中考數學二輪復習題型專練（浙江專用）專題06 函數與三角形存在性問題（解析版）

題型六函數與三角形存在性問題【要點提煉】【等腰三角形存在性】在坐標系中有AB兩點，則在x軸上是否存在點C，使▲ABC是等腰三角形①畫出點C可能存在的所有位置：就是我們經常講的兩圓一線兩圓：以A為圓心，AB為半徑畫圓；以B為圓心，AB為半徑畫圓一線：AB的垂直平分線如圖，兩圓一線上所有的點都能與A、B兩點形成等腰三角形，共有如圖五個點C②代數法設出A、B、C三點的坐標，用兩點間距離公式表示出三角形三邊的長，然后列方程AB=BC；BC=AC；AB=AC【直角三角形存在性】在坐標系中有AB兩點，則在x軸上是否存在點C，使▲ABC是直角三角形①畫出點C可能存在的所有位置：兩線一圓兩線：分別以A、B為垂足，做AB的垂線一圓：以AB為直徑畫圓如圖，兩線一圓上所有的點都能與A、B兩點形成直角三角形，共有如圖四個點C②代數法設出A、B、C三點的坐標，用兩點間距離公式表示出三角形三邊的長，然后列方程【等腰直角三角形存在性】在坐標系中有AB兩點，則在坐標平面內是否存在點C，使▲ABC是等腰直角三角形①畫出點C可能存在的所有位置：如圖，固定會有六個答案點C②代數法在等腰Rt▲ABC外做出K型全等，如圖，▲ADB全等于▲BEC，設出A、B、C三點的坐標，表示出AD、B、BE、EC的長，列出方程AD=BE；DB=EC【專題訓練】一．填空題（共1小題）1．（2020?無錫）二次函數y＝ax2﹣3ax+3的圖象過點A（6，0），且與y軸交于點B，點M在該拋物線的對稱軸上，若△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，則點M的坐標為（32，﹣9）或（32【答案】（32，﹣9）或（3【解析】解：∵拋物線的對稱軸為x=?1設點M的坐標為：（32，m當∠ABM＝90°，過B作BD垂直對稱軸于D，則∠1＝∠2，∴tan∠2＝tan∠1=6∴DMBD∴DM＝3，∴M（32當∠M′AB＝90°時，∴tan∠3=M′NAN=∴M′N＝9，∴M′（32綜上所述，點M的坐標為（32，﹣9）或（3故答案為：（32，﹣9）或（3二．解答題（共5小題）2．（2019?白銀）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m．（1）求此拋物線的表達式；（2）過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標，若不存在，請說明理由；（3）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？【解析】解：（1）由二次函數交點式表達式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a=?1則拋物線的表達式為y=?13x2+（2）存在，理由：點A、B、C的坐標分別為（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），則AC=32+42=5，AB＝4﹣（﹣3）＝7，BC＝4設BC的解析式為y＝kx+b，將點B、C的坐標代入解得：4k+b=0b=4，解得k=?1∴y＝﹣x+4…①，設直線AC的解析式為y＝k′x+b′，則有?3k+b′=0b′=4解得k′=∴直線AC的表達式為：y=43設線段AC的中點為K（?32，2），過點M與CA垂直，直線的表達式中的k值為同理可得過點K與直線AC垂直，直線的表達式為：y=?34x+①當AC＝AQ時，如圖1，則AC＝AQ＝5，設：QM＝MB＝n，則AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4，∵點Q在點B的左側，∴n＝3故點Q（1，3）；②當AC＝CQ時，如圖1，CQ＝5，則BQ＝BC﹣CQ＝42?則QM＝MB=8?5故點Q（522，③當CQ＝AQ時，聯(lián)立①②并解得：x=25故點Q的坐標為：Q（1，3）或（522，（3）設點P（m，?13m2+13m+4），則點Q（∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，∴PN＝PQsin∠PQN=22（?13m2+13m+4+m﹣4）=?∵?26＜當m＝2時，PN的最大值為：223．（2019?樂陵市模擬）如圖，關于x的二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數的表達式；（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標；（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【解析】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，1+b+c=0c=3解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函數的表達式為：y＝x2﹣4x+3；（2）令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（3，0），∴BC＝32，點P在y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，①當CP＝CB時，PC＝32，∴OP＝OC+PC＝3+32或OP＝PC﹣OC＝32?∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②當BP＝BC時，OP＝OC＝3，∴P3（0，﹣3）；③當PB＝PC時，∵OC＝OB＝3∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點P的坐標為：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如圖2，設A運動時間為t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，則DN＝2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t即當M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）時△MNB面積最大，最大面積是1．