2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)§2.9指、對、冪的大小比較【課件】

第二章§2.9指、對、冪的大小比較指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，其中指數(shù)、對數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點和難點，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置.重點解讀例1

設(shè)

，則a，b，c的大小關(guān)系是A.a>c>b B.a>b>cC.c>b>a

D.b>c>a題型一直接法比較大小命題點1利用函數(shù)的性質(zhì)√所以

，即a<b，又因為函數(shù)y＝

為增函數(shù)，所以

，即b<c，故c>b>a.例2

(2023·無錫模擬)已知a＝log72，b＝

，c＝0.60.4，則a，b，c的大小關(guān)系是A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b命題點2找中間值√例3已知a>b>1,0<c<，則下列結(jié)論正確的是A.ac<bc

B.abc<bacC.alogbc<blogac

D.logac<logbc命題點3特殊值法√則

，∴ac>bc，故A錯誤；∴abc>bac，故B錯誤；alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正確，D錯誤.利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0，

，1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進而可估計log23是一個1～2之間的小數(shù)，從而便于比較.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·龍巖模擬)已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝log0.33，則a，b，c的大小關(guān)系為A.a<b<c

B.c<b<aC.c<a<b

D.b<c<a√由y＝0.3x為減函數(shù)，得0<a＝0.30.2<0.30.1＝b<0.30＝1，由y＝log0.3x為減函數(shù)，得c＝log0.33<log0.31＝0，∴c<a<b.A.a>b>c

B.a>c>bC.b>a>c

D.b>c>a√命題點1作差法例4

(1)設(shè)a＝log62，b＝log123，c＝log405，則A.a<b<c

B.b<a<cC.c<a<b

D.a<c<b題型二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運算性質(zhì)化簡比較大小√又b>0，c>0，∴b>c；∴a<c.∴a<c<b.(2)(2024·棗陽模擬)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，則a，b，c的大小關(guān)系是A.a>b>c

B.a>c>bC.b>c>a

D.c>a>b√∴a>b，∴b>c，故a>b>c.命題點2作商法例5已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，則A.a>c>b

B.a>b>cC.c>a>b

D.b>c>a√∵y＝0.3x是減函數(shù)，∴0.30.3>0.30.4，即b>c>0，命題點3乘方法例6

已知a＝log35，b＝log57，c＝

，則A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.a>c>b√因為53＝125>＝81，所以5>，因為73＝343<＝625，所以7<，命題點4對數(shù)法a<b可知f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又當x→＋∞時，f′(x)→0，所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(2024)>f(2023)，即a<b.求同存異法比較大小如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的形式.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930，則a，b，c的大小關(guān)系是(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A.a>b>c

B.b>a>cC.b>c>a

D.c>b>a√因為a＝2100，所以lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，因為b＝365，所以lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，因為c＝930＝360，所以lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，所以b>a>c.(2)已知x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則A.3y<2x<5z

B.2x<3y<5zC.3y<5z<2x

D.5z<2x<3y√令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，則x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，則2x>3y，所以3y<2x<5z.課時精練一、單項選擇題1.設(shè)

，則a，b，c的大小關(guān)系為A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c12345678910√因為函數(shù)y＝

為減函數(shù)，則

，因此b>a>c.123456789102.(2021·新高考全國Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝

，則下列判斷正確的是A.c<b<a

B.b<a<cC.a<c<b

D.a<b<c√123456789103.若a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，則A.c<b<a

B.b<c<aC.a<b<c

D.a<c<b√12345678910因為a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝log32<log33＝1，c＝log3020<log3030＝1，所以b<c<a.4.(2023·宣城模擬)若3x＝4y＝10，z＝logxy，則A.x>y>z

B.y>x>zC.z>x>y

D.x>z>y√12345678910因為3x＝4y＝10，則x＝log310>log39＝2,1＝log44<y＝log410<log416＝2，即1<y<2，所以x>y>1，從而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z.5.已知a＝log32，b＝log43，c＝

，則a，b，c的大小關(guān)系為A.a＞b＞c

B.a＞c＞bC.b＞c＞a

D.b＞a＞c12345678910√12345678910故a<b，綜上，b>a>c.123456789106.已知0.9p＝0.8，則正數(shù)m，n，p的大小關(guān)系為A.p>m>n

B.m>n>pC.m>p>n

D.p>n>m√12345678910因此2>m>n；由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n，所以正數(shù)m，n，p的大小關(guān)系為p>m>n.7.已知a＝810，b＝99，c＝108，則a，b，c的大小關(guān)系為A.b>c>a

B.b>a>cC.a>c>b

D.a>b>c12345678910√令f(x)＝(18－x)lnx，x≥8，12345678910故f(x)＝(18－x)lnx在[8，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(8)>f(9)>f(10)，即10ln8>9ln9>8ln10，即ln810>ln99>ln108，所以810>99>108，即a>b>c.12345678910二、多項選擇題8.(2023·十堰模擬)設(shè)a＝160.3，b＝90.6，c＝

，則A.a>c

B.b>cC.a>bD.b>a12345678910√√√因為a＝160.3＝(24)0.3＝21.2，b＝90.6＝(32)0.6＝31.2，所以31.2>21.2>21＝2，即b>a>2.因為c＝

＝log23<log24＝2，所以b>a>c.9.若a＝log45，b＝

，c＝eln2，則下列a，b，c的大小關(guān)系表達正確的為A.a<b

B.b<aC.c<b