江西省九江市2024屆二模數(shù)學(xué)試題

江西省九江市2024屆二模數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若集合A={x|?2≤x≤4}，B={x|x2?6x≥0}A．[?2,0] B．[0,4] C．2．已知z=2+i1?i，則A．32+32i B．323．若函數(shù)f(x)=ln(ax+1)在（1，2）上單調(diào)遞減，則實數(shù)A．(?∞,0) B．(?12,0)4．第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-InternationalCongreasofMathematicsEducation）在我國上海華東師范大學(xué)舉行.如圖是本次大會的會標(biāo)，會標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，這是中國古代八進(jìn)制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是3×83+7×A．1 B．3 C．5 D．75．在正方體ABCD?A1B1CA．AO∥BB．AO⊥BDC．平面AOB⊥平面CODD．若平面AOB∩平面COD=l，則l//平面6．已知α,β∈(0,π2)，A．π3 B．π4 C．π67．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(5,0)，P為C上一點(diǎn)，以O(shè)P為直徑的圓與A．102 B．153 C．328．已知一個圓臺內(nèi)接于球O（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為(5+32)π，則球A．32π3 B．5π C．205π二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．射擊作為一項綜合運(yùn)動項目，不僅需要選手們技術(shù)上的過硬，更需要他們在臨場發(fā)揮時保持冷靜和專注.第19屆亞運(yùn)會在我國杭州舉行，女子10米氣步槍團(tuán)體決賽中，中國隊以1896.6環(huán)的成績獲得金牌，并創(chuàng)造新的亞洲紀(jì)錄.決賽中，中國選手黃雨婷、韓佳予和王芝琳在最后三輪比賽中依次射擊，成績（環(huán)）如下：

黃雨婷韓佳予王芝琳第4輪105.5106.2105.6第5輪106.5105.7105.3第6輪105106.1105.1則下列說法正確的是A．三輪射擊9項成績極差為1.5B．三輪射擊成績最好的一輪是第五輪C．從三輪射擊成績來看，黃雨婷射擊成績最穩(wěn)定D．從三輪各人平均成績來看，韓佳予表現(xiàn)更突出10．已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P在C上，若定點(diǎn)A．C的準(zhǔn)線方程為x=?2B．△PMF周長的最小值為5C．直線MF的傾斜角為πD．四邊形OPMF不可能是平行四邊形11．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，?x,y∈R，A．f(x)為奇函數(shù)B．f(x)為R上減函數(shù)C．若x≠0，則xf(1D．若f(2)=2，則k=1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．為助力鄉(xiāng)村振興，九江市教科所計劃選派5名黨員教師前往5個鄉(xiāng)村開展“五育”支教進(jìn)鄉(xiāng)村黨建活動，每個鄉(xiāng)村有且只有1人，則甲不派往鄉(xiāng)村A的選派方法有種.13．歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條線稱之為三角形的歐拉線.已知A(0,2)，B(4,2)，C(a,?1)，且△ABC為圓14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，B，C成等差數(shù)列，a2+c2=4，則△ABC面積的最大值是四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)f(x)=(2x?a)ln(x?1)+b(a,b∈R)（1）求a，b的值；（2）判斷f(x)的單調(diào)性.16．2023年10月10日，習(xí)近平總書記來到九江市考察調(diào)研，特別關(guān)注生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展.某生產(chǎn)小型污水處理設(shè)備企業(yè)甲，原有兩條生產(chǎn)線，其中1號生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.85，2號生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.8.為了進(jìn)一步擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，同時響應(yīng)號召，助力長江生態(tài)恢復(fù)，該企業(yè)引進(jìn)了一條更先進(jìn)、更環(huán)保的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線（3號）生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.95.所有生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品除了優(yōu)品，其余均為良品.引進(jìn)3號生產(chǎn)線后，1，2號生產(chǎn)線各承擔(dān)20%的生產(chǎn)任務(wù)，3號生產(chǎn)線承擔(dān)60%的生產(chǎn)任務(wù)，三條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品都均勻放在一起，且無區(qū)分標(biāo)志.（1）現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)檢員，從所有產(chǎn)品中任取一件進(jìn)行檢測，求取出的產(chǎn)品是良品的概率；（2）現(xiàn)某企業(yè)需購進(jìn)小型污水處理設(shè)備進(jìn)行污水處理，處理污水時，需幾臺同型號的設(shè)備同時工作.現(xiàn)有兩種方案選擇：方案一，從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺設(shè)備價格30000元，可先購進(jìn)2臺設(shè)備.若均為優(yōu)品，則2臺就可以完成污水處理工作；若其中有良品，則需再購進(jìn)1臺相同型號設(shè)備才能完成污水處理工作.方案二，從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺23000元.需要三臺同型號設(shè)備同時工作，才能完成污水處理工作.從購買費(fèi)用期望角度判斷應(yīng)選擇哪個方案，并說明理由.17．如圖，三棱錐P?ABC中，BC⊥平面PAC，BC=3，AC=3，PB=5，點(diǎn)E滿足AE=2（1）證明：平面PBE⊥平面ABC；（2）點(diǎn)D在AB上，且BE⊥CD，求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.18．已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓C：x2+y2=1，C經(jīng)過（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與C相切于第一象限的點(diǎn)P，與E相交于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)為Q.當(dāng)|PQ|最大時，求l的方程.19．定義兩個n維向量ai=(xi,1,xi,2,???,xi,n)，aj=(xj,1,xj,2,???,xj,n)的數(shù)量積ai?aj=xi,1xj（1）求2的完美3維向量集；（2）判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；（3）若存在A為T的完美n維向量集，求證：A的所有元素的第k分量和Sk

