中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練（浙江專用）專題11 手拉手模型（解析版）

題型十一手拉手模型【要點(diǎn)提煉】全等型手拉手模型【識別手拉手模型】下面的圖像均為手拉手模型題目中的圖像，同學(xué)們能觀察出兩個(gè)圖像共同的特點(diǎn)嗎？形如：共頂點(diǎn)、雙等腰、頂角相等的圖形即為手拉手模型【“手”怎么判斷】想象每個(gè)等腰三角形都是一個(gè)三角形的桌子，三邊旁邊分別有一個(gè)座位，我們選擇面對頂角的座位坐下，那么左手邊的頂點(diǎn)即左手，右手邊的頂點(diǎn)即右手【重要結(jié)論】每一個(gè)手拉手模型都會共同的重要結(jié)論，把這些結(jié)論以及推理方法都記住，做題時(shí)可以快速求解結(jié)論如下：①▲ABC?▲AB’C’(▲頂左左?▲頂右右）②BC=B’C’(左左=右右）③∠BOB’=∠BAB’（左左和右右的夾角=等腰三角形的頂角）④AO平分∠BOC’(利用全等三角形對應(yīng)高線相等以及角平分線性質(zhì)定理的逆定理證明）【構(gòu)造手拉手模型】①什么樣的題目需要構(gòu)造手拉手模型？如下圖，圖形中從一點(diǎn)A出發(fā)有三條線，其中兩條相等，那么可以將▲ABC看作等腰三角形，那這個(gè)圖形就和手拉手模型很像了，就是缺了一個(gè)等腰的手拉手因此，已知共頂點(diǎn)等線段時(shí)可以構(gòu)造手拉手模型②如何構(gòu)造手拉手模型？牢記手拉手模型的特點(diǎn)：共頂點(diǎn)、雙等腰、頂角相等，只要把圖形補(bǔ)充為符合這些特點(diǎn)即可即以AD為邊、A為頂角、在頂角與▲ABC相等的情況下構(gòu)造手拉手模型，如下圖相似型手拉手模型【識別手拉手模型】和全等型不同的是，相似型手拉手模型沒有等腰，但是仍然符合共頂點(diǎn)、“頂角”等的特點(diǎn)，判斷左右手的方式也和全等型相同【重要結(jié)論】①▲ABC~▲ADE、▲ABD~▲AEC（▲頂左左~▲頂右右）②BD【構(gòu)造手拉手模型】①什么時(shí)候構(gòu)造相似型手拉手模型？已知共頂點(diǎn)三條線，其中兩條已知比例關(guān)系的，就可以構(gòu)造手拉手模型，按照圖形特點(diǎn)補(bǔ)充即可【專題訓(xùn)練】一．選擇題（共3小題）1．如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．下列結(jié)論：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】解：如圖，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，設(shè)AD交EF于O．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正確∵∠DOF＝∠AOE，∴∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故②正確，∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴FA平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故④正確，若③成立，則∠EAF＝∠BAF，∵∠AFE＝∠AFB，∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由題意知，AB不一定等于AD，所以AF不一定平分∠CAD，故③錯(cuò)誤，故選：C．2．如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、D在一條直線上，連接BE、AD，點(diǎn)M、N分別是線段BE、AD上的兩點(diǎn)，且BM=13BE，AN=13A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．不等邊三角形【答案】C【解析】解：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，∴BC＝AC，EC＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，在△BCE與△ACD中BC=AC∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD（SAS），∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，∵BM=13BE，AN=∴BM＝AN，在△MBC與△NAC中BM=AN∠MBC=∠NAC∴△MBC≌△NAC（SAS），∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，∵∠BCM+∠MCA＝60°，∴∠NCA+∠MCA＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MCN是等邊三角形，故選：C．3．如圖，A、B、C在同一條直線上，△ABF和△BCE均為等邊三角形，AE、FC分別交FB、EB于點(diǎn)M、N，下列結(jié)論中：①△ABE≌△FBC，②AB＝FN，③BM＝BN，④∠ADF＝60°，⑤DB平分∠ADC，其中正確的有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【解析】解：∵△ABF和△BCE均為等邊三角形，∴AB＝FB，BC＝BE，∠ABF＝∠CBE＝60°，∴∠MBN＝180°﹣∠ABF﹣∠CBE＝60°，∵∠ABE＝∠ABF+∠MBN＝60°+60°＝120°，∠FBC＝∠CBE+∠MBN＝60°+60°＝120°，∴∠ABE＝∠FBC，在△ABE和△FBC中，AB=FB∠ABE=∠FBC∴△ABE≌△FBC（SAS），故①正確；∵△ABE≌△FBC，∴∠BAM＝∠BFN，在△ABM和△FBN中，∠BAM=∠BFNAB=FB∴△ABM≌△FBN（ASA），∴AB＝FB，BM＝BN，故②錯(cuò)誤，③正確；∵△ABE≌△FBC，∴∠AEB＝∠FCB，∠ADF＝∠DAC+∠DCA＝∠DAC+∠AEB＝∠CBE＝60°，故④正確；作BP⊥AD，BQ⊥CD，∴∠BPM＝∠BQN＝90°，∵△ABM≌△FBN，∴BM＝BN，∠PMB＝∠QNB，在△BPM和△BQN中，∠BPM=∠BQNBM=BN∴△BPM≌△BQN（ASA），∴BP＝BQ，即點(diǎn)B到AD和DC的距離相等，∴BD是∠ADC的角平分線，故⑤正確；故選：B．二．填空題（共1小題）4．