2024北京東城區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試題和答案

試題PAGE1試題2024北京東城高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．直線x﹣y+1＝0的傾斜角為（）A．30° B．150° C．60° D．120°2．已知空間中直線l的一個方向向量，平面α的一個法向量，則（）A．直線l與平面α平行 B．直線l在平面α內(nèi) C．直線l與平面α垂直 D．直線l與平面α不相交3．拋物線y2＝4x的焦點到其準(zhǔn)線的距離是（）A．4 B．3 C．2 D．14．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，，則a2＝（）A．1 B．3 C．5 D．85．雙曲線的漸近線方程為（）A．y＝±2x B． C． D．6．線上支付已成為當(dāng)今社會主要的支付方式，為了解某校學(xué)生12月份A，B兩種支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100人，對樣本中僅用一種支付方式及支付金額的人數(shù)情況統(tǒng)計如表：支付金額（元）支付方式（0，500]（500，1000]大于1000僅使用A20人8人2人僅使用B10人6人4人從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機抽取1人，兩人支付金額均多于500元的概率是（）A． B． C． D．7．哈雷彗星大約每76年環(huán)繞太陽一周，因英國天文學(xué)家哈雷首先測定其軌道數(shù)據(jù)并成功預(yù)言回歸時間而得名．已知哈雷是1682年觀測到這顆彗星，則人們最有可能觀測到這顆彗星的時間為（）A．2041年～2042年 B．2061年～2062年 C．2081年～2082年 D．2101年～2102年8．在平面直角坐標(biāo)系中，M，N分別是x，y軸正半軸上的動點，若以MN為直徑的圓與直線3x+4y﹣10＝0相切，則該圓半徑的最小值為（）A． B．1 C． D．29．已知a，b∈R，則“﹣1，a，b，2為等比數(shù)列”是“ab＝﹣2”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．曲線C：xm+yn＝1，其中m，n均為正數(shù)，則下列命題錯誤的是（）A．當(dāng)m＝3，n＝1時，曲線C關(guān)于（0，1）中心對稱 B．當(dāng)，時，曲線C是軸對稱圖形 C．當(dāng)m＝4，n＝2時，曲線C所圍成的面積小于π D．當(dāng)m＝3，n＝2時，曲線C上的點與（0，0）距離的最小值等于1二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．（4分）直線l：x+y+1＝0的斜率為；過點P（1，3）且垂直于l的直線方程是．12．（4分）如圖，已知M是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB的中點，則直線A1M與CD所成角的余弦值為．13．（4分）已知圓x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，則圓心，半徑為．14．（4分）2023年10月第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京勝利召開．某校準(zhǔn)備進行“一帶一路”主題知識競賽活動．要求每位選手回答A，B兩類問題，且至少一類問題的成績達到優(yōu)秀才能獲獎．已知張華答A，B兩類問題成績達到優(yōu)秀的概率分別為0.6，0.5，則張華在這次比賽中獲獎的概率為．15．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，連接ABCD各邊的中點得到正方形EFGH，連接正方形EFGH各邊的中點得到正方形IJKL，依此方法一直進行下去．記a1為正方形ABCD的面積，a2為正方形EFGH的面積，a3為正方形IJKL的面積，…，Sn為{an}的前n項和．給出下列四個結(jié)論：①存在常數(shù)M＜，使得a5＞M恒成立；②存在正整數(shù)N0，當(dāng)n＞N0時，an＜；③存在常數(shù)M＞2，使得Sn＜M恒成立；④存在正整數(shù)N0，當(dāng)n＞N0時，Sn＞2．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共5小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（10分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝AC＝BC，D，E分別為CC1，BA1的中點．（Ⅰ）證明：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求平面A1BD與平面ABC夾角的余弦值．17．（10分）2023年9月23日第19屆亞運會開幕式在杭州隆重舉行．