廣東省東莞市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

廣東省東莞市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）（2023高二上·東莞月考）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線化為斜截式方程得出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】將直線化為斜截式方程為，斜率.設(shè)直線的傾斜角為，則.又，所以.故選：C.（2023高二上·東莞月考）2.已知，，且，則的值為（）A. B. C.6 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】已知，，且，則，所以，所以，解得，則的值為6.故選：C（2023高二上·東莞月考）3.下列敘述正確的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.數(shù)列0，1，2，3，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為C.數(shù)列0，0，0，1，…是常數(shù)列D.數(shù)列2，4，6，8與數(shù)列8，6，4，2是相同的數(shù)列【答案】A【解析】【分析】作差即可判斷A項(xiàng)；代入檢驗(yàn)，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)常數(shù)列以及數(shù)列的概念，即可判斷C、D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)，則對(duì)恒成立，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列.故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與第一項(xiàng)為0不符.故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，數(shù)列中的項(xiàng)并不完全相同.故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列的概念，數(shù)列與順序有關(guān).所以，數(shù)列2，4，6，8與數(shù)列8，6，4，2不是相同的數(shù)列.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.（2023高二上·東莞月考）4.已知直線與垂直，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】將化為斜截式方程得出斜率，根據(jù)直線垂直，列出方程求解，即可得出答案.【詳解】將化為斜截式方程可得，.因?yàn)椋?，解?故選：B.（2023高二上·東莞月考）5.設(shè)、是兩條不同直線，、是兩個(gè)不同的平面，則能得出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中面面、線面、線線的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，則或或與相交，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)與相交時(shí)與可能平行、相交、異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)榍?，所以，又且、是兩條不同的直線，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以，又，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，則或或與相交，又，當(dāng)時(shí)與可能平行、異面，當(dāng)時(shí)與可能平行、相交，當(dāng)與相交時(shí)與可能相交、異面，故D錯(cuò)誤；故選：C（2023高二上·東莞月考）6.已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，則的內(nèi)切圓半徑的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】尋找的內(nèi)切圓半徑與三角形面積之間的關(guān)系，根據(jù)面積的取值范圍可以得到的內(nèi)切圓半徑的取值范圍.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，橢圓方程為，則，，，即，又，所以，由于，所以.故選：D（2023高二上·東莞月考）7.設(shè)拋物線，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)且，則的中點(diǎn)到軸的最短距離為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線的方程并聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合化簡(jiǎn)可得的關(guān)系式，表示出的中點(diǎn)到軸的距離的表達(dá)式，換元后利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，，需滿足，設(shè)，，則，則由弦長(zhǎng)公式得，兩邊平方得，，因?yàn)?，代入得，，令，，則，而根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，即的中點(diǎn)到軸的最短距離為，故選：A（2023高二上·東莞月考）8.下列數(shù)列中，其前項(xiàng)和可能為1028的數(shù)列是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可判斷A；利用裂項(xiàng)求和求出數(shù)列的前n項(xiàng)和可判斷B；討論n的奇偶性，分別求數(shù)列的和，可判斷C；利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合單調(diào)性可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)椋O(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則隨n的增大而增大，令，由于，，故方程無(wú)正整數(shù)解，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)?，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，令，即，方程無(wú)正整數(shù)解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：因?yàn)?，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，，，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，和不可能為1028；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，令，即，此時(shí)故方程無(wú)正奇數(shù)解，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：因?yàn)?，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，由于隨n的增大而增大，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列的前10項(xiàng)的和為1028，故D符合題意．