4．（2018?資陽）已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E，連接DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【解析】解：（1）∵拋物線過點B（6，0）、C（﹣2，0），∴設拋物線解析式為y＝a（x﹣6）（x+2），將點A（0，6）代入，得：﹣12a＝6，解得：a=?1所以拋物線解析式為y=?12（x﹣6）（x+2）=?12x（2）如圖1，過點P作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM于點G，設直線AB解析式為y＝kx+b，將點A（0，6）、B（6，0）代入，得：b=66k+b=0解得：k=?1b=6則直線AB解析式為y＝﹣x+6，設P（t，?12t2+2t+6）其中0＜則N（t，﹣t+6），∴PN＝PM﹣MN=?12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=?12t2+2t+6+t﹣6=?1∴S△PAB＝S△PAN+S△PBN=12PN?AG+1=12PN?（AG+=12PN=12×（?12=?32t2=?32（t﹣3）2∴當t＝3時，P位于（3，152）時，△PAB方法二：如圖2，連接OP，作PH⊥x軸于點H，作PG⊥y軸于點G，設P（t，?12t2+2t+6）其中0＜則PH=?12t2+2t+6，PG＝S△PAB＝S△PAO+S△PBO﹣S△ABO=12×6×t+12×6×（?1=?32t2=?32（t﹣3）2∴當t＝3時，即P位于（3，152）時，△PAB（3）如圖3，若△PDE為等腰直角三角形，則PD＝PE，設點P的橫坐標為a，點E的橫坐標為b，∴PD=?12a2+2a+6﹣（﹣a+6）=?12a2+3則b＝4﹣a，∴PE＝|a﹣（4﹣a）|＝|2a﹣4|＝2|2﹣a|，∴?12a2+3a＝2|2﹣解得：a＝4或a＝5?17所以P（4，6）或P（5?17，3175．（2018?蘭州）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4經過A（﹣3，0），B（5，﹣4）兩點，與y軸交于點C，連接AB，AC，BC．（1）求拋物線的表達式；（2）求證：AB平分∠CAO；（3）拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ABM是以AB為直角邊的直角三角形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）將A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入得：9a?3b?4=025a+5b?4=?4解得：a=16，b∴拋物線的解析式為y=16x2?（2）∵AO＝3，OC＝4，∴AC＝5．取D（2，0），則AD＝AC＝5．由兩點間的距離公式可知BD=(5?2∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），∴BC＝5．∴BD＝BC．在△ABC和△ABD中，AD＝AC，AB＝AB，BD＝BC，∴△ABC≌△ABD，∴∠CAB＝∠BAD，∴AB平分∠CAO；證法二：∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），∴BC∥x軸，∴∠BAD＝∠ABC，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC，∴∠CAB＝∠BAD，∴AB平分∠CAO．（3）如圖所示：拋物線的對稱軸交x軸與點E，交BC與點F．拋物線的對稱軸為x=52，則AE∵A（﹣3，0），B（5，﹣4），∴tan∠EAB=1∵∠M′AB＝90°．∴tan∠M′AE＝2．∴M′E＝2AE＝11，∴M′（52同理：tan∠MBF＝2．又∵BF=5∴FM＝5，∴M（52∴點M的坐標為（52，11）或（56．（2016?白銀）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A（3，0），B（0，3）兩點．（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；（2）如圖①，動點E從O點出發(fā)，沿著OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，同時，動點F從A點出發(fā)，沿著AB方向以2個單位/秒的速度向終點B勻速運動，當E，F(xiàn)中任意一點到達終點時另一點也隨之停止運動，連接EF，設運動時間為t秒，當t為何值時，△AEF為直角三角形？（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P與A，B兩點構成無數個三角形，在這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點P的坐標；如果不存在，請簡要說明理由．【解析】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A（3，0），B（0，3）兩點，∴?9+3b+c=0c=3∴b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3，設直線AB的解析式為y＝kx+n，∵A（3，0），B（0，3）∴3k+n=0n=3∴k=?1n=3∴y＝﹣x+3；（2）由運動得，OE＝t，AF=2t∵OA＝3，∴AE＝OA﹣OE＝3﹣t，∵△AEF和△AOB為直角三角形，且∠EAF＝∠OAB，①如圖1，當△AOB∽△AEF時，∴AFAB∴2t∴t=3②如圖2，當△AOB∽△AFE時，∴OAAF∴32∴t＝1；（3）如圖，存在，過點P作PC∥AB交y軸于C，∵直線AB解析式為y＝﹣x+3，∴設直線PC解析式為y＝﹣x+b，聯(lián)立y=?x+by=?∴﹣x+b＝﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3＝0∴△＝9﹣4（b﹣3）＝0∴b=21