匈牙利著名數(shù)學(xué)家愛爾特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，其中每三個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形，人們將具有這樣性質(zhì)的n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集稱為愛爾特希點(diǎn)集．如圖，是由五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O構(gòu)成的愛爾特希點(diǎn)集（它們?yōu)檎暹呅蔚娜我馑膫€(gè)頂點(diǎn)及正五邊形的中心構(gòu)成），則∠ADO的度數(shù)是18°．【答案】18°【解析】解：由題意知點(diǎn)A、B、C、D為正五邊形任意四個(gè)頂點(diǎn)，且O為正五邊形中心，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD=360°∴∠AOD＝360°﹣3∠AOB＝144°，又∵OA＝OD，∴∠ADO=180°?∠AOD故答案為：18°．三．解答題（共6小題）5．如圖1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG，CE．將正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，①判斷△AGD與△CED是否全等，并說明理由；②當(dāng)CE＝CD時(shí)，AG與EF交于點(diǎn)H，求GH的長．（2）如圖3，延長CE交直線AG于點(diǎn)P．①求證：AG⊥CP；②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）①如圖2中，結(jié)論：△AGD≌△CED．理由：∵四邊形EFGD是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠GDE＝∠ADC，∴∠ADG＝∠CDE，∴△AGD≌△CED（SAS）．②如圖2中，過點(diǎn)A作AT⊥GD于T．∵△AGD≌△CED，CD＝CE，∴AD＝AG＝4，∵AT⊥GD，∴TG＝TD＝1，∴AT=A∵EF∥DG，∴∠GHF＝∠AGT，∵∠F＝∠ATG＝90°，∴△GFH∽△ATG，∴GHAG∴GH4∴GH=8（2）①如圖3中，設(shè)AD交PC于O．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴當(dāng)∠ACP最小時(shí)，PC的值最大，∴當(dāng)DE⊥PC時(shí)，∠ACP的值最小，此時(shí)PC的值最大，此時(shí)點(diǎn)F與P重合（如圖4中），∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，∴EC=CD2∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝2+23，∴PC的最大值為2+23．6．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，小明畫了一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外側(cè)分別以AB，AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點(diǎn)M，N，G，連接GM，GN．小明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是MG＝NG；位置關(guān)系是MG⊥NG．（2）類比思考：如圖②，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考．把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB＞AC，其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）深入研究：如圖③，小明在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究．向△ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給與證明．【解析】解：（1）如圖①，連接BE，CD相交于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∴∠BDC+∠DBH＝∠BDC+∠ABD+∠ABE＝∠BDC+∠ABD+∠ADC＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE，∵點(diǎn)M，G分別是BD，BC的中點(diǎn)，∴MG=∥1同理：NG=∥1∴MG＝NG，MG⊥NG，故答案為：MG＝NG，MG⊥NG；（2）如圖②，連接CD，BE相交于點(diǎn)H，同（1）的方法得，MG＝NG，MG⊥NG；（3）如圖③，連接EB，DC，延長線相交于H，同（1）的方法得，MG＝NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD，∴∠CEH+∠ECH＝∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°＝90°，∴∠DHE＝90°，同（1）的方法得，MG⊥NG，∴△MGN是等腰直角三角形．7．請完成如下探究系列的有關(guān)問題：探究1：如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，則線段CF，BD之間的位置關(guān)系為CF⊥BD，數(shù)量關(guān)系為CF＝BD．探究2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段BC的延長線上，其余條件不變，探究1中的兩條結(jié)論是否仍然成立？為什么？（請寫出證明過程）探究3：如圖3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留為45°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，請你判斷線段CF，BD之間的位置關(guān)系，并說明理由．【解析】解：探究1：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵四邊形ADEF為正方形，∴∠DAF＝90°，∴∠CAD+∠CAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF．