30-60-90三角形三邊關(guān)系

306090三角形三邊關(guān)系三角形是平面幾何中非常重要的一類圖形，其中30-60-90三角形是其中一種特殊的三角形，也稱為斯內(nèi)爾三角形，因?yàn)槠浔壤P(guān)系由德國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷德里克·斯內(nèi)爾（FriedrichSchwerd）發(fā)現(xiàn)。在30-60-90三角形中，有一個(gè)60度的角和兩個(gè)邊長(zhǎng)成比例的角。根據(jù)三角形的性質(zhì)，三角形中的三個(gè)角必須相加等于180度，因此此三角形的另外兩條邊分別是角度為30度和90度的角。下面將詳細(xì)介紹30-60-90三角形三邊的比例關(guān)系。三角形中，邊長(zhǎng)可以用小寫(xiě)字母表示，角度可以用大寫(xiě)字母表示。在30-60-90三角形中，較短的邊長(zhǎng)通常用字母“a”表示，較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)通常用字母“2a”表示，斜邊通常用字母“a√3”表示。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，“√”代表平方根符號(hào)，即平方根號(hào)。下面的圖形展示了30-60-90三角形的結(jié)構(gòu)。如圖所示，a為較短的邊，2a為較長(zhǎng)的邊，a√3為斜邊。下面，我們來(lái)證明這一結(jié)果。證明：在30-60-90三角形中，向直角三角形中加入角度30度，以3個(gè)角度的和等于180度為基礎(chǔ)可以推導(dǎo)出三條邊之間的關(guān)系。因?yàn)槿切沃械娜齻€(gè)角度必須加起來(lái)等于180度，因此：30度+60度+90度=180度這意味著三角形中的角度比例為1:2:3。如圖所示：按照上圖所示的比例，可以推導(dǎo)出三角形中三條邊的比例：較短的邊a：按照比例1:2:3，可以發(fā)現(xiàn)30度的角度邊的長(zhǎng)度應(yīng)為較短的邊a的一半，因此，較短的邊a等于斜邊a√3的一半。即a=a√3/2。較長(zhǎng)的邊2a：按照比例1:2:3，可以發(fā)現(xiàn)斜邊的長(zhǎng)度為3個(gè)30度角度邊的長(zhǎng)度，因此，斜邊一邊的長(zhǎng)度為2個(gè)30度角度邊的長(zhǎng)度，即斜邊的一半。因此，較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為斜邊的一半，即較長(zhǎng)的邊2a等于斜邊a√3的一半，即2a=a√3/2。斜邊a√3：斜邊長(zhǎng)度是較短的邊的長(zhǎng)度的平方根乘以2，即a√3。因此，根據(jù)三角形中三個(gè)角的比例，30-60-90三角形中三條邊的比例為：較短的邊a：a=a√3/2較長(zhǎng)的邊2a：2a=a√3斜邊a√3：a√3我們用三種方法再次證明較短的邊a和較長(zhǎng)的邊2a與斜邊a√3之間的關(guān)系。方法1：三角形相似可以用三角形相似來(lái)證明較短的邊a和較長(zhǎng)的邊2a與斜邊a√3之間的關(guān)系。在30-60-90三角形中，較短的邊a與30度角的對(duì)邊成比例，較長(zhǎng)的邊2a與60度角的對(duì)邊成比例，斜邊a√3與90度角的對(duì)邊成比例。根據(jù)相似三角形，我們可以得到以下關(guān)系：a/1=2a/(√3)=a√3/a解方程，得到以下三條邊之間的比例：a:2a:a√3=1:2:√3這再次驗(yàn)證了上述結(jié)論。方法2：勾股定理在30-60-90三角形中，有一個(gè)角是直角，因此可以使用勾股定理來(lái)證明較短的邊a和較長(zhǎng)的邊2a與斜邊a√3之間的關(guān)系。勾股定理表明：如果一個(gè)三角形中有一個(gè)角是直角（90度），那么直角邊的平方是另外兩條邊平方和的和。在30-60-90三角形中，直角邊為a，斜邊為a√3。因此，a2+b2=c2a2+(2a)2=(a√3)2a2+4a2=3a25a2=a2√32a√3=c其中，c為斜邊的長(zhǎng)度，由此可得出較短的邊a和較長(zhǎng)的邊2a分別為：a=c/2√32a=c/√3方法3：三角函數(shù)三角函數(shù)也可用來(lái)證明較短的邊a和較長(zhǎng)的邊2a與斜邊a√3之間的關(guān)系。在30-60-90三角形中，角度為30度的角的正切值為臨邊除以對(duì)邊，即：tan(30°)=a/(2a)解出a，得到：a=2a×tan(30°)a=2/√3×aa/a√3=1/2根據(jù)勾股定理，可得：c2=a2+b2因此，c2=a2+(2a)2c2=4a2+a2c2=5a2a2=c2/5a√3=c/√5a=c/√15a/c=1/√152a/c=√3/√15根據(jù)分?jǐn)?shù)的約分，可