中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練（浙江專用）專題12 一線三等角模型（原卷版）

題型十二一線三等角模型【要點(diǎn)提煉】【認(rèn)識(shí)一線三等角模型】一線三等角模型顧名思義，即在一條直線上有三個(gè)相等的角，就可稱為一線三等角模型，按角的大小可分為：銳角型、直角型、鈍角型【一線三等角模型的重要結(jié)論】如上圖1①?證明：∵∠1+∠4=180°∠1+∠2=180°∠∴∴∵∠∴②BD∵?∴【特殊情況下的一線三等角模型】①全等型一線三等角注意：一線三等角模型只有在對(duì)應(yīng)邊相等的情況下才能全等，不能隨意理解為只要兩個(gè)邊相等就能全等②中點(diǎn)型一線三等角模型當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，圖形除了原本的結(jié)論還有新的結(jié)論可以得到，而該情況較?？嫉?，因此可以作為模型記下來，證明過程如下由?BDE~?得ED∵D為BC中點(diǎn)∴BD=CD∴ED又∵∠EBD=∠EDF∴?∴∠4=∠5即ED為∠BEF的平分線③不在同一側(cè)的一線三等角模型下圖中，直線AP上也有三個(gè)等角，但三個(gè)角不在直線AP的同一側(cè)，此時(shí)是比較特殊的一線三等角模型，也可證明兩三角形相似證明：∵∠1+∠2=∠DBA∠2+∠3=∠DPC∠DBA=∠DPC∴∠1+∠2=∠2+∠3∴∠1=∠3∵∠DBA=∠CAQ∴∠DBP=∠CAP∴?QQ【構(gòu)造一線三等角模型】①已知一線二等角--補(bǔ)一等角--構(gòu)成一線三等角②已知一線特殊角--補(bǔ)二等角--構(gòu)成一線三等角（如下圖）【專題訓(xùn)練】一．選擇題（共1小題）1．已知△ABC，AC＝BC，∠C＝120°，邊長(zhǎng)AC＝10，點(diǎn)D在AC上，且AD＝6，點(diǎn)E是AB上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段DF，要使點(diǎn)F恰好落在BC上，則AE的長(zhǎng)是（）A．4+43 B．63 C．43 D．4+23二．填空題（共3小題）2．（2020?牡丹江）如圖，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EM．則下列結(jié)論中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③AE﹣CE=2ME④DE2+DF2＝2DM2；⑤若AE平分∠BAC，則EF：BF=2⑥CF?DM＝BM?DE，正確的有．（只填序號(hào)）3．（2020?咸寧）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，連接AF，有下列結(jié)論：①△ABE∽△ECG；②AE＝EF；③∠DAF＝∠CFE；④△CEF的面積的最大值為1．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）4．（2019?臺(tái)州）如圖，直線l1∥l2∥l3，A，B，C分別為直線l1，l2，l3上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB，BC，AC，線段AC交直線l2于點(diǎn)D．設(shè)直線l1，l2之間的距離為m，直線l2，l3之間的距離為n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且mn=23，則m+三．解答題（共6小題）5．（2020?宿遷）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB＝90°，求證：AEEB【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且EFEG=AEEB，連接BG交求證：BH＝GH．【拓展】如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC＝180°，且AEEB=DEEC，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA＝∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G．求證：6．（2020?雅安）如圖，已知邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連接AE，G是BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線交∠DCG的角平分線于點(diǎn)F，若FG⊥BG．（1）求證：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面積；（3）請(qǐng)直接寫出EC為何值時(shí)，△CEF的面積最大．7．（2020?長(zhǎng)沙）在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求EC的長(zhǎng)；（3）若AE﹣DE＝2EC，記∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．8．（2020?懷化）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使CD＝CA，且∠D＝30°．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）分別過A、B兩點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點(diǎn)，過C點(diǎn)作AB的垂線，垂足為點(diǎn)G．求證：CG2＝AE?BF．9．（2020?達(dá)州）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過點(diǎn)P作PE⊥PA交射線CD于點(diǎn)E．聰聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了研究：（1）通過推理，他發(fā)現(xiàn)△ABP∽△PCE，請(qǐng)你幫他完成證明．（2）利用幾何畫板，他改變BC的長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，得到不同位置時(shí)，CE、BP的長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)值：當(dāng)BC＝6cm時(shí)，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.831.331.501.330.83…當(dāng)BC＝8cm時(shí)，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17…這說明，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，要保證點(diǎn)E總在線段CD上，BC的長(zhǎng)度應(yīng)有一定的限制．①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在BP和CE的長(zhǎng)度這兩個(gè)變量中，的長(zhǎng)度為自變量，的長(zhǎng)度為因變量；②設(shè)BC＝mcm，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段CD上