【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-3學(xué)案：《二項(xiàng)式系數(shù)的應(yīng)用》

第10課時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的應(yīng)用1.嫻熟把握二項(xiàng)開放式的通項(xiàng)公式.2.留意二項(xiàng)式定理在解決有關(guān)組合數(shù)問題中的應(yīng)用.3.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).觀看下面的三角形相鄰兩行數(shù):請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律寫出下一行的數(shù)值.問題1:從上述楊輝三角中你發(fā)覺的規(guī)律是對(duì)稱性,二項(xiàng)式系數(shù)有哪些性質(zhì)?(1)對(duì)稱性:與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即.

(2)增減性與最大值:二項(xiàng)式系數(shù)Cnr,當(dāng)r<n+12時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的;當(dāng)r>n+12時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的.當(dāng)n當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)和相等,且同時(shí)取得最大值.

(3)(a+b)n的開放式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即.

(4)二項(xiàng)開放式中,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和,即.

問題2:二項(xiàng)式系數(shù)與開放式項(xiàng)的系數(shù)的異同在Tr+1=Cnran-rbr中,Cnr就是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),它與a,b的值無(wú)關(guān),而T問題3:二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(1)通項(xiàng)的應(yīng)用:利用二項(xiàng)開放式的通項(xiàng)可求等.

(2)開放式的應(yīng)用:利用開放式可證明與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的等式;可證明不等式;可證明整除問題;可做近似計(jì)算等.問題4:二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)不同,在求某幾項(xiàng)的系數(shù)的和時(shí)留意法的應(yīng)用.

1.若(x+1x)n開放式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則開放式的常數(shù)項(xiàng)為()A.10 B.20 C.30 D.1202.設(shè)(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,則開放式中系數(shù)最大的項(xiàng)是().A.15x2 B.20x3 C.21x3 D.35x33.(1+x)3(1+1x)3的開放式中1x的系數(shù)是4.若等式x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5對(duì)一切x∈R都成立,其中a0,a1,a2,…,a5為實(shí)常數(shù),求a4的值.賦值法求開放式各項(xiàng)系數(shù)的和已知(3x-1)7=a0x7+a1x6+…+a6x+a7,求a0+a1+a2+…+a6+a7的值.用二項(xiàng)式定理求三項(xiàng)式的開放式的項(xiàng)(x2+1x+2)5的開放式整理后的常數(shù)項(xiàng)為與二項(xiàng)式定理中開放式系數(shù)有關(guān)的綜合題已知(1+2x)n的開放式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等,求開放式中系數(shù)最大的項(xiàng).已知(3x-1)7=a0x7+a1x6+…+a6x+a7,求a1+a3+a5+a7的值.求(x+1x-2)5開放式中的常數(shù)項(xiàng)已知(1+2x)n的開放式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等,求(1-2x)n開放式中系數(shù)最大項(xiàng).1.(1-x)9的開放式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是().A.第4項(xiàng) B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng) D.第5項(xiàng)和第6項(xiàng)2.(2x-1)10的開放式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為().A.1+3102 C.310-123.在(x2+3x+2)5的開放式中,x的系數(shù)為.

4.設(shè)(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,當(dāng)a0+a1+a2+…+an=254時(shí),求n的值.(2022年·浙江卷)在(1+x)6(1+y)4的開放式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=().A.45 B.60 C.120 D.210考題變式(我來(lái)改編):二項(xiàng)式

定理賦值法第10課時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)的應(yīng)用學(xué)問體系梳理問題1:(1)Cnm=Cnn-m(2)Cn