為調(diào)查某地區(qū)全體學(xué)生收看開幕式的情況，采用隨機抽樣的方式進行問卷調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如下：方式手機電腦電視未觀看頻率0.50.20.10.2假定每人只用一種方式觀看，且每人觀看的方式相互獨立、用頻率估計概率．（1）若該地區(qū)有10000名學(xué)生，試估計該地區(qū)觀看了亞運會開幕式的學(xué)生人數(shù)；（2）從該地區(qū)所有學(xué)生中隨機抽取2人，求這2人都觀看了亞運會開幕式的概率；（3）從該地區(qū)所有觀看了亞運會開幕式的學(xué)生中隨機抽取2人，求這2人中至少有1人使用電腦觀看了亞運會開幕式的概率．18．（10分）已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，Tn為等比數(shù)列{bn}的前n項和，a1＝b1＝1，a2+b2＝2．（1）若b4＝8，求a3的值；（2）從以下三個條件中選擇一個條件作為已知，使得{bn}單調(diào)遞增，求出{bn}的通項公式以及Tn．條件①：a5＝3；條件②：a3+b3＝3；條件③：S3＝9．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．19．（10分）已知橢圓C：，點M（0，1），在C上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點P（0，2）作與x軸不垂直的直線l，與橢圓C交于不同的兩點A，B，點D與點A關(guān)于x軸對稱，直線BD與x軸交于點Q，O為坐標(biāo)原點、若△OPQ的面積為2，求直線l的斜率．20．（10分）已知各項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列An：a1，a2，…，an（n＞3）滿足?1≤i＜j≤n，有ai≠aj．若an等于ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)，則稱數(shù)列An具有性質(zhì)P．（1）判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)P；①A4：3，1，7，5；②A5：2，4，8，16，32．（2）已知數(shù)列A6：2，4，8，16，32，m具有性質(zhì)P，求出m的所有可能取值；（3）若一個數(shù)列A2024：a1，a2，…，a2024具有性質(zhì)P，則a2024是否存在最小值？若存在，求出這個最小值，并寫出一個符合條件的數(shù)列；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線x﹣y+1＝0的傾斜角為θ，將直線變形為y＝x+，分析可得其斜率k＝，進而由傾斜角與斜率的關(guān)系可得k＝tanθ＝，結(jié)合θ的范圍，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)直線x﹣y+1＝0的傾斜角為θ，直線x﹣y+1＝0可以變形為y＝x+，其斜率k＝tanθ＝，又由0°≤θ＜180°，則θ＝30°；故選：A．【點評】本題考查直線的傾斜角的計算，解題的關(guān)鍵是理解直線的斜率與傾斜角的關(guān)系．2．【分析】根據(jù)題意，分析可得，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由于，，可得，則有，故是平面α的一個法向量，故直線l與平面α垂直，故選：C．【點評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，涉及平面法向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】利用拋物線y2＝2px（p＞0）中p的幾何意義即可得答案．【解答】解：∵拋物線的方程為y2＝4x，∴2p＝4，p＝2．由p的幾何意義可知，焦點到其準(zhǔn)線的距離是p＝2．故選：C．【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，掌握拋物線y2＝2px（p＞0）中p的幾何意義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】利用a2＝S2﹣S1及從而可求解．【解答】解：由題意知，所以a2＝S2﹣S1＝4+4﹣1﹣2＝5．故C正確．故選：C．【點評】本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，屬于中檔題．5．【分析】利用雙曲線的漸近線方程公式求解即可．【解答】解：由雙曲線的方程為知，雙曲線焦點在x軸，且，又焦點在x軸的雙曲線漸近線方程為，所以漸近線方程為．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，分析事件后，再代入古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可知，僅使用A的有30人，其中支付金額多于500元的有10人，僅使用B的有20人，其中支付金額多于500元的有10人，則僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機抽取1人，兩人支付金額均多于500元的概率．