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利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性第五章
函數(shù)應(yīng)用方程解法時(shí)間圖·中國(guó)公元50年—100年一次方程、二次方程和三次方程根11世紀(jì)·北宋·賈憲三次方程正根數(shù)值解法13世紀(jì)·南宋秦九韶特殊的高次方程正根解法7世紀(jì)·隋唐·王孝通三次或三次以上方程方程解法時(shí)間圖·西方
一次方程、二次方程的一般解法1541年·意大利塔爾塔利亞三次方程一般解法1802~1829挪威·阿貝爾證明了五次以上一般方程沒有求根公式記載了費(fèi)拉里的四次方程一般解法9世紀(jì)·阿拉伯花拉子米1545年·意大利卡爾達(dá)諾解方程的歷史思考:下列方程有解嗎?問題引入有求根公式無(wú)求根公式
新知探究利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性探究一:方程的解和相應(yīng)函數(shù)有什么關(guān)系?
與之間的關(guān)系沒有交點(diǎn)(1,0)x2-2x+3=0x2-2x+1=0(-1,0),(3,0)x2-2x-3=0沒有實(shí)數(shù)解x1=x2=1x1=-1,x2=3y=x2-2x+3y=x2-2x+1y=x2-2x-3函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù)的圖像一元二次方程方程的解二次函數(shù)完成下列表格,思考一元二次方程的實(shí)數(shù)解與相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)有什么關(guān)系?問題:方程的實(shí)數(shù)解就是相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。結(jié)論:yxoxyoyxo零點(diǎn)
問題一零點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)嗎?
問題二
函數(shù)都有零點(diǎn)嗎?舉例說(shuō)明。
不是
形數(shù)三個(gè)等價(jià)關(guān)系例題1.求下列函數(shù)的零點(diǎn).(1)f(x)=x2+7x+6;(1)解解方程f(x)=x2+7x+6=0,得x1=-1或x2=-6,所以函數(shù)的零點(diǎn)是-1,-6.(2)f(x)=1-log2(x+3);(2)解解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函數(shù)的零點(diǎn)是-1.題型一求函數(shù)的零點(diǎn)
典例導(dǎo)悟的(2)(1)探究活動(dòng):觀察下列兩組畫面,哪一組畫面的小馬一定過(guò)河了?
探究活動(dòng)探究:怎樣判斷一個(gè)函數(shù)是否存在零點(diǎn)呢?將河流抽象為x軸,將小馬前后的兩個(gè)位置抽象為函數(shù)y=f(x)圖象上兩點(diǎn)A和B。f(a)·f(b)<0abx
oyA(a,f(a))B(b,f(b))問題1:A、B兩點(diǎn)與x軸滿足怎樣的關(guān)系時(shí)它們之間的函數(shù)圖象與x軸一定會(huì)有交點(diǎn)?此時(shí)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足什么條件呢?abx
oyA(a,f(a))B(b,f(b))(2)(1)若只給條件f(a)·
f(b)<0能否保證y=f(x)在(a,b)有零點(diǎn),即函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)?abx
oyA(a,f(a))B(b,f(b))問題2:要求:
函數(shù)圖象連續(xù)Oyxba例如:不能f(a)·
f(b)<0至少有一個(gè)零點(diǎn)利用函數(shù)性質(zhì)判斷方程在某個(gè)區(qū)間上有解的方法:歸納總結(jié)
零點(diǎn)存在定理1.正確使用定理,需滿足什么條件?若不滿足會(huì)如何?
零點(diǎn)存在定理:如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).對(duì)照函數(shù)零點(diǎn)存在定理,每位同學(xué)先獨(dú)立思考后再小組討論下列幾個(gè)問題:討論:2.定理中的至少有一個(gè)零點(diǎn)是什么意思?3.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),則一定有f(a)·f(b)<0嗎?分析:有兩個(gè)條件缺一不可:(1)函數(shù)
y=f(x)在[a,b]上的圖象連續(xù);(2)f(a)f(b)﹤0。
定理解讀1.正確使用定理,需滿足什么條件?若不滿足會(huì)如何?
零點(diǎn)存在定理:如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).“閉區(qū)間連續(xù)”“端點(diǎn)值異號(hào)”
Oyxba定理解讀abOyxba結(jié)論:“連續(xù)”“異號(hào)”若不同時(shí)滿足,則函數(shù)可能有零點(diǎn)也可能沒有零點(diǎn),但若“連續(xù)”“異號(hào)”都成立,則一定有零點(diǎn)!1.正確使用定理,需滿足什么條件?若不滿足會(huì)如何?①函數(shù)
y=f(x)在[a,b]上的圖象連續(xù);②f(a)f(b)﹤0。
零點(diǎn)存在定理:如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).
分析:滿足定理只能判斷零點(diǎn)存在,并不能確定有幾個(gè)零點(diǎn)。定理解讀給定理再加一個(gè)什么條件就能保證函數(shù)有唯一零點(diǎn)?2.定理中的至少有一個(gè)零點(diǎn)是什么意思?1個(gè)5個(gè)
零點(diǎn)存在定理:如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).xyOxyO定理解讀分析:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn),則不一定有f(a)f(b)﹤0成立.
3.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),則一定有f(a)·f(b)<0成立嗎?
若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線,則f(a)·f(b)<0是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間
(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件.
零點(diǎn)存在定理:如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).概念辨析典例導(dǎo)悟題型二判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間解:
變式鞏固題型二判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間解:
A課堂練習(xí)
課堂練習(xí)
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)?又學(xué)到了哪些重要的數(shù)學(xué)思想?課堂小結(jié)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)三個(gè)等價(jià)關(guān)系三
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