第07講-向量法求距離、探索性及折疊問題(精講)(解析版)

第07講向量法求距離、探索性及折疊問題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高頻考點一遍過 2高頻考點一：利用空間向量求點到直線的距離 2高頻考點二：利用空間向量求點到平面的距離 11高頻考點三：立體幾何中的折疊問題 25高頻考點四：立體幾何綜合問題 41溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背知識點一：點到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：知識點二：點到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：利用空間向量求點到直線的距離典型例題例題1．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體中，點為棱的中點，則點到直線的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，點到直線BE的距離為.故選：C.例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是______．【答案】/【詳解】因為平面，底面為正方形，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點、、，，，，所以，，所以，的中點到直線的距離.故答案為：.例題3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長為2，，平面，異面直線與所成的角為60°，若為線段的中點，則點到直線的距離為______．【答案】/1.5【詳解】連接．以為坐標(biāo)原點，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，為異面直線與所成角，即.在菱形中，，，，．設(shè)，則，．在中，由，，可得，，，，，，點到直線的距離為.故答案為：.例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知三棱柱的棱長均為2，，．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)為側(cè)棱上的點，若平面與平面夾角的余弦值為，求點到直線距離．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）取AC的中點O，連接，，，所以由題設(shè)可知，為邊長為2的等邊三角形，所以，由，，所以所以平面ABC；平面,所以平面平面ABC；（2）以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸，以所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以設(shè)可得，設(shè)平面的法向量為則即取所以因為為平面ABC的一個法向量，設(shè)平面與平面ABC夾角為，解得，所以所以點M到直線距離練透核心考點1．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點在線段上．(1)求證：；(2)若點到直線的距離為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1），，，故，則，即，又平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，則，又，，平面，所以平面，又平面，則.（2）設(shè)中點為，中點為，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：有，設(shè)，則，設(shè)，則，則，，，點到直線的距離為，則，即，即，解得，所以.2．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.(1)若平面平面，求證：；(2)若點是的中點，求點到直線的距離的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：在梯形中，因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，且平面，所以平面，因為平面，且平面平面，所以.（2）解：取中點，連接，因為是等邊三角形，可得以為原點，所在直線為軸，軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，所以，，，且，則點到直線的距離因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以點到直線的距離的取值范圍是.3．（2023秋·遼寧錦州·高二渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)?？计谀┤鐖D，平行六面體中，底面是菱形，且.(1)求與所成角的余弦值；(2)若空間有一點P滿足：，求點P到直線的距離.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，，所以，同理可得，，因為，所以，，所以，所以，，與所成角的余弦值是；（2）解：因為，，所以，在菱形中，，則為等邊三角形，所以，所以，則點到直線的距離.4．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長為4，，平面，異面直線與所成的角為60°，若為線段的中點，則點到直線的距離為______.【答案】3【詳解】連接．以為坐標(biāo)原點，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，是等邊三角形，點在直線上的射影在邊上（靠近的四等分點），由平面，平面，得，又，，平面，所以平面，而平面，所以，∴為銳角，，為異面直線與所成角，即.在菱形中，，，，．設(shè)，則，，，，，，，點到直線的距離為.故答案為：3.高頻考點二：利用空間向量求點到平面的距離典型例題例題1．（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知正方體的棱長為2，、分別為上底面和側(cè)面的中心，則點到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，得則點到平面的距離為.故選：A例題2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，則點到平面的距離等于_____.【答案】【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，即，取，又，所以點到面的距離，故答案為：.例題3．（2023春·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示的幾何體是一個半圓柱，點是半圓弧上一動點（點與點，不重合），為弧的中點，.

(1)證明：；(2)若平面與平面所成的銳二面角的平面角為，求此時點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接BP，在半圓柱中，因為平面，平面，所以，又因為BC是直徑，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以.（2）依題意可知，以線段BC的中點O為坐標(biāo)原點，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，連接OP，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，所以，則，令，則，所以，設(shè)為平面的一個法向量，則，，所以，令，則，所以，因為平面PCA與平面所成的銳二面角的平面角為，所以，令，則，平方化簡得，即，又由，可解得或（舍去），所以，所以平面PCA的一個法向量，且，所以點D到平面PCA的距離.例題4．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.