故選：D二、多選題：（本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）（2023高二上·東莞月考）9.已知雙曲線，下列對(duì)雙曲線判斷正確的是（）A.實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍 B.焦距為4C.離心率為 D.漸近線方程為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)方程求出的值，即可得出雙曲線的性質(zhì).【詳解】由已知可得，，，所以，，，.對(duì)于A項(xiàng)，實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，焦距為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，離心率，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為.整理可得，.故D項(xiàng)正確.故選：ACD.（2023高二上·東莞月考）10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)在函數(shù)（，為常數(shù)）的圖象上，則為等差數(shù)列B.若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列C.若為等差數(shù)列，，，則當(dāng)時(shí)，最大D.若，則為等差數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】A，依題意，則，所以為等差數(shù)列，A正確.B，依題意，，則，所以為等比數(shù)列，B正確.C，，所以或，最大，C錯(cuò)誤.D，，，所以不是等差數(shù)列.故選：AB（2023高二上·東莞月考）11.已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，且直線恒過(guò)定點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)的軌跡方程為B.的最小值為C.圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為D【答案】CD【解析】【分析】設(shè)，以為直徑的圓的方程，結(jié)合已知圓的方程求直線AB的方程，進(jìn)而確定的軌跡方程，由直線所過(guò)定點(diǎn)、圓的性質(zhì)求最短弦長(zhǎng)、圓上點(diǎn)到直線距離的最大值，討論的位置，結(jié)合圓的切線性質(zhì)研究角的范圍，從而可求解.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：設(shè)，以為直徑的圓的方程為，化簡(jiǎn)得，與聯(lián)立，兩式相減得：直線AB的方程為，又因?yàn)橹本€AB恒過(guò)定點(diǎn)，所以的軌跡方程為，即，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：因?yàn)椋?dāng)時(shí)弦長(zhǎng)最小，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)橹本€AB恒過(guò)定點(diǎn)，所以圓上點(diǎn)到直線AB距離的最大值為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：如圖，圓心到直線的距離為，記為：，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，則，則，當(dāng)位于直線的其它位置時(shí)，，，則，則，綜上所述，故D項(xiàng)正確.故選：CD.（2023高二上·東莞月考）12.如圖（1）是一副直角三角板．現(xiàn)將兩個(gè)三角板沿它們的公共邊翻折成圖（2）的四面體，設(shè)，與面所成角分別為，，在翻折的過(guò)程中，下列敘述正確的是（）A.若，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到面的距離是2B.存在某個(gè)位置使得C.若，當(dāng)二面角時(shí)，則D.當(dāng)在面的射影在三角形的內(nèi)部（不含邊界），則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等體積法求點(diǎn)面距離判斷A，根據(jù)射影的性質(zhì)判斷B，根據(jù)空間點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)間的距離判斷C，分類討論點(diǎn)在平面上射影的位置判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，又，平面，所以平面，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，因?yàn)?，所以，即，解得，故A正確；若，因，平面，故平面，而平面，故，這與矛盾，故B錯(cuò)誤；以原點(diǎn)，建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，，三角形斜邊上的中線為，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則由平面圖可知，則為二面角的平面角，二面角知，，所以，，則，，故，故C正確；由C的證明可得，而平面，故平面，而平面，故平面平面，如圖，過(guò)作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，故平面，故為與平面所成的角，為與平面所成的角，又，，故，故即，而為銳角，故，故D正確.故選：ACD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）（2023高二上·東莞月考）13.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)曲線方程表示的曲線類型列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故，解得，故答案為：（2023高二上·東莞月考）14.假設(shè)每次用相同體積的清水漂流一件衣服,且每次能洗去污垢的,那么至少要清洗_______次才能使存留的污垢在以下.【答案】【解析】【分析】設(shè)每次用升清水漂流一件衣服,通過(guò)題意可知,存留的污垢是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,最后列出存留的污垢與洗滌次數(shù)之間的關(guān)系,最后結(jié)合已知求出的值即可.【詳解】設(shè)每次用升清水漂流一件衣服,洗滌次數(shù),通過(guò)題意可知,存留的污垢是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以有,由題意可知:,所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在以下.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.（2023高二上·東莞月考）15.如圖，四棱錐中，平面平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，是等腰三角形，則平面上任意一點(diǎn)到底面中心距離的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可得出平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，根據(jù)向量法求出點(diǎn)到平面的距離，即可得出答案.【詳解】如圖，取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，中點(diǎn)為，所以，且.