【全國1卷】2025屆浙江省高三上冊新高考研究卷數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

【全國1卷】2025屆浙江省高三上學(xué)期新高考研究卷數(shù)學(xué)模擬試題第I卷（選擇題共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，，則的元素個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)2.已知z為復(fù)數(shù)，則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.2π4.若，，，則（）A. B. C. D.5.已知向量，滿足，，則與的夾角為（）A. B. C. D.6.數(shù)列滿足，則下列，的值能使數(shù)列為周期數(shù)列的是（）A.， B.， C.， D.，7.將100名學(xué)生隨機分為10個小組，每組10名學(xué)生，則學(xué)生甲乙在同一組的概率為（）A. B. C. D.8設(shè)，，，則（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（）A.函數(shù)可能沒有零點 B.函數(shù)可能有一個零點C.函數(shù)一定是中心對稱圖形 D.函數(shù)可能是軸對稱圖形10.已知點M是拋物線與圓的交點，點F為拋物線C的焦點，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小值為2B.圓E與拋物線C至少有兩條公切線C.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則軸D.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線交于P，Q兩點，且，則11.設(shè)點P為正方體的上底面上一點，下列說法正確的有（）A.存在點P，使得與平面所成角B.存在點P，使得點A，分別到平面的距離之和等于C.存在點P，使得點A，分別到平面的距離之和等于D.存在點P，使得與平面所成角為第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)在處取得最大值，則__________.13.已知：當(dāng)無窮大時，的值為，記為.運用上述結(jié)論，可得______.14.表示不超過x的最大整數(shù)，設(shè)，，則__________；__________（用M，N表示）.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在一次聯(lián)考中，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，甲乙兩個學(xué)?？忌藬?shù)都為1000人，數(shù)學(xué)均分都為94，標(biāo)準(zhǔn)差都為12，并且根據(jù)統(tǒng)計密度曲線發(fā)現(xiàn)，甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，乙學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布.（1）甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)，準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行訪問，學(xué)生小A考分為68分，求他被抽到的概率大約為多少；（2）根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人，得分不高于58分的有1人，試說明乙學(xué)校教學(xué)的特點；參考數(shù)據(jù)：若，則，，.16.設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線于A，B兩點，且.（1）求的長（用a，b表示）；（2）若雙曲線的離心率，求證.17.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若恒成立，求證：m的最大值與最小值之差大于.18.在四棱錐中，，，底面，點O在上，且.（1）求證：；（2）若，，點在上，平面，求值；（3）若，二面角正切值為，求二面角的余弦值.19.在數(shù)列中，，，對滿足的任意正整數(shù)m，n，p，q，都有成立.（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求a，b滿足的條件；（2）若，，設(shè).①求數(shù)列的通項公式；②求證：【全國1卷】2025屆浙江省高三上學(xué)期新高考研究卷數(shù)學(xué)模擬試題第I卷（選擇題共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，，則的元素個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)【正確答案】C【分析】根據(jù)集合的元素類型，列方程組求解集即可得元素個數(shù).【詳解】因為集合，，則聯(lián)立，解得或，故，集合中有2個元素.故選：C.2.已知z為復(fù)數(shù)，則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的模及充要條件的定義即可判斷.【詳解】設(shè)，則，所以，又，所以，所以是充要條件.故選.3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.2π【正確答案】B【分析】先將解析式降冪，轉(zhuǎn)化為含有一個三角函數(shù)的解析式，即可求得結(jié)果.【詳解】，則周期，故選：B.4.若，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用條件概率公式和并事件概率性質(zhì)求解即可．