(1)證明：.(2)若是等腰直角三角形，，，點在棱AD上（與A，D不重合），若二面角的大小為，求點到面的距離.【答案】(1)證明見解析.(2)1.【詳解】（1）證明：因為，O為BD的中點，所以，又因為平面平面BCD，平面平面，平面ABD，所以平面BCD．又因為平面BCD，所以.（2）設(shè)BC的中點為F，則，又因為，所以.以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)F，OD，OA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因為是等腰直角三角形，，，所以，又因為，O為BD的中點，根據(jù)直角三角形性質(zhì)可得，，則，，，，，設(shè)，則.由題意可知是平面BCD的一個法向量，，設(shè)平面BCE的一個法向量為，，，則有，即，令，則，，則平面BCE的一個法向量為.根據(jù)二面角的大小為可得，，解得，即，又因為，所以點D到平面BCE的距離.例題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在幾何體中，菱形所在的平面與矩形所在的平面互相垂直．(1)若為線段上的一個動點，證明：∥平面(2)若，，直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)或．【詳解】（1）證明：由題知，四邊形為矩形，所以，又因為平面，平面，所以平面，同理可證平面，又因為，，平面所以平面平面，又因為為線段上的一個動點，所以平面，所以平面．（2）因為平面平面，平面平面，，平面所以平面．又因為底面為菱形，且，，所以為等邊三角形，且，設(shè)，取的中點為，連接，以為坐標(biāo)原點，以的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，，即．設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡可得，解得或設(shè)點到平面的距離為，當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則故點到平面的距離為或．練透核心考點1．（2023·云南昆明·昆明市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，已知是側(cè)棱長和底面邊長均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點.則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】取的中點，連接，因為為等邊三角形，為的中點，則，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，點到平面的距離為.故選：A.2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點，求證：直線平面；(2)若點在棱上且，求點C到平面的距離．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）連接，設(shè)，由題意可得為的中點，連接，因為分別為的中點，則//，平面，平面，所以直線平面.

（2）由題意可得：，，平面，所以平面，取的中點，連接，因為△ABC是正三角形，則，又因為平面，平面，則，，平面，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)原點，為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，所以點C到平面的距離.

3．（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，點、分別為棱、的中點，點是線段上的點（不包括兩個端點）.

(1)設(shè)平面與平面相交于直線，求證：；(2)是否存在一點，使得二面角的余弦值為，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由；(3)當(dāng)為線段的中點時，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)存在，且(3)【詳解】（1）證明：因為點、分別為棱、的中點，則，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以，，則，因為平面，平面，所以，平面，因為平面，平面平面，所以，，故.（2）解：在直三棱柱中，，且平面，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點、、，設(shè)點，其中，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，因為二面角的余弦值為，則，解得或3（舍），此時，，因此，在線段上存在一點，使得二面角的余弦值為，且.（3）解：當(dāng)為線段的中點時，即當(dāng)時，平面的一個法向量為，，所以，點到平面的距離為.4．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）斜三棱柱的各棱長都為，點在下底面的投影為的中點.

(1)在棱（含端點）上是否存在一點使？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)存在，(2)【詳解】（1）因為點在下底面的投影為的中點，故平面，連接，由題意為正三角形，故,以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，，設(shè)，可得，，假設(shè)在棱（含端點）上存在一點使，則，則；（2）由（1）知，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，又，則到平面的距離為，即點到平面距離為.5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：；(2)若點為棱上不與端點重合的動點，且與平面所成角正弦值為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面且平面，故，（2）∵中，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面,平面，∴.以為原點如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,，，，，，，設(shè)，其中，則，取平面法向量，，設(shè)與平面所成角為，，解得（舍）或，則，，，，設(shè)平面的法向量為.，，解得，故.高頻考點三：立體幾何中的折疊問題典型例題例題1．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？计谥校┮阎菪蜟EPD如下圖所示，其中，，為線段的中點，四邊形為正方形，現(xiàn)沿進(jìn)行折疊，使得平面平面ABCD，得到如圖所示的幾何體．已知當(dāng)點滿足時，平面平面，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，可構(gòu)建以A為原點，射線AB、AD、AP為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，∴，則，，若是面一個法向量，則，可得，若是面一個法向量，則，可得，∴由面面PCE，有，解得.故選：D例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知菱形的邊長為2，.將菱形沿對角線折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點，為三棱錐表面上動點，且總滿足，則點軌跡的長度為________.【答案】【詳解】連接AC、BD，交于點O，連接OB′，ABCD為菱形，∠ABC＝60°，所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC、△ACD、△AB′C均為正三角形，所以∠B′OD為二面角B'﹣AC﹣D的平面角，于是∠B′OD＝60°，又因為OB′＝OD，所以△B′OD為正三角形，所以B′D＝OB′＝OD＝，取OC中點P，取CD中點Q，連接EP、EQ、PQ，所以PQ∥OD、EP∥OB′，所以AC⊥EP、AC⊥PQ，所以AC⊥平面EPQ，所以在三棱錐B'﹣ACD表面上，滿足AC⊥EF的點F軌跡的△EPQ，因為EP＝OB′，PQ＝OD，EQ＝B′Q，所以△EPQ的周長為，所以點F軌跡的長度為．故答案為：例題3．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，為邊的中點，在邊上，且，沿將進(jìn)行折疊，使點運動到點的位置，如圖2，連接，，，，使得.

