中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講專(zhuān)題22 矩形的性質(zhì)與判定（原卷版）

專(zhuān)題22矩形的性質(zhì)與判定中考命題解讀中考命題解讀矩形是一種特殊的平行四邊形,也是中考的必考內(nèi)容.為考查同學(xué)們分析能力、想象能力、探究能力和創(chuàng)新能力,矩形開(kāi)放題便成了各地中考命題的熱點(diǎn)?？紭?biāo)要求考標(biāo)要求1.掌握矩形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用矩形的性質(zhì)和判；2.會(huì)運(yùn)用矩形的知識(shí)解決有關(guān)矩形定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題問(wèn)題?？键c(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．考點(diǎn)2：矩形的性質(zhì)矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)：①邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等．②角的性質(zhì)：四個(gè)角都是直角．③對(duì)角線性質(zhì)：對(duì)角線互相平分且相等．④對(duì)稱(chēng)性：矩形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．直角三角形中，角所對(duì)的邊等于斜邊的一半．點(diǎn)評(píng)：這兩條直角三角形的性質(zhì)在教材上是應(yīng)用矩形的對(duì)角線推得，用三角形知識(shí)也可推得．考點(diǎn)3：矩形的判定判定①：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．判定②：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．判定③：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．母題精講母題精講【典例1】（2022春?開(kāi)州區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DF垂直平分OC，交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接AF，若BD＝2，DF＝2，則AF的長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．3【變式1-1】（2021春?盤(pán)龍區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE垂直AC交AD于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【變式1-2】（2022?武功縣模擬）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE垂直平分BO，若AE＝2，則OD＝（）A．2 B．3 C．4 D．6【典例2】（2021?貴港）如圖，在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB＝，則tan∠DEC的值是．【變式2-1】（2020?威海）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線l3，l4，l2，l1上．若直線l1∥l2∥l3∥l4且間距相等，AB＝4，BC＝3，則tanα的值為（）A． B． C． D．【變式2-2】（2021?邵陽(yáng)）如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．若sin∠ADE＝，AD＝4，則AB的長(zhǎng)為．【典例3】（2022?威海）（1）將兩張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形紙片如圖1疊放．①判斷四邊形AGCH的形狀，并說(shuō)明理由；②求四邊形AGCH的面積．（2）如圖2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四邊形AGCH的面積．【變式3】（2021?安順）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足為N．（1）求證：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四邊形BCMN的面積．【典例4】（2022?六盤(pán)水）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【變式4-1】（2022?巴中）如圖，?ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EC至點(diǎn)G，使CG＝CE，連接DG、DE、FG．（1）求證：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求證：四邊形DEFG是矩形．【變式4-2】（2022?泰州）如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線．（1）求證：AF與DE互相平分；（2）當(dāng)線段AF與BC滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ADFE為矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式4-3】（2022?十堰）如圖，?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)．（1）求證：BE＝DF；（2）設(shè)＝k，當(dāng)k為何值時(shí)，四邊形DEBF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．真題精選真題精選命題點(diǎn)1矩形的判定命題點(diǎn)1矩形的判定1．（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定?ABCD為矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD2．（2021?無(wú)錫）如圖，D、E、F分別是△ABC各邊中點(diǎn)，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．△BDE和△DCF的面積相等 B．四邊形AEDF是平行四邊形 C．若AB＝BC，則四邊形AEDF是菱形 D．若∠A＝90°，則四邊形AEDF是矩形3．（2019?臨沂）如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N是BD上兩點(diǎn)，BM＝DN，連接AM、MC、CN、NA，添加一個(gè)條件，使四邊形AMCN是矩形，這個(gè)條件是（）A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND4．（2020?廣西）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使DF＝DE，連接AF，BF，BE．（1）求證：△ADE≌△BDF．（2）若∠ABE＝∠CBE，求證：四邊形AFBE是矩形．5．（2020?賀州）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，E，G分別是AC，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠FCA＝∠CEG．（1）求證：AD∥CF；（2）求證：四邊形ADCF是矩形．命題點(diǎn)2矩形的性質(zhì)及其應(yīng)用命題點(diǎn)2矩形的性質(zhì)及其應(yīng)用6．（2022?安徽）兩個(gè)矩形的位置如圖所示，若∠1＝α，則∠2＝（）A．α﹣90° B．α﹣45° C．180°﹣α D．270°﹣α7．（2021?西藏）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E、F分別是AB，AO的中點(diǎn)，且AC＝8．則EF的長(zhǎng)度為（）A．2 B．4 C．6 D．88．（2022?泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（）A． B． C．﹣ D．﹣29．（2019?百色）四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，矩形ABCD按箭頭方向變形成平行四邊形A'B'C'D'，當(dāng)變形后圖形面積是原圖形面積的一半時(shí)，則∠A'＝．10．（2022?青海）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AB＝3，BC＝4，則圖中陰影部分的面積為．11．（2022?吉林）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且AF＝AC，連接EF．若AC＝10，則EF＝．（2022?邵陽(yáng)）已知矩形的一邊長(zhǎng)為6cm，一條對(duì)角線的長(zhǎng)為10cm，則矩形的面積為cm2．13．（2021?錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以點(diǎn)B為圓心、BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AD于點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)C，E為圓心、大于CE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線BF交CD于點(diǎn)G，則CG的長(zhǎng)為．14．（2021?阜新）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD邊上，GH為折痕，已知AB＝6，BC＝10．當(dāng)折痕GH最長(zhǎng)時(shí)，線段BH的長(zhǎng)為．15．（2022?湘西州）如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△AEF≌△BEC．（2）若CD＝4，∠F＝30°，求CF的長(zhǎng)．16．（2022?鄂州）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求證：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面積．17．（2022?山西）如圖，在矩形ABCD中，AC是對(duì)角線．（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)E，交邊BC于點(diǎn)F（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母）．（2）猜想與證明：試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．18．（2022?蘇州）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，AE與CD交于點(diǎn)F．（1）求證：△DAF≌△ECF；（2）若∠FCE＝40°，求∠CAB的度數(shù)．19．（2022?麗水）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，