故選：D．【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】造等差數(shù)列求出其通項公式，給n賦值即可．【解答】解：由題意，可將哈雷彗星的回歸時間構(gòu)造成一個首項是1682，公差為76的等差數(shù)列{an}，則等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝1682+76（n﹣1）＝76n+1606，∴a5＝76×5+1606＝1986，a6＝76×6+1606＝2062，∴可預(yù)測哈雷彗星在本世紀(jì)回歸的年份為2062年．故選：B．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】根據(jù)條件得到點O在圓上，利用點到直線的距離公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【解答】解：∵MN是直徑，∠MON＝90°，∴點O在圓上，過O作OD垂直直線3x+4y﹣10＝0，交點為D，∵圓與直線3x+4y﹣10＝0相切，∴要使圓的半徑最小，此時OD為圓的直徑即可，由O到直線3x+4y﹣10＝0的距離為＝2，則圓的半徑1．故選：B．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．9．【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及充分性，必要性知識即可求解．【解答】解：充分性：當(dāng)“﹣1，a，b，2為等比數(shù)列”時，可得ab＝﹣1×2＝﹣2，故充分性滿足，必要性：當(dāng)“ab＝﹣2”時，不妨設(shè)a＝1，b＝﹣2，此時“﹣1，a，b，2為﹣1，1，﹣2，2不是等比數(shù)列”，故必要性不滿足，所以“﹣1，a，b，2為等比數(shù)列”是“ab＝﹣2”的充分不必要條件，故A正確．故選：A．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】根據(jù)給出的m，n的值，A項x3+y＝1從而可判斷求解，B項，不難發(fā)現(xiàn)其曲線關(guān)于y＝x對稱，從而判斷求解；C項x4+y2＝1利用轉(zhuǎn)化法不難證明曲線上任意一點到原點的距離大于或等于1，從而可判斷求解；D項x3+y2＝1結(jié)合x，y的取值范圍，即可判斷求解．【解答】解：對A：當(dāng)m＝3，n＝1時，x3+y＝1，即y＝﹣x3+1，由函數(shù)y＝﹣x3為奇函數(shù)其關(guān)于原點（0，0）中心對稱，所以得y＝﹣x3+1關(guān)于（0，1）中心對稱，故A正確．對B：當(dāng)，時，，對于曲線上任意一點P（x0，y0），則點P關(guān)于直線y＝x對稱點P′（y0，x0）也在曲線上，所以曲線關(guān)于直線y＝x對稱，故B正確．對C：當(dāng)m＝4，n＝2時，x4+y2＝1，所以|x|≤1，|y|≤1，可知曲線圖象是一個封閉的圖形，所以可設(shè)曲線上任意一點T（c，t），且到原點距離|OT|2＝c2+t2，又因為c4+t2＝1，所以|OT|2＝c2+t2＝1+c2﹣c4，因為0＜|c|≤1，所以c2﹣c4≥0，所以當(dāng)c2﹣c4＝0，即c＝1或c＝﹣1，而此時|OT|2≥1，又因為曲線是個封閉圖形，所以其面積S≥π×12＝π，故C錯誤；對D：當(dāng)m＝3，n＝2時，x3+y2＝1，所以x≤1，y∈R，設(shè)曲線上任意一點N（a，b），則|ON|2＝a2+b2，又因為a3+b2＝1，所以|ON|2＝a2+b2＝a2+1﹣a3，因為a≤1，所以a2﹣a3≥0，所以當(dāng)a2﹣a3＝0，即a＝0或a＝1時，|ON|2有最小值1，所以|ON|的最小值為1，故D正確．故選：C．【點評】本題考查曲線的對稱性和曲線圍成的面積、曲線上的點與原點的距離，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運算能力和推理能力，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．【分析】根據(jù)直線的斜截式方程即可求解斜率，設(shè)垂直于l的直線方程，將點P點的坐標(biāo)代入，可得參數(shù)的值，即求出直線方程．【解答】解：直線x+y+1＝0可化為y＝﹣x﹣1，故斜率為﹣1，過點P（1，3）且垂直于l的直線的方程為x﹣y+a＝0，將P點坐標(biāo)代入1﹣3+a＝0，解得a＝2，即直線的方程為：x﹣y+2＝0．故答案為：﹣1；x﹣y+2＝0．【點評】本題考查兩條直線垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)AB、CD互相平行，可得∠A1MA（或其補角）就是異面直線A1M與CD所成角，進而在Rt△A1MA算出cos∠A1MA，可得答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A1MA（或其補角）就是異面直線A1M與CD所成角，∵M為AB的中點，∴Rt△A1MA中，，可得cos∠A1MA＝，∴直線A1M與CD所成角的余弦值為．