(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，因為為等腰直角三角形，且，所以，，在等邊中，，且.又因為，所以，即，因為且平面，所以平面.

（2）解法1：作，垂足為,因為，所以，解得，所以，在直角中，，可得，又因為，所以，設(shè)點到平面的距離為，由，可得，即，解得，即點到平面的距離為.

解法2、過A作，垂足為，由（1）知平面，因為平面，所以.又由，，所以平面OEF，所以的長度即點到平面的距離，在中，因為，，，所以，可得，由，即，解得，所以，即點到平面的距離為.

例題4．（2023·新疆阿克蘇·?？家荒＃┤鐖D甲所示的正方形中，，，，對角線分別交，于點，，將正方形沿，折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱．(1)若點在棱上，且，證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）證明：在圖乙中，過作，交于，連接，則，∴共面且平面交平面于，圖甲中，∵，，∴，又為正方形，，，由，有，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面．（2）由（1），，∴．由題圖知，，，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得，則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得，，平面與平面夾角的余弦值為．例題5．（2023·湖南長沙·長沙一中校考一模）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點，滿足，為的中點，現(xiàn)將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.（1）求證：平面平面；（2）能否在線段上找到一點（端點除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在點是線段的中點，使得直線與平面所成角的正弦值為.【詳解】（1）證明：在直角梯形中，，，因此為等邊三角形，從而，又，由余弦定理得：，∴，即，且折疊后與位置關(guān)系不變，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵為等邊三角形，為的中點，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，取的中點，連結(jié)，則，從而，以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，則，假設(shè)在上存在一點使直線與平面所成角的正弦值為，且，，∵，∴，故，∴，又，該平面的法向量為，，令得，∴，解得或（舍），綜上可知，存在點是線段的中點，使得直線與平面所成角的正弦值為.練透核心考點1．（2023春·福建南平·高一福建省政和第一中學(xué)?？计谥校┑妊苯侨切蜛BC斜邊上的高，以為折痕將與折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出以下結(jié)論：

①；②；折疊后的立體圖形中，BC與平面ABD所成夾角為60；折疊后連接各點可形成一個四面體，它的外接球半徑為．其中正確結(jié)論的序號是________．【答案】①②【詳解】①由題，平面ABD平面ACD，，因平面ABD平面ACD，BD平面ABD，則平面ACD，又AC平面ACD，則，故①正確；②由題可得，結(jié)合，，，則，又由①可得，則，即為等邊三角形，則，故②正確；由①可得，又，因平面ABD，則CD平面ABD，即為BC與平面ABD所成夾角，則，故錯誤；注意到，則折疊后連接各點形成的四面體的外接球與以為長寬高的正方體的外接球相同，則外接球半徑為，故錯誤.故答案為：①②2．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲壩中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1，直角梯形中，，，，為的中點，現(xiàn)將沿著折疊，使，得到如圖2所示的幾何體，其中為的中點，為上一點，與交于點，連接.

(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在直角梯形中，，，，為的中點，由翻折的性質(zhì)可得，翻折后，，又，，，則，故，，兩兩互相垂直，以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖示：則，，，，，，，即，又平面，平面，平面．（2）設(shè)點到平面的距離為，則，解得，點為的中點，在空間直角坐標(biāo)系中，，，.，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，所以，令平面與平面的夾角，由圖可知，，則，即．3．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點D運動到點F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得．

(1)證明：平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：連接OB，因為為等腰直角三角形，，，所以，因為O為AC邊的中點，所以，在等邊三角形中，，因為O為AC邊的中點，所以，則，又，所以，即，因為，平面，平面，所以平面．

（2）方法一：因為是等腰直角三角形，，為邊中點，所以，由（1）得平面，則以O(shè)為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，易知平面的一個法向量為，設(shè)二面角的大小為θ，則，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．方法二：作，垂足為M，作，垂足為N，連接，因為平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，所以二面角的平面角為，因為，所以，所以，，在中，，，所以，所以，所以，即二面角的余弦值為．