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由x2?6x≥0，解得x≥6或x≤0，所以B={x|x所以A∩B=[?2,故答案為：A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B，再根據(jù)交集的定義計算可得.2．【答案】D【解析】【解答】整理z=2+i1?i=故答案為：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，再求其共軛復(fù)數(shù).3．【答案】C【解析】【解答】函數(shù)f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，由函數(shù)y=lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)g(x)=ax+1在故答案為：C【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域求解.4．【答案】B【解析】【解答】由進(jìn)位制的換算方法可知，八進(jìn)制77???7︸10個7換算成十進(jìn)制得：810?1=(10?2)10?1=C由C10故答案為：B【分析】換算十進(jìn)制后由等比數(shù)列求和得810?1，改寫成5．【答案】B【解析】【解答】A、由正方體性質(zhì)易知，AB//C1D1，所以A,B,C1,D1四點(diǎn)共面，如圖所示：

B、因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD，又ABCD為正方形，所以BD⊥AC，因為AA1∩AC=A，AA1,AC?C、記平面AOB∩平面COD=l，因為AB//CD，AB?平面COD，CD?平面COD，所以AB//又AB?平面AOB，所以AB//l，所以CD//l，記AB,CD的中點(diǎn)分別為E,F，由正方體性質(zhì)可知，OA=OB，所以O(shè)E⊥AB，所以O(shè)E⊥l，同理，OF⊥l，所以∠EOF是平面AOBD、因為AB//l,AB∩BC故答案為：B【分析】根據(jù)正方體性質(zhì)結(jié)合圖形可知AO,BC1異面，可判斷A；通過證明BD⊥平面ACC1A1，可判斷B；記AB,CD的中點(diǎn)分別為E,F，然后證明6．【答案】A【解析】【解答】因為cos(α?β)=56所以cosα解得cosαcosβ=23sinαsinβ=故答案為：A【分析】利用余弦兩角差公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，即可求出sinαsinβ、cos7．【答案】B【解析】【解答】如圖所示：

設(shè)P(x0,y0)由題意可得PM⊥OM、PN⊥ON，漸近線方程為y=±b故|PM|?|PN|=|b又F(5,0)，故c=5，則解得a2=2或a2=3，則b2故a2=3，b2=2，即故答案為：B.

