2025年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺-“8+3+3”小題速練(10) （含解析）

2025高考數(shù)學(xué)三輪沖刺-“8+3+3”小題速練(10)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個(gè)，投中的個(gè)數(shù)分別為8，5，7，5，8，6，8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）．A5，7 B.6，7 C.8，5 D.8，72．圓心在軸上，半徑為1，且過點(diǎn)的圓的方程是（）A. B.C. D.3．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.20 B.16 C.14 D.124．如圖，將正四棱臺切割成九個(gè)部分，其中一個(gè)部分為長方體，四個(gè)部分為直三棱柱，四個(gè)部分為四棱錐．已知每個(gè)直三棱柱的體積為，每個(gè)四棱錐的體積為，則該正四棱臺的體積為（）A.B.C. D.5．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．如圖，，為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，中心為原點(diǎn)，橢圓的面積為，直線上一點(diǎn)滿足是等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.6．如圖，在邊長為2的菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，且，若，則（）A. B. C.1 D.7．如圖，在正方體中，，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.8．方程所有正根的和為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞減10．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.的實(shí)部為B.的虛部為C.滿足：的復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域的面積為D.對應(yīng)的向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為11．在平面直角坐標(biāo)系中，圓，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為B.已知點(diǎn)，圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C.過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為可以為D.過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則直線恒過定點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．的展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）13.如圖，圓錐底面半徑為，母線PA＝2，點(diǎn)B為PA的中點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)B點(diǎn)，其最短路線長度為________，其中下坡路段長為________．設(shè)嚴(yán)格遞增的整數(shù)數(shù)列，，…，滿足，.設(shè)為，，…，這19個(gè)數(shù)中被3整除的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則的最大值為________，使得取到最大值的數(shù)列的個(gè)數(shù)為________參考答案與詳細(xì)解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】D【解析】數(shù)據(jù)由小到大排列為5，5，6，7，8，8，8，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7．故選：D．2．【答案】A【解析】因?yàn)閳A心在軸上，所以可設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，又點(diǎn)在圓上，所以，解得，所以所求圓的方程為．故選：A3．【答案】D【解析】∵是等差數(shù)列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故選：D．4．【答案】C【解析】設(shè)每個(gè)直三棱柱高為，每個(gè)四棱錐的底面都是正方形，設(shè)每個(gè)四棱錐的底面邊長為，設(shè)正四棱臺的高為，因?yàn)槊總€(gè)直三棱柱的體積為，每個(gè)四棱錐的體積為，則，可得，可得，所以，該正四棱臺的體積為.故選：C.5．【答案】B【解析】由題可知，，即，是以為頂角的等腰三角形，則有：，，，所以，又因?yàn)?，即，，可得：，解得，故離心率為．故選：B．6．【答案】C【解析】設(shè)，可得，有，，故，又由，有，解得，（舍），故為邊，的中點(diǎn)，所以為等邊三角形，故．故選：C．7．【答案】A【解析】若，則為中點(diǎn)，為等腰直角三角形，外接圓半徑為，三棱錐外接球的球心到平面的距離為，則外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，A選項(xiàng)正確；故選：A8．【答案】C【解析】，令，則，即，所以或，當(dāng)時(shí)，即，所以，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即，則，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以也是奇數(shù)，不成立；所以方程所有正根的和為：,故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．【答案】ABD【解析】函數(shù)，當(dāng)，此時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度后得到，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD10．【答案】AC【解析】由，則，所以的實(shí)部為，虛部為，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，設(shè)，則，即，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域（包括圓），則所在區(qū)域的面積為，故C正確；如圖，對應(yīng)的向量為，則向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A，由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，由，如圖可知與直線平行且與直線距離為的其中一條直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，另一條直線與圓相離，即圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故A正確；選項(xiàng)B，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，解得，即，則，即的最小值為，故B正確；選項(xiàng)C，由切點(diǎn)為，則在中，，當(dāng)最小時(shí)，取最大值，最大，過點(diǎn)作，垂足為，此時(shí)最小，最小值為，即最大值為，最大為，不可能為，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)，切點(diǎn)，可得切線方程為，由點(diǎn)在切線上，得，同理可得，故點(diǎn)都在直線上，即直線的方程為，又由點(diǎn)在直線上，則，代入直線方程整理得，由解得，即直線恒過定點(diǎn)，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．【答案】【解析】的通項(xiàng)公式為，令得，，此時(shí)，令得，，此時(shí)，故的系數(shù)為故答案為：13.【答案】①.②.【解析】如圖，將圓錐側(cè)面沿母線PA剪開并展開成扇形，易知該扇形半徑為2，弧長為，故圓心角∠APB＝，最短路線即為扇形中的直線段AB，由余弦定理易知AB＝＝，cos∠PBA＝＝；過P作AB的垂線，垂足為M，當(dāng)螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的過程中，它與點(diǎn)P的距離越來越小，故AM為上坡路段，當(dāng)螞蟻從M點(diǎn)爬行到B點(diǎn)的過程中，它與點(diǎn)P的距離越來越大，故MB為下坡路段，下坡路段長MB＝PB?cos∠PBA＝．故答案為：，.14.【答案】①.18②.25270【解析】第一個(gè)空，設(shè)某個(gè)數(shù)除以余數(shù)為，則稱該數(shù)模余(，均為整數(shù)，且)，為了讓盡可能多的相鄰兩數(shù)之和被3整除，則要盡量多地出現(xiàn)相鄰兩數(shù)一個(gè)模3余1，一個(gè)模3余2這樣的組合，這樣它們之和才會被3整除.而，均為模3余1，則不可能有19組上述組別，最多出現(xiàn)18組上述組別，例如嚴(yán)格遞增數(shù)列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，滿足題意，所以的最大值為18.第二個(gè)空，因?yàn)?-40這40個(gè)數(shù)中，共有27個(gè)數(shù)符合模3余1或模3余2，則要從這27個(gè)數(shù)中選出滿足要求的20個(gè)數(shù).第一步，在到這20個(gè)數(shù)中刪去一個(gè)數(shù)（后面再加回來），使得剩下的19個(gè)數(shù)滿足任意兩個(gè)相鄰數(shù)一個(gè)模3余1，一個(gè)模3余2，這樣就形成了18組，即使得的最大值為18.第二步，將這27個(gè)數(shù)從小到大排列，需要?jiǎng)h去8個(gè)數(shù)得到目標(biāo)19個(gè)數(shù)的數(shù)列.它們中任意相鄰兩數(shù)一個(gè)模3余1，一個(gè)模3余2，因此，需要?jiǎng)h去的8個(gè)數(shù)應(yīng)該為4組相鄰的數(shù).第三步，利用捆綁思想，從27個(gè)數(shù)中刪去4組相鄰的數(shù)等價(jià)于從23個(gè)數(shù)中刪去4個(gè)數(shù).有三種情況：①兩端均刪去，這種情況不滿足要求.因?yàn)槿魞啥司鶆h去，那么1和40必定被刪去，在下一步加出來時(shí)也最多加回1或40中的一個(gè)，而1和40必定在數(shù)列中，因此不滿足.②兩端均不刪去，從中間21個(gè)數(shù)中選4個(gè)數(shù)刪去，有種，再從刪去的8個(gè)數(shù)中拿一個(gè)加回原來的19個(gè)數(shù)中，由種，共有種.③兩端中有一個(gè)被刪去，其余3個(gè)數(shù)從中間21個(gè)數(shù)里