【2021屆備考】2020全國(guó)名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(11月第三期)：K單元-概率

K單元概率名目K單元概率 1K1隨大事的概率 1K2古典概型 1K3幾何概型 1K4互斥大事有一個(gè)發(fā)生的概率 1K5相互對(duì)立大事同時(shí)發(fā)生的概率 1K6離散型隨機(jī)變量及其分布列 1K7條件概率與大事的獨(dú)立性 1K8離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布 1K9單元綜合 1K1隨大事的概率K2古典概型【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省師大附中高三上學(xué)期其次次月考（202210）】17、（本題滿分12分）某工廠有25周歲以上（含25周歲）的工人300名，25周歲以下的工人200名.為爭(zhēng)辯工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)接受分層抽樣的方法，從中抽取100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分成兩組，并將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：，加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2名，求至少抽到一名25周歲以下的工人的概率.規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你依據(jù)已知條件作出22列聯(lián)表，并推斷是否有以上的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān)”？附表及公式：0.1000.0500.0100.001K2.7063.8416.63510.828【學(xué)問點(diǎn)】用樣本估量總體；統(tǒng)計(jì)案例；古典概型.I2I4K2【答案解析】(1)；（2）生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)25周歲以上15456025周歲以下152540合計(jì)3070100沒有以上的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān)”.解析：（1）由已知得，樣本中25周歲以上的工人有60名，25周歲以下的工人有40名，所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上的工人有（名），記為；25周歲以下的工人有(名)，記為.從中隨機(jī)任取2名工人，全部可能的結(jié)果為：,，共10種.2分其中，至少抽到一名25周歲以下的工人的可能得結(jié)果為，，共7種.4分故所求概率.6分（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，25周歲以上的生產(chǎn)能手有（名），25周歲以上的生產(chǎn)能手有（名），8分據(jù)此可得列聯(lián)表如下：生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)25周歲以上15456025周歲以下152540合計(jì)307010010分所以=.由于1.79<2.706，所以沒有以上的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān)”.12分【思路點(diǎn)撥】(1)先求樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人有5人，其中25周歲以下的2人，25周歲以上的3人，逐個(gè)寫出從中隨機(jī)任取2名工人的全部可能結(jié)果，共10種.其中至少抽到一名25周歲以下的工人的可能得結(jié)果有7種，故所求概率；（2）依據(jù)頻率分布直方圖求得：25周歲以上“生產(chǎn)能手”人數(shù)及“非生產(chǎn)能手”人數(shù)；25周歲以下“生產(chǎn)能手”人數(shù)及“非生產(chǎn)能手”人數(shù).從而得列聯(lián)表，然后據(jù)所給公式和附表求值并推斷結(jié)論.K3幾何概型【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省師大附中高三上學(xué)期其次次月考（202210）word版】12、從區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)x，從區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)y，則使得的概率為；【學(xué)問點(diǎn)】幾何概型．K3【答案解析】解析：從區(qū)間[﹣5，5]內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)x，從區(qū)間[﹣3，3]內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)y，對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積為60，使得|x|+|y|≤4，落在矩形內(nèi)的部分，如圖所示，面積為2××（2+8）×3=30，∴所求概率為=．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】從區(qū)間[﹣5，5]內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)x，從區(qū)間[﹣3，3]內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)y，對(duì)應(yīng)的區(qū)域是長(zhǎng)方形，使得|x|+|y|≤4，落在矩形內(nèi)的部分，分別求出面積，即可得出結(jié)論．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省師大附中高三上學(xué)期其次次月考（202210）】12、在區(qū)間[]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為x，則使得的概率為.【學(xué)問點(diǎn)】幾何概型概率公式.K3【答案解析】解析：由于在[]上正弦值大于或等于的區(qū)間是，所以所求=.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)幾何概型的概率公式求解.K4互斥大事有一個(gè)發(fā)生的概率K5相互對(duì)立大事同時(shí)發(fā)生的概率【數(shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（202211）word版】7．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽，商定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，競(jìng)賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝敗相互獨(dú)立，則競(jìng)賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為（▲）。 A． B． C．D．【學(xué)問點(diǎn)】隨機(jī)變量，獨(dú)立大事及其公式，期望K5,K6,K8【答案解析】B解析：依題意知，ξ的全部可能值為2，4，6，