【分析】結(jié)合題意可得PM⊥OM，PN⊥ON，即可借助點(diǎn)到直線的距離公式表示出|PM|?|PN|=65，即可計算出8．【答案】C【解析】【解答】設(shè)圓臺母線長為l，上、下底面半徑分別為r1和r則圓臺側(cè)面積為S=π(r1+r2)l=π(1+2)l=3πl(wèi)，上、下底面面積分別為π和所以圓臺高h(yuǎn)=l2?(r2?r1作OM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)OM=x，由r12+則有R2=4+x2R2=1+故答案為：C.【分析】利用圓臺表面積和軸截面得母線長和圓臺的高，由勾股定理求出球的半徑，可計算體積.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、三輪射擊9項成績極差為106.5-105=1.5，故A正確；B、第四輪的總成績?yōu)?17.3環(huán)，第五輪的總成績?yōu)?17.5環(huán)，第六輪的總成績?yōu)?16.2環(huán)，故B正確；C、王芝琳的射擊成績波動小，最穩(wěn)定，故C錯誤；D、黃雨婷的平均成績約為105.67，韓佳予的平均成績?yōu)?06，王芝琳的平均成績約為105.33，故D正確.故答案為：ABD.【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算極差判斷選項A；計算各輪總成績判斷選項B，由數(shù)據(jù)波動性判斷選項C，計算平均值判斷選項D.10．【答案】B,D【解析】【解答】拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F(pA、點(diǎn)M(2,3)滿足|MF|=2|OF|，所以(p2?2)2所以拋物線C:y2=4x，則準(zhǔn)線方程為x=?1，焦點(diǎn)為F(1,0)，故A錯誤；

B、過點(diǎn)P作準(zhǔn)線x=?1的垂線，垂足為H，由拋物線的定義可知|PH|=|PF|，

所以C△PMF所以△PMF周長的最小值為5，故B正確；C、因為kMF=3?02?1D、過點(diǎn)M作OF的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，即y2=4xy=3，解得x=34y=故答案為：BD【分析】首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，由距離公式得到方程，即可求出p，求出拋物線方程，即可判斷A、C，根據(jù)拋物線的定義判斷B，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】因為?x,y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)，令x=y=1，可得f(1)+1=f(1)+f(1)，則令x=y=?1，可得f(1)+1=?f(?1)?f(?1)，則f(?1)=?1，令x=y=0，可得f(0)=0，A、令y=?1，可得f(?x)?x=xf(?1)?f(x)，所以f(?x)=?f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故A正確；B、因為f(?1)=?1、f(1)=1，所以f(x)不可能為R上減函數(shù)，故B錯誤；C、令y=1x(x≠0)可得f(1)+1=xf(D、令y=2可得f(2x)+2x=xf(2)+2f(x)，因為f(2)=2，所以f(2x)=2f(x)，所以f(4)=2f(2)=22，f(8)=2f(4)=2所以f(2n)=故答案為：ACD【分析】令x=y=1求出f(1)，令x=y=?1求出f(?1)，再令y=?1即可得到函數(shù)的奇偶性，從而判斷A、B，令y=1x(x≠0)即可判斷C，令y=2結(jié)合f(2)=212．【答案】96【解析】【解答】第一步，由于甲不派往鄉(xiāng)村A，則A地有C4第二步，其他4個鄉(xiāng)村有A44種選派方法，所以共有故答案為：96.【分析】特殊元素優(yōu)先安排，先安排A地，后安排剩余4個鄉(xiāng)村，再結(jié)合分步乘法求解即可.13．【答案】y=1/y?1=0【解析】【解答】依題意22+2F=042+22+4E+2F=0，解得E=?4F=?2，所以圓x2+y2?4x?2y=0，即(x?2)2+(y?1)2=5，