【詳解】由，，可知，，又，所以，所以.故選：D5.已知向量，滿足，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】掌握平面向量的數(shù)量積.【詳解】,,,又,即,,,.故選：A.6.數(shù)列滿足，則下列，的值能使數(shù)列為周期數(shù)列的是（）A.， B.， C.， D.，【正確答案】B【分析】由數(shù)列的周期性定義，逐項代入驗證即可；【詳解】對于A，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，無周期性，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，所以數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，故B正確；對于C，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，無周期性，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，無周期性，故D錯誤；故選：B.7.將100名學(xué)生隨機分為10個小組，每組10名學(xué)生，則學(xué)生甲乙在同一組的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用古典概型的概率公式和平均分組分配的求解方法解決.【詳解】將名學(xué)生隨機分成個小組的分法有種分法，其中甲乙在同一組的分法有種分法，所以學(xué)生甲乙在同一組的概率為，故選：.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】取對數(shù)并作差，得到，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出，又lg11∈1,2,11lg11>5，比較出，又，作商法得到lnblnc=6511?【詳解】由得，故，同理得，故，又，令，，則，故在上單調(diào)遞減，且，故，即，故，則，而lg11∈1,2,故，，所以，其中，，故lnb經(jīng)過計算，6511>所以，綜上，.故選：D比大小，經(jīng)常用到一些放縮技巧，比如以下不等式要熟記，可以達(dá)到事半功倍的效果，，，，，等二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（）A.函數(shù)可能沒有零點 B.函數(shù)可能有一個零點C.函數(shù)一定是中心對稱圖形 D.函數(shù)可能是軸對稱圖形【正確答案】BC【分析】根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于AB，函數(shù)是一個三次函數(shù)，其值域為，所以函數(shù)至少有一個零點，故A錯誤，B正確；對于C，，則為定值，所以函數(shù)的圖象一定是中心對稱圖形，故C正確；對于D，三次函數(shù)不可能時軸對稱圖形，故D錯誤.故選：BC.10.已知點M是拋物線與圓的交點，點F為拋物線C的焦點，則下列結(jié)論正確的有（）A.的最小值為2B.圓E與拋物線C至少有兩條公切線C.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則軸D.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線交于P，Q兩點，且，則【正確答案】ACD【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合拋物線與圓的位置關(guān)系以及拋物線的性質(zhì)，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】聯(lián)立方程組，消去可得，解得，因為，，所以，于是，則的最小值為2，故A正確；此時圓與拋物線只有一條公切線為軸，故B錯誤；若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則，即，到準(zhǔn)線的距離為4，所以軸，故C正確；由可得，則為等邊三角形，又焦點到準(zhǔn)線的距離為4，則，故D正確；故選：ACD11.設(shè)點P為正方體的上底面上一點，下列說法正確的有（）A.存在點P，使得與平面所成角為B.存在點P，使得點A，分別到平面的距離之和等于C.存在點P，使得點A，分別到平面的距離之和等于D.存在點P，使得與平面所成角為【正確答案】ABC【分析】首先要明確正方體的性質(zhì)以及線面角、點到平面距離的概念.對于線面角，如果直線垂直于平面，那么線面角為.對于點到平面的距離，可以通過等體積法等方法來求解.接下來通過對每個選項的分析來判斷其正確性.【詳解】對于A選項，因為正方體中，平面，當(dāng)與重合時，平面就是平面.此時平面，則與平面所成角為，所以A選項正確.對于B選項，設(shè)正方體棱長為，，.由于，設(shè)，到平面的距離分別為，，為的面積.根據(jù)三棱錐體積公式（為底面積，為高），可得.當(dāng)為時，，所以B選項正確.對于C選項，當(dāng)為時,，到平面的距離之和最小，到平面距離為0,到平面距離為到平面的距離,等于，所以C選項正確.對于D選項，當(dāng)為時,與平面所成角最小，,則.所以D選項錯誤.故選：ABC.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)在處取得最大值，則__________.【正確答案】【分析】根據(jù)輔助角公式化簡函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求其最大值，并確定取最大值時自變量的值，由此可求.【詳解】因為，設(shè)，，則，，當(dāng)，時，即當(dāng)，函數(shù)取最大值，最大值為，所以，所以.故答案為.13.已知：當(dāng)無窮大時，的值為，記為.運用上述結(jié)論，可得______.