《多元函數(shù)一致可導與一致可微分析》1400字

PAGEPAGE31多元函數(shù)一致可導與一致可微分析1一致可導的定義與性質(zhì)定義1.1（二元函數(shù)一致可導）函數(shù)在給定平面區(qū)域上關于一致可導是指，假設二元函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)有偏導數(shù)，對以及內(nèi)任何兩點，，存在，當時，有.同理可得出函數(shù)在給定平面區(qū)域上關于一致可導的定義.注1.1該定義中的僅與任意給出的有關，與平面區(qū)域內(nèi)的點無關.定義1.2設在區(qū)域關于與均一致可導，則稱在一致可導.例1.1在一致可導.事實上，，由于,于是，，取，對于任意兩點及，當時，（3-1）式成立.由定義可知，在關于一致可導.同理可得，在關于一致可導，從而在一致可導.定理1.1設在區(qū)域關于存在偏導數(shù)，則以下三個條件等價：1）在關于一致可導；2），對于內(nèi)的任意點及，當，時，有；3）在關于一致連續(xù).證明1）2）設及是內(nèi)的任意點，由1）知，，當,時，有，，于是，對上述，當,時，有，所以，2）式成立.2）1），對內(nèi)的任意點及，當，時，2）式成立.在2）式中令，則，即在關于一致可導.1）3）由1）及2），，對于內(nèi)的任意點及，當,時，有,,，從而，所以在關于一致連續(xù).3）1）由于在關于一致連續(xù)，故，，，當時，有，從而，即在關于一致可導.推論1.1設在區(qū)域關于存在偏導數(shù).，則以下三個條件等價：1）在關于一致可導；2）對，對于內(nèi)的任意點及，當，時，有；3）在關于一致連續(xù).推論1.2若在區(qū)域關于存在偏導數(shù).，且滿足，其中是正常數(shù)，則在關于一致可導.定理1.2（一致可導的必要條件）若在區(qū)域一致可導，則，在連續(xù).證明因為在一致可導，由定理2.2.1知，,在分別關于和一致連續(xù)，從而,在連續(xù).2一致可微的定義與性質(zhì)[12-14]定義2.1設在區(qū)域兩個偏導數(shù)存在，若對,，，當時，有，（3-2）則稱在一致可微.記.顯然，由定義2.1可知，若在一致可微，則在可微且連續(xù).定理2.1（一致可微的充分條件）若在區(qū)域一致可導，且（或）在一致連續(xù)，則在一致可微.證明由在一致連續(xù)知，對,，當時，有.由于在關于一致可導，對上述，對，當時，有.對上述，取，對，當,時，利用一元函數(shù)微分中值定理，可得,所以在一致可微.推論2.1若,均在區(qū)域一致連續(xù)，則在一致可微.證明因為,均在一致連續(xù)，所以與在一定分別關于和一致連續(xù)，于是在一致可導，從而在一致可微.定理2.2（一致可微的必要條件）若在區(qū)域一致可微，則在一致可導，且,在連續(xù).證明由假設，對，對中的任意兩點及，當時，有.在上式中分別令及可得，，即在一致可導，從而,在連續(xù).下面給出二元函數(shù)一致可微的充要條件.定理2.3在區(qū)域一致可微的充要條件是：.（3-3）證明必要性由定義，對，對內(nèi)的任意點及，當時，有.于是，當時，有，所以（3-3）式成立.充分性設（3-3）式成立，則,當時，有，從而，對且時，有.由定義2.1可知，在一致可微.定理2.4在區(qū)域一致可微的充要條件是：對，且時，有.（3-4）證明必要性由定義知，，當且時，有，故當且時，有.充分性由條件及二元函數(shù)極限的Cauchy準則知，當時，二重極限存在.又累次極限，故.在（3-4）式中令可得，，即在區(qū)域一致可微.定理2.5在區(qū)域一致可微的充要條件是對滿足條件的任意點列：,且有，函數(shù)列在一致收斂于，即,,，有.證明必要性由定義，，對，當時，有.于是，對于滿足定理條件的點列，必存在，當時，有，從而當時，有.充分性設若不然，在非一致可微，則,對，，存在，，當時，有.由及在一致收斂于，于是，當和,有.產(chǎn)生矛盾.例2.1證明在任意有界區(qū)域一致可微，但在非一致可微.證明由于在任意有界區(qū)