故圓心坐標(biāo)為(2,1)故答案為：y=1【分析】首先將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，即可求出E、F，從而得到圓心坐標(biāo)即△ABC的外心坐標(biāo)，再確定△ABC的重心坐標(biāo)，由外心和內(nèi)心坐標(biāo)即可得歐拉線方程.14．【答案】32【解析】【解答】由A，B，C成等差數(shù)列，2B=A+C，又A+B+C=π，所以B=π3，又a2+c2=4，a2+c2故△ABC面積的最大值為32.因為asinA=csinC所以4sinAsin所以(4故答案為：32；12【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得B，結(jié)合重要不等式及三角形面積公式即可求得三角形面積的最大值；運(yùn)用正弦定理可得sinA=3a2b，15．【答案】（1）解：f'(x)=2ln(x?1)+2x?a則f'(2)=2lnf(2)=(2×2?a)ln即a=1，b=4（2）解：f(x)=(2x?1)ln(x?1)+4，令g(x)=f則g'當(dāng)x∈(1,32)時，g'故g(x)在(1,32即g(x)=f故f(x)在(1,【解析】【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式計算即可得；

（2）借助導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的最值確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)號后即可得原函數(shù)的單調(diào)性16．【答案】（1）解：設(shè)B=“任取一件產(chǎn)品為優(yōu)品”，Ai=“產(chǎn)品為第i號生產(chǎn)線生產(chǎn)”由全概率公式得：P則從所有產(chǎn)品中任取一件是良品的概率為：P(（2）解：選擇方案一，理由如下：設(shè)從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備的費(fèi)用為X元，則X可?。?0000，90000，由（1）知：PP所以E(設(shè)從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備的費(fèi)用為Y元，則E(因為E(故選擇方案一比較合適.【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率計算公式求解即可.

（2）計算兩種不同方案的數(shù)學(xué)期望，比較期望值的大小即可判斷17．【答案】（1）證明：因為BC⊥平面PAC，PE,PC?平面PAC，所以BC⊥PE，又點(diǎn)E滿足AE=2EC，AC=3，所以在Rt△PBC中PC=P在△PCE中，PE=CE=1，所以PC2=P又AC∩BC=C，AC,BC?平面ABC，所以PE⊥平面又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABC.（2）解：由（1）可知PE⊥平面ABC，PE?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，平面PAC內(nèi)過點(diǎn)C作Cz//PE，則Cz⊥平面ABC，又BC⊥平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥AC，如圖建立空間直角坐標(biāo)系：

則C(0,0,0)，A(0,3,0)所以PA=(0,2,?1)設(shè)AD=t所以CD=CA+因為BE⊥CD，所以BE?CD=0，即?所以D為AB的中點(diǎn)，則D(3設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z)則m?CD=設(shè)直線PA與平面PCD所成角為θ，則sinθ=所以直線PA與平面PCD所成角的正弦值為35【解析】【分析】（1）首先由線面垂直的性質(zhì)得到BC⊥PE，BC⊥PC，即可說明PE⊥AC，從而得到PE⊥平面ABC，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.18．【答案】（1）解：依題意得A(a,0),代入C的方程x2+y2又C經(jīng)過E的焦點(diǎn)，得c=1，即a2?由①②解得a=所以E的方程為x2（2）解：解法一：依題意如圖所示：

設(shè)l的方程為y=kx+b(k?0,b?0)，M(則有k=y2?由l與C相切，得|b|k又x122有y2+y則直線OQ的方程為y=?1聯(lián)立方程組y=kx+by=?12kRt△OPQ中，|OP|=1，當(dāng)|PQ|最大時，|OQ|最大，|OQ|=(?由4k2+得|OQ|≤1+18=324，即|OQ|故l的方程為x+2解法二：依題意，設(shè)l的方程為x=my+n(m?0,M(x聯(lián)立方程組x=my+nx22由Δ>0，得m2?n聯(lián)立方程組x=m