4．（2023春·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)矩形的周長為，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去交DC于點P.(1)證明△ADP的周長為定值，并求出定值；(2)在探討△ADP面積最大值時，同學(xué)們提出了兩種方案：①設(shè)AB長度為，將△ADP面積表示成的函數(shù)，再求出最大值；②設(shè)，將△ADP面積表示成的函數(shù)，再求出最大值，請你選擇一種方案（也可選擇自己的方案），求出△ADP面積的最大值.【答案】(1)證明見解析，定值為2(2)△ADP面積的最大值為【詳解】（1）由于,所以，，所以的周長為，故為定值；（2）方案①，設(shè)AB長度為，設(shè)，則，因為，所以，化簡得，所以的面積，由于，故因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，此時取得最大值方案②設(shè)，設(shè)，則，由的周長為2可得，所以的面積，令，，所以，故，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，故當(dāng)時，面積取到最大值，此時5．（2023·高二單元測試）如圖，分別是矩形上的點，，，把四邊形沿折疊，使其與平面垂直，如圖所示，連接，得到幾何體．(1)當(dāng)點在棱上移動時，證明：；(2)在棱上是否存在點，使二面角的平面角為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【詳解】（1）由圖1易知圖2中，有，又因為面面，面面，面，所以面，又面，故，故以為原點，邊所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則不妨設(shè)，，則，故，所以，故..（2）假設(shè)存在使二面角的平面角為，其中，因為平面，所以可作為平面的一個法向量，因為，設(shè)平面的一條法向量為，則，即，令，則，故，因為二面角的平面角為，所以，即，整理得，解得或（舍去），所以，故在棱上存在點，使二面角的平面角為，且.高頻考點四：立體幾何綜合問題典型例題例題1．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，分別為，的中點.

(1)求證：平面；(2)若，二面角的大小為，再從條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.求的長.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)證明見解析(2)12【詳解】（1）取中點，連接.

在中，分別為的中點，所以.在菱形中，因為，所以.所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為平面平面，所以平面.（2）選擇條件①：因為平面平面，所以.又因為平面，所以平面，又平面，所以，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

連接，因為，所以，又為中點，所以，所以為正三角形.因為，所以.設(shè)，則，根據(jù)條件，可得平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，所以，由題意，二面角的大小為，所以，解得（舍負(fù)）.因為是的中點，所以的長為12.經(jīng)檢驗符合題意.選擇條件②：因為平面平面，所以.連接，因為，且，所以，在菱形中，，即為正三角形.又因為為中點，所以，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

又因為.因為為正三角形且，所以.設(shè)，則，根據(jù)條件，可得平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，所以，由題意，二面角的大小為，所以，解得（舍負(fù)）.因為是的中點，所以的長為12.經(jīng)檢驗符合題意.例題2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┤鐖D，四邊形是邊長為2的菱形，，四邊形為矩形，，從下列三個條件中任選一個作為已知條件，并解答問題（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.①與平面所成角相等；②三棱錐體積為；③

(1)平面平面；(2)求二面角的大??；(3)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）選①，連接，作面，垂足為.

與平面所成角相等，，在的中垂線上，在平面內(nèi)，,和重合，面，又面，面面若選②，設(shè)到面的距離為，，得，即為到面的距離，即面，又面，面面.若選③，由余弦定理得，，，又面面，又面面面（2）因為面，面，所以，取中點，則，所以，又因為，所以建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，

，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，，由圖可知二面角是鈍角，所以二面角的大小為.（3），平面的一個法向量為，點到平面的距離.例題3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知多面體的底面是邊長為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點為，在平面內(nèi)過點作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）延長，設(shè)其交點為，連接，則為平面與平面的交線，取線段CD的中點M，連接KM，直線KM即為所求．證明如下：延長，設(shè)其交點為，連接，則為平面與平面的交線，因為，所以，又，所以，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，取的中點，連接，∵分別為的中點，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．

（2）以點為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由已知可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則得，取得，，平面的一個法向量.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.

練透核心考點1．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測）在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺，已知點分別在線段上，二面角的大小為．

(1)若，，，證明：平面；(2)若，點為上的動點，點為的中點，求與平面所成最大角的正切值，并求此時二面角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2)，【詳解】（1）

如圖所示，過Q作QE∥AB交AC于E，連接PE，過C1作C1F∥A1A，交AC于F，∵，結(jié)合圓臺的特征知，又∵，解三角形得，故，即，∵，由題意易知四邊形為直角梯形，∴，，故，∵面，面，∴QE∥面，同理PE∥面，又面PQE，∴面∥面，面，∴平面，得證；（2）

如圖，結(jié)合圓臺的特征，當(dāng)時，此時兩兩垂直，故以A為中心，以AB、AC、AA1所在的直線分別為軸、軸、軸，則，設(shè)，則，，易知軸⊥面，不妨取作為面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則，即當(dāng)時，取得最大值，此時為最大角，，設(shè)此時面APQ的一個法向量為，易得，則，令，則，即，由圖可知該二面角的平面角為銳角，設(shè)其為，故，故與平面所成最大角的正切值為，此時二面角的余弦值為.2．（2023·北京海淀·北大附中?？既＃┤鐖D在幾何體中，底面為菱形，.

(1)判斷是否平行于平面，并證明；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求：（i）平面與平面所成角的大?。唬╥i）求點到平面的距離.條件①：面面條件②：條件③：注：如果選擇多個條件分別作答，