∴在△ABD和△ACF中，AB=AC∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，∴∠BCF＝90°，∴CF⊥BD；故答案為：CF⊥BD，CF＝BD；探究2：探究1中的兩條結(jié)論是否仍然成立．理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°+∠CAD，∵四邊形ADEF為正方形，∴∠DAF＝90°，∠CAF＝90°+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF．∴在△ABD和△ACF中，AB=AC∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△CAF（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，∴∠BCF＝90°，∴CF⊥BD．探究3：線段CF，BD之間的位置關(guān)系是CF⊥BD．理由如下：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥AC，交BC于點(diǎn)P．∵∠BCA＝45°，∴∠APD＝45°，AP＝AC．∵四邊形ADEF為正方形，∴AD＝AF，∵∠CAP＝∠DAF＝90°，∴∠PAD＝∠CAF，∴△APD≌△ACF（SAS），∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝90°，∴線段CF，BD之間的位置關(guān)系是CF⊥BD．8．已知，在△ABC中，BC＝4．（1）如圖1，將邊AC、AB同時(shí)繞著點(diǎn)A分別按逆時(shí)針、順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a°，得AD、AE，連接BD、CE，求證：BD＝CE；（2）如圖2，若∠ABC＝60°，AB＝1，將邊AC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得AD，連接BD，求BD的長；（3）如圖3，O為BC上一點(diǎn)，OB＝1，以O(shè)為圓心，OB的長為半徑作⊙O，點(diǎn)M是⊙O上動(dòng)點(diǎn)，連接MC，以MC為腰作等腰Rt△MCF，使∠MCF＝90°，其中M、C、F三點(diǎn)為逆時(shí)針順序，連接BF，則BF的取值范圍是4≤BF≤6．【解析】解：（1）邊AC、AB同時(shí)繞著點(diǎn)A分別按逆時(shí)針、順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a°，∴AB＝AE，AC＝AD，而∠EAC＝∠BAC+a°＝∠BAD＝∠BAC+a°，∴△ACE≌△ADB（SAS），∴BD＝CE；（2）如圖：按照（1）的方法，將邊AB逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°得AE，連接BE、CE，由（1）知：△ACE≌△ADB（SAS），∴BD＝EC，∵△ABE是頂角120°的等腰三角形，AB＝1，易求：BE=3而∠ABE＝30°，即∠EBC＝90°，由勾股定理：BD＝EC=B答：BD的長為19；（3）如圖：將CO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得CE，連接BE、EF、OM，由（1）知：△OMC≌△EFC（SAS），∴EF＝OM＝1，EC＝OC＝4﹣1＝3，在Rt△BCE中，BE=CBE﹣EF≤BF≤BE+EF，即：4≤BF≤6．9．在△ABC中，∠BAC＝60°．（1）如圖1，若AB＝AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B，得到△ADB，連接DP，補(bǔ)完全圖，直接寫出PB的長．（2）如圖2，若AB＝AC，點(diǎn)P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度數(shù)；（3）如圖3，若AB＝2AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=3，PB＝5，∠APC＝120°，直接寫出PC【解析】解：（1）依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示，由旋轉(zhuǎn)有，AD＝AP，BD＝PC，∠DAB＝∠PAC，∴∠DAP＝∠BAC＝60°，∴△ADP為等邊三角形，∴DP＝PA＝3，∠ADP＝60°，∵∠ADB＝∠APC＝150°，∴∠BDP＝90°，在Rt△BDP中，BD＝4，DP＝3，∴PB=BD（2）如圖2，把△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，得到△ADB，連接PD，∴△APC≌△ADB，∴AD＝AP＝3，DB＝PC＝4，∠PAC＝∠DAB，∠APC＝∠2，∴∠DAP＝∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠DAP＝60°，∴△DAP是等邊三角形，∴PD＝3，∠1＝60°，∴PD2+DB2＝32+42＝52＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠2＝30°，∴∠APC＝30°；（3）如圖3，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，則△ABQ∽△ACP，∴∠AQB＝∠APC＝120°，∵AB＝2AC，∴△ABQ與△ACP相似比為2，∴AQ＝2AP＝23，BQ＝2CP，∠QAP＝∠QAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°，∵AQAP∴∠APQ＝90°，PQ＝3，∴∠AQP＝30°∴∠BQP＝∠AQB﹣∠AQP＝120°﹣30°＝90°，根據(jù)勾股定理得，BQ=PB∴PC=1210．【問題發(fā)現(xiàn)】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)遇到了如下問題：（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長．經(jīng)過觀察、分析、思考，他對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABD，連接PD，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系…請你根據(jù)上面分析，完成該問題的解答過程；【學(xué)以致用】參考小明思考問題的方法，解決下面問題：