故答案為：．【點評】本題主要考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征、解直角三角形及其應(yīng)用、異面直線所成角的定義與求法等知識，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到結(jié)論．【解答】解：將圓進行配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y﹣2）2＝9，則圓心坐標(biāo)為（﹣1，2），半徑R＝3，故答案為：（﹣1，2），3【點評】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，利用配方法將一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程是解決本題的關(guān)鍵．14．【分析】由題意知可從反面考慮求出不獲獎的概率，從而求解出獲獎的概率，即可求解．【解答】解：由題意知，當(dāng)張華不獲獎時的概率為p＝（1﹣0.6）×（1﹣0.5）＝0.2，所以張華獲獎的概率為1﹣p＝1﹣0.2＝0.8．故答案為：0.8．【點評】本題考查相互獨立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)題意，正方形邊長成等比數(shù)列，正方形的面積等于邊長的平方，也為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式，然后逐項判斷即可求解．【解答】解：記第n個正方形的邊長為2a，面積為，由每個正方形都是由上一個正方形各邊中點連接得到，可知第n+1個正方形的邊長為，面積為，所以，又因為a1＝1，所以正方形面積構(gòu)成的數(shù)列{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，其通項公式為，對①：，因為，所以a5＞M恒成立，故①正確；對②：當(dāng)時，即n≥8且n為正整數(shù)，所以存在N0，故②正確；對③、④：，又因為0＜21﹣n≤1，所以，因此當(dāng)M＞2時，Sn＜M恒成立，故③正確；因此當(dāng)n＞N0時，Sn＜2恒成立，故④錯誤．故答案為：①②③．【點評】本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．三、解答題共5小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．【分析】（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面ABC的法向量與直線DE的方向向量，由兩向量垂直即可證得；（Ⅱ）求出平面A1BD的法向量，再由向量法求夾角即可．【解答】解：（I）證明：因為ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥底面ABC．因為AC?底面ABC，BC?底面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC．因為AC⊥BC，如圖建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．設(shè)AC＝2，則A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），A1（2，0，2），C1（0，0，2）．因為D，E分別為CC1，BA1的中點，所以D（0，0，1），E（1，1，1）．所以，．因為CC1⊥底面ABC，所以是平面ABC的一個法向量．因為，所以．因為DE?平面ABC，所以DE∥平面ABC．（Ⅱ）因為，，設(shè)平面A1BD的法向量為，則，，所以即，令y＝1，則z＝2，x＝﹣1，所以，設(shè)平面A1BD與平面ABC的夾角為θ，所以．所以平面A1BD與平面ABC夾角的余弦值為．【點評】本題考查線面平行的證明和平面與平面所成角，屬于中檔題．17．【分析】（1）首先求觀看了亞運會開幕式的學(xué)生的頻率，再求學(xué)生人數(shù)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知，每個學(xué)生觀看亞運會開幕式的概率，再利用相互獨立事件概率公式，即可求解；（3）首先求觀看了亞運會開幕式的學(xué)生中使用電腦觀看的頻率，再利用對立事件概率公式，即可求解．【解答】解：（1）因為該地區(qū)觀看了亞運會開幕式的學(xué)生的頻率為0.5+0.2+0.1＝0.8，所以該地區(qū)觀看了亞運會開幕式的學(xué)生人數(shù)估計為10000×0.8＝8000．（2）設(shè)事件A：從該地區(qū)所有學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生觀看了亞運會開幕式．由頻率估計概率，得P（A）＝0.8．