【正確答案】.【分析】利用換元法和對數(shù)運算性質(zhì)將所求式子化簡為的結(jié)構(gòu)，即可求得.【詳解】令，則，，則，因為，則.故答案為.14.表示不超過x最大整數(shù)，設(shè)，，則__________；__________（用M，N表示）.【正確答案】①.②.【分析】結(jié)合近似計算以及x的含義即可求得第一空答案；利用二項式展開式，結(jié)合第一空的近似計算，即可求得第二空答案.【詳解】因為，故；又為正整數(shù)，所以，而，故，故；關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用二項式展開式得出為正整數(shù)，從而解決問題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在一次聯(lián)考中，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，甲乙兩個學(xué)校的考生人數(shù)都為1000人，數(shù)學(xué)均分都為94，標(biāo)準(zhǔn)差都為12，并且根據(jù)統(tǒng)計密度曲線發(fā)現(xiàn)，甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，乙學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布.（1）甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)，準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行訪問，學(xué)生小A考分為68分，求他被抽到的概率大約為多少；（2）根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人，得分不高于58分的有1人，試說明乙學(xué)校教學(xué)的特點；參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【正確答案】（1）（2）乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少.【分析】（1）由正太分布確定70分及以下的學(xué)生人數(shù)，再由古典概率模型即可求解；（2）由正太分布確定甲校130以上及58分以下人數(shù)，對比乙校數(shù)據(jù)即可判斷.【小問1詳解】由題意可知甲校學(xué)生數(shù)學(xué)得分，由，可得，則，所以分?jǐn)?shù)在70分及以下的學(xué)生有，所以學(xué)生小A被抽到概率【小問2詳解】由，可得：所以甲校不低于130分的概率為，得分不高于58分的概率為，所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人，故乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少.16.設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線于A，B兩點，且.（1）求的長（用a，b表示）；（2）若雙曲線的離心率，求證.【正確答案】（1）（2）證明過程見解析【分析】（1）兩點都在雙曲線右支上，設(shè)，結(jié)合雙曲線定義表達(dá)出其他邊長，利用和余弦定理得到方程，求出，得到；（2）在中，由正弦定理得到，結(jié)合（1）中和，得到，在求出，為銳角，故.【小問1詳解】，故兩點都在雙曲線右支上，設(shè)，則，由雙曲線定義知，，因為，所以，由余弦定理得，化簡得，所以；【小問2詳解】在中，由正弦定理得，所以，由（1）知，，故，又，故，且，所以，所以為銳角，故.17.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若恒成立，求證：m的最大值與最小值之差大于.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后代入點斜式直線方程化簡即可；（2）令，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，然后求得，進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求出的m范圍，即可證明.【小問1詳解】由題意，所以切線斜率，又，所以函數(shù)在處的切線方程為，即；【小問2詳解】令，則，所以恒成立等價于恒成立，，當(dāng)，則在0,+∞上單調(diào)遞增，而，不符合題意.當(dāng)，由得，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，令，則?1=0，又由得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，而，，所以，所以m的最大值與最小值之差大于.18.在四棱錐中，，，底面，點O在上，且.（1）求證：；（2）若，，點在上，平面，求的值；（3）若，二面角的正切值為，求二面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）先證明，結(jié)合直角三角形性質(zhì)證明，由此證明，再根據(jù)勾股定理證明結(jié)論；（2）連接交于點，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理證明，求，根據(jù)平行線性質(zhì)求結(jié)論；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.【小問1詳解】連接，因為底面，平面，所以，即，又，，所以，所以，故又，所以，，又，所以，因為底面，平面，所以，又，所以；【小問2詳解】連接交于點，連，因平面，平面平面，平面，所以，故，因為，，所以，故四邊形是圓內(nèi)接四邊形，又，所以，因，，點為的中點，所以，，故，設(shè)，則，，