設(shè)每?jī)删指?jìng)賽為一輪，則該輪結(jié)束時(shí)競(jìng)賽停止的概率為。若該輪結(jié)束時(shí)競(jìng)賽還將連續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪競(jìng)賽結(jié)果對(duì)下輪競(jìng)賽是否停止沒有影響．從而有【思路點(diǎn)撥】由題意，競(jìng)賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止，所以隨機(jī)變量ξ的全部可能的取值為2，4，6，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立大事同時(shí)發(fā)生的概率公式求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)大事的概率，再由離散型隨機(jī)的期望公式求出期望．K6離散型隨機(jī)變量及其分布列【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省師大附中高三上學(xué)期其次次月考（202210）word版】17、（本小題滿分12分）壇子中有6個(gè)鬮，其中3個(gè)標(biāo)記為“中獎(jiǎng)”，另外三個(gè)標(biāo)記是“感謝參與”，甲、乙、丙三人份兩輪按甲、乙、丙、甲、乙、丙的挨次依次抽取，當(dāng)有人摸到“中獎(jiǎng)”鬮時(shí)，摸獎(jiǎng)隨即結(jié)束。（1）若按有放回抽取，甲、乙、丙的中獎(jiǎng)概率分別是多少？（2）若按不放回抽取，甲、乙、丙的中獎(jiǎng)概率分別是多少？（3）按不放回抽取，第一輪摸獎(jiǎng)時(shí)有人中獎(jiǎng)則可獲得獎(jiǎng)金10000元，其次輪摸獎(jiǎng)時(shí)才中獎(jiǎng)可獲得獎(jiǎng)金6000元，求甲、乙、丙三人所獲獎(jiǎng)金總額的分布列和數(shù)學(xué)期望?！緦W(xué)問點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．K6【答案解析】（1）;（2）;（3）9800解析：（1）按有放回抽取，甲中獎(jiǎng)概率是：p1=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，乙中獎(jiǎng)的概率是：p2=（1﹣）×+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，丙中獎(jiǎng)的概率是：p3=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．（2）按不放回抽取，甲中獎(jiǎng)概率是：p4=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）×=，乙中獎(jiǎng)的概率是：p5=（1﹣）×=，丙中獎(jiǎng)的概率是：p4=（1﹣）×（1﹣）×=．（3）依題設(shè)知ξ的全部可能取值為6000，10000．且由題設(shè)，得：P（ξ=6000）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）×=，P（ξ=10000）==．故ξ的分布列為：ξ600010000PEξ=6000×+10000×=9800．【思路點(diǎn)撥】（1）按有放回抽取，利用已知條件能求出甲、乙、丙的中獎(jiǎng)概率．（2）按不放回抽取，利用已知條件能求出甲、乙、丙的中獎(jiǎng)概率．（3）依題設(shè)知ξ的全部可能取值為6000，10000，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲、乙、丙三人所獲獎(jiǎng)金總額ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（202211）word版】7．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽，商定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，競(jìng)賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝敗相互獨(dú)立，則競(jìng)賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為（▲）。 A． B． C．D．【學(xué)問點(diǎn)】隨機(jī)變量，獨(dú)立大事及其公式，期望K5,K6,K8【答案解析】B解析：依題意知，ξ的全部可能值為2，4，6，

設(shè)每?jī)删指?jìng)賽為一輪，則該輪結(jié)束時(shí)競(jìng)賽停止的概率為。若該輪結(jié)束時(shí)競(jìng)賽還將連續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪競(jìng)賽結(jié)果對(duì)下輪競(jìng)賽是否停止沒有影響．從而有【思路點(diǎn)撥】由題意，競(jìng)賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止，所以隨機(jī)變量ξ的全部可能的取值為2，4，6，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立大事同時(shí)發(fā)生的概率公式求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)大事的概率，再由離散型隨機(jī)的期望公式求出期望．K7條件概率與大事的獨(dú)立性K8離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布【數(shù)學(xué)理卷·2021屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（202211）word版】7．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽，商定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，競(jìng)賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝敗相互獨(dú)立，則競(jìng)賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為（▲）。 A． B． C．D．【學(xué)問點(diǎn)】隨機(jī)變量，獨(dú)立大事及其公式，期望K5,K6,K8【答案解析】B解析：依題意知，ξ的全部可能值為2，4，6，

設(shè)每?jī)删指?jìng)賽為一輪，