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平?又為中點(diǎn)，所以.因?yàn)闉檎叫?，所以?連接，交于點(diǎn)，則即為的中心如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0，，，，，，，，所以，，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則.所以，點(diǎn)到平面的距離.顯然，即為平面上任意一點(diǎn)到底面中心的距離的最小值.故答案為：.（2023高二上·東莞月考）16.過(guò)雙曲線（a>0，）的右焦點(diǎn)作直線，且直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與另一條漸近線交于點(diǎn)（、均在軸右側(cè)）.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線的離心率為_______.【答案】##【解析】【分析】利用已知條件結(jié)合三角形與內(nèi)切圓的位置關(guān)系得出點(diǎn)M在的角平分線上，利用線線垂直證出四邊形進(jìn)而證出MTAN為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離結(jié)合雙曲線a，b，c三者的幾何意義，利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系式得出的值，結(jié)合雙曲線的離心率與的關(guān)系式得出雙曲線的離心率.【詳解】如圖，設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為M，則M在的平分線Ox上，過(guò)點(diǎn)M分別作于，于，由得出四邊形MTAN為正方形，設(shè)Fc,0，直線：，則.又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.四、解答題：（本題共6小題，共70分.17題10分，18~22題每題12分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（2023高二上·東莞月考）17.已知直線和圓．（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)；（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】（1）相交，截得的弦長(zhǎng)為2.（2）或.【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式以及直線與圓的位置關(guān)系求解；（2）利用直線與圓相切與點(diǎn)到直線的距離公式的關(guān)系求解.【小問(wèn)1詳解】由圓可得，圓心,半徑，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.【小問(wèn)2詳解】若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不出在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，滿足題意；若過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線斜率存在，則設(shè)切線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以切線方程為，即，綜上，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.（2023高二上·東莞月考）18.已知數(shù)列滿足，．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知整理可得，進(jìn)而作差得出，即可得出證明；（2）根據(jù)（1）求出，代入根據(jù)裂項(xiàng)法化簡(jiǎn)可得，相加整理即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由已知，可得，，則.又，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，所以，則，故．（2023高二上·東莞月考）19.已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦AB被點(diǎn)平分.（1）求直線的方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）已知中點(diǎn)坐標(biāo)可用點(diǎn)差法解決，將點(diǎn)代入曲線作差，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)斜率公式，可得直線斜率，再用點(diǎn)斜式可得直線方程。（2）利用已知條件，將直線與橢圓聯(lián)立，再結(jié)合韋達(dá)定理和三角形的面積公式，進(jìn)而得出三角形的面積.【詳解】（1）解：因?yàn)橄褹B被點(diǎn)平分，所以設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，，，，又將，代入橢圓得，兩式相減可得：，所以直線的斜率，故直線的方程為，即為.（2）解：，聯(lián)立橢圓與直線方程，得，所以，，所以，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與曲線相交問(wèn)題，其中中點(diǎn)問(wèn)題常用點(diǎn)差法解決，屬于中檔題.（2023高二上·東莞月考）20.如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，四邊形是菱形，，是的中點(diǎn)，平面平面．（1）若是線段的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若是線段的一點(diǎn)（如圖），且，二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)已知得出.進(jìn)而根據(jù)面面垂直以及線面垂直的性質(zhì)定理得出.然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得出.進(jìn)而即可根據(jù)線面垂直的判定定理，得出證明；（2）連接，先根據(jù)已知推得面.以為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)，得出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線得出點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面以及平面的法向量.根據(jù)已知列出方程，結(jié)合圖象，即可得出的值.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)闉檎切吻沂堑闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?又，所以.因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面．【小?wèn)2詳解】連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑危裕?又，所以為等邊三角形.又是的中點(diǎn)，所以.平面平面，平面平面，平面，所以，面.以為原點(diǎn)，所在直線為軸、所在直線為軸、所在直線為軸，如圖建立直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，所以，，，.又，所以.設(shè)面法向量為，因?yàn)?，，所以，即，取，?設(shè)，則，，由得，，即，即，則，則，.設(shè)n=a,b,c為面，所