設(shè)事件B：從該地區(qū)所有學(xué)生中隨機抽取2人，這2名學(xué)生都觀看了亞運會開幕式．由于這兩名學(xué)生觀看亞運會開幕式相互獨立，則P（B）＝0.82＝0.64．（3）設(shè)事件C：從該地區(qū)所有觀看了亞運會開幕式的學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生使用電腦觀看了開靠式，則．設(shè)事件D：從該地區(qū)所有觀看了亞運會開幕式的學(xué)生中隨機抽取2人，至少1人用電腦觀看了開幕式，則．【點評】本題主要考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題．18．【分析】（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的知識及性質(zhì)，即可求解．（2）根據(jù)所給的三個條件中進行分別計算是否滿足題意，從而求解．【解答】解：（1）∵{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，b4＝8，設(shè){bn}的公比為q，則．解得q＝2．∴b2＝2．∵a2+b2＝2，∴a2＝0．∵{an}為等差數(shù)列，a1＝1，∴公差d＝a2﹣a1＝﹣1，則a3＝﹣1．（2）若選擇條件①，∵{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1＝b1＝1，a2+b2＝2，a5＝3，設(shè){an}的公差為，∴，，此時{bn}不是遞增數(shù)列，故不符題意，則不能選條件①．若選擇條件②，∵{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1＝b1＝1，a2+b2＝2，a3+b3＝3，設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則即解得q＝2或q＝0（舍），故條件②符合題意，∴，．若選擇條件③，∵{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1＝b1＝1，a2+b2＝2，，∴a3＝5，設(shè){an}的公差d＝，∴a2＝3，b2＝﹣1＜b1＝1，此時{bn}不是遞增數(shù)列，故不符題意，則不能選條件③．【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，考查運算求解能力，是中檔題．19．【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知條件可得關(guān)于a，b的方程組，可求出a，b的值，進而可得橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，求出直線BD的方程，令y＝0，可得點Q的橫坐標(biāo)，由面積公式結(jié)合已知可求得k的值．【解答】解：（I）∵點M（0，1），在橢圓C：上，∴，解得，故橢圓C的方程為．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，Q（xQ，yQ）．由得（2k2+1）x2+8kx+6＝0．由Δ＞0，得．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則D（x1，﹣y1），則，．直線BD的方程為，令y＝0，得．∴．∵，∴k＝±2．經(jīng)檢驗滿足Δ＞0．∴直線l的斜率為±2．【點評】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題．20．【分析】（1）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)P的定義進行判斷即可求解；（2）由A6具有性質(zhì)P，然后利用其性質(zhì)對m分奇偶進行討論即可求解；（3）根據(jù)A2024具有性質(zhì)P，然后利用其性質(zhì)分別對bi+bj（1≤i＜j≤2024），ai+aj（1≤i＜j≤2024）分情況討論，從而其存在最小值4045，即可求解．【解答】解：（1）①A4：3，1，7，5，任意兩項和的結(jié)果有4，6，8，10，12共5個，而a4＝5，所以具有性質(zhì)P，②A5：2，4，8，16，32，任意兩項和的結(jié)果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10個，而a5＝32，所以不具有性質(zhì)P，（2）對于數(shù)列A6：2，4，8，16，32，m，任意兩項和不同的取值最多有15個，所以m≤15．而A5：2，4，8，16，32中任意兩項和的結(jié)果有10個，且全是偶數(shù)，（i）當(dāng)m為奇數(shù)時，ai+m（1≤i≤5）都是奇數(shù)，與前5項中任意兩項和的值均不相同，則A6：2，4，8，16，32，m中所有ai+aj（1≤i＜j≤6）的值共有15個，所以m＝15，（ii）當(dāng)m為偶數(shù)時，ai+m（1≤i≤5）都是偶數(shù)，所以10≤m＜15，所以m∈{10，12，14}，m＝10時，10+