符合相鄰性原則,即只有變量B的取值是互補(bǔ)的,而變量A和變量C的取值都相同,因而m0和m2兩個(gè)小方格也是相鄰的,稱為邏輯相鄰?？ㄖZ圖按相鄰性原則排列給邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)帶來(lái)了方便。

2.邏輯函數(shù)的卡諾圖在卡諾圖中,將構(gòu)成邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)的值1填入相應(yīng)的小方格中,未在邏輯函數(shù)中出現(xiàn)的最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的小方格填寫0,這樣就得到了邏輯函數(shù)的卡諾圖。

1)由邏輯函數(shù)真值表填卡諾圖

【例5.5.2】已知邏輯函數(shù)F1的真值表見表5.5.2,畫出F1的卡諾圖。

解:先畫出三變量的卡諾圖,然后將真值表5.5.2中F1的值填入相應(yīng)的小格中,就得到了F1的卡諾圖,見圖5.5.2。圖5.5.2

F1的卡諾圖

2)由邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式畫卡諾圖

【例5.5.3】已知畫F2的卡諾圖。

解:邏輯函數(shù)F2是三變量的最小項(xiàng)表達(dá)式,先畫出三變量卡諾圖,然后將函數(shù)F2中每個(gè)最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的小格填1,其他小格填0,即可得F2的卡諾圖,見圖5.5.3。圖5.5.3

F2的卡諾圖

3)由邏輯函數(shù)一般表達(dá)式畫卡諾圖由邏輯函數(shù)一般表達(dá)式畫卡諾圖是指先將一般表達(dá)式轉(zhuǎn)換成與－或表達(dá)式,再展開成最小項(xiàng)表達(dá)式,然后畫卡諾圖。

【例5.5.4】

畫函數(shù)的卡諾圖。

解:先將F3用公式法轉(zhuǎn)化成與－或表達(dá)式,即再將F3化成最小項(xiàng)表達(dá)式:最后畫四變量卡諾圖,將函數(shù)F3中的最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的方格填1,其余方格填0,即可得F3的卡諾圖,見圖5.5.4。5.5.3用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

1.最小項(xiàng)合并規(guī)律卡諾圖的主要特征是“邏輯相鄰”,在卡諾圖中凡是邏輯相鄰的小方格,其變量取值只有一個(gè)是互補(bǔ)的,依據(jù)邏輯代數(shù)公式知,兩個(gè)變量中只有一個(gè)變量互補(bǔ),其余變量相同的乘積可以合并成一項(xiàng),消去互補(bǔ)的變量。因而在函數(shù)卡諾圖中兩個(gè)相鄰小格都為1,這表明它們對(duì)應(yīng)的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并,消去互補(bǔ)變量。

(1)相鄰的兩個(gè)小方格為“1”,合并為二格組,合并后消去一個(gè)互補(bǔ)變量,見圖5.5.5。圖5.5.5(a)中兩個(gè)垂直的小方格為1,最小項(xiàng)是和,合并后為,消去互補(bǔ)變量B。圖5.5.5二格組合并

(2)相鄰的四個(gè)小方格為1,合并后可以消去兩個(gè)互補(bǔ)的變量,如圖5.5.6所示。圖5.5.6(a)中m4、m5、m6、m7為1,圈成四格組,合并后得函數(shù),消去了變量C和D。圖5.5.6(e)中四個(gè)角上的小格為1,對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)是、、和,可以合并為四格組,消去變量A、C,得函數(shù)圖5.5.6四格組合并

(3)相鄰兩行或兩列的八個(gè)小格為1,可以合并成一個(gè)八格組,合并后消去三個(gè)互補(bǔ)的變量,見圖5.5.7。圖5.5.7(a)中,m0、m1、m2、m3、m8、m9、m10、m11八個(gè)小格均為1,其中變量B取值不變,變量A、C和D取值互補(bǔ),因此,這八個(gè)小格可以合并,消去變量A、C和D,得函數(shù)。圖5.5.7八格組合并在卡諾圖上合并方格組應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

(1)方格組必須是2n格,即1、2、4、8、16個(gè)邏輯相鄰的小方格為1,才可以合并在一起。

(2)為了消去更多的變量,圈格數(shù)越大越好,消去的變量數(shù)越多,得到的函數(shù)就越簡(jiǎn)化。

(3)圈1時(shí)必須是邏輯相鄰的小方格,而且允許每個(gè)1格被重復(fù)圈,但每個(gè)圈內(nèi)必須有一個(gè)方格是未被其他圈圈過的。例如,圖5.5.8(a)可以重復(fù)圈,圖(b)中間虛線圈內(nèi)四個(gè)小格均被其他圈圈過,不必再重復(fù)圈。圖5.5.8重復(fù)圈

2.化簡(jiǎn)實(shí)例

【例5.5.5】用卡諾圖化簡(jiǎn)F=∑m(2,4,5,12,13,14,15)。

解:

(1)畫出F的卡諾圖,如圖5.5.9所示。圖5.5.9例5.5.5卡諾圖

2)合并相鄰的最小項(xiàng)。由圖5.5.9看出，m4、m5、m12和m13可以圈成四格組,合并得;m12、m13、m14和m15也是四格組,合并得AB;m2無(wú)相鄰項(xiàng),不能消去任何變量,得。將上述合并后所得的三個(gè)乘積項(xiàng)相或就得到函數(shù)F的最簡(jiǎn)與－或表達(dá)式

【例5.5.6】用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù):

解:

(1)畫出F的卡諾圖,如圖5.5.10所示。圖5.5.10例5.5.6卡諾圖

(2)合并最小項(xiàng)。

m0、m2、m8和m10四個(gè)方格為四格組,合并后得

;m8、m9、m10

和m11四個(gè)方格也是四格組,合并后得

;m11和m15是二格組,合并后得ACD;m5是單獨(dú)格,其最小項(xiàng)為。

(3)將合并后各乘積項(xiàng)相或即得F的最簡(jiǎn)與－或表達(dá)式:

3.邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)中任意項(xiàng)的使用

1)任意項(xiàng)的含義在有些實(shí)際問題中,某些變量取值的組合是不可能出現(xiàn)的。例如,在數(shù)字系統(tǒng)中,用A、B、C三個(gè)變量代表加、左移和右移三種操作,在同一時(shí)刻,系統(tǒng)只能進(jìn)行一種操作或不進(jìn)行任何操作,但絕不可能同時(shí)進(jìn)行兩種以上的操作,所以變量A、B、C的取值組合只能是001、010、100和000,而其他的組合011、110、101、111是不會(huì)出現(xiàn)的。也就是說(shuō),變量A、B、C之間存在互相制約關(guān)系,用邏輯表達(dá)式表示這一約束關(guān)系,則有。此式稱為約束條件,表明這些最小項(xiàng)在實(shí)際情況中是不可能出現(xiàn)的。這些不可能出現(xiàn)的最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng),在邏輯函數(shù)中加上一些任意項(xiàng),對(duì)邏輯函數(shù)的真值并無(wú)影響,相反,可以使邏輯函數(shù)表達(dá)式更為簡(jiǎn)化。

2)任意項(xiàng)的使用任意項(xiàng)在邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)過程中是很有用的。由于它的取值可以是“1”,也可以是“0”,因此,可視對(duì)函數(shù)的化簡(jiǎn)