n2Cn

n-12Cn

n+12(3)Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnr+問題3:(1)指定的項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)問題4:賦值基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.B令x=1,有2n=64?n=6,Tr+1=C6rx6-r·x-r=C6rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,∴T4=2.B令x=0,可得a0=1.令x=1,則(1+1)n=Cn0+Cn1+…+Cnn=64,∴n=6.故(1+x)6的開放式中最大項(xiàng)為T4=C63x3.15利用二項(xiàng)式定理得(1+x)3(1+1x)3的開放式的各項(xiàng)為C3rxr·C3nx-n令r-n=-1,故可得開放式中含1x項(xiàng)的是C30·C31x+C31·C32x+C32·C34.解:x5=[(1+x)-1]5=C50(1+x)5(-1)0+C51(1+x)4(-1)1+C52(1+x)3(-1)2+C53(1+x)2(-1)3+C54(1+x)·(-1)4+C55(-1)5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】令x=1得a0+a1+a2+…+a7=27.【小結(jié)】依據(jù)二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式,在這個(gè)恒等式中給定字母一些特殊的值可以求出各項(xiàng)系數(shù)和、差等問題,這就是賦值法,其依據(jù)就是恒等式對(duì)字母取任意值恒成立,當(dāng)然對(duì)特殊值也成立,這個(gè)方法體現(xiàn)了一般與特殊的數(shù)學(xué)思想方法.探究二:【解析】(法一)(x2+1x+2)5=[(x2+1x)+2]5,通項(xiàng)公式Tk+1=C5k2k2(x2+1x)5-k,(x2+1x)5-k的通項(xiàng)公式為Tr+1=C5-krx-rx5-k-r2-(5-k-r)=C5-krx5-2r-k2k+r-5,令5-2r-k=0,則k+2r=當(dāng)k=1,r=2時(shí),得開放式中項(xiàng)為C51C42當(dāng)k=3,r=1時(shí),得開放式中項(xiàng)為C53C2122·當(dāng)k=5,r=0時(shí),得開放式中項(xiàng)為C5542=4綜上,(x2+1x+2)5的開放式整理后的常數(shù)項(xiàng)為1522+202+4(法二)(x2+1x+2)5=(x2+22x+22x)5=[(x+2)2]5(2x)5=(x+2)10(2x)5,在二項(xiàng)式(x+2)10【小結(jié)】法一、法二的共同特點(diǎn)是利用轉(zhuǎn)化思想,把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來(lái)解決.探究三:【解析】T6=Cn5(2x)5,T7=Cn6(2x)6,依題意有Cn525=Cn626,解得n=8,(1+2x)8的開放式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=C84[問題]二項(xiàng)式的項(xiàng)的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)嗎?[結(jié)論]不是,二項(xiàng)式系數(shù)只與二項(xiàng)式中的冪指數(shù)有關(guān),而項(xiàng)的系數(shù)除了和二項(xiàng)式中的冪指數(shù)有關(guān)外,還與a和b的系數(shù)有關(guān),求項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)利用通項(xiàng)公式求解.正確解答如下:T6=Cn5(2x)5,T7=Cn6(2x)6,依題意有Cn525=Cn626,解得n=8,(1+2x)則有C即8化簡(jiǎn)得2化簡(jiǎn)得5≤r≤6,∴r=5或r=6,∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=1792x5,T7=1792x6.【小結(jié)】求(xa+yb)n的開放式中系數(shù)最大的項(xiàng)問題:①當(dāng)a、b均為正值時(shí),直接由Tr+1②也可以依據(jù)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的正負(fù),先對(duì)系數(shù)最大項(xiàng)的狀況加以推斷后,再利用不等式求解;③當(dāng)開放式的項(xiàng)數(shù)較少時(shí),也可直接將各正項(xiàng)的系數(shù)求出后比較求得.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:令f(x)=a0x7+a1x6+…+a7,則有f(1)=a0+a1+a2+…+a7=27,f(-1)=-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-47,則有2(a1+a3+a5+a7)=f(1)+f(-1)=27-47,所以a1+a3+a5+a7=26-213=-8128.應(yīng)用二:由于(x+1x-2)5=(x2-2x+1x)5=1x5(x-1)10,故Tr+1=1x5C10rx10-r(-若Tr+1為常數(shù)項(xiàng),則5-r=0,即r=5,所以T6=(-1)5C105x0=-C105=-252.所以開放式中的常數(shù)項(xiàng)是應(yīng)用三:在開放式中項(xiàng)的系數(shù)是正負(fù)間隔消滅的,系數(shù)最大的項(xiàng)只能消滅在奇數(shù)項(xiàng),由題意可知n=8,設(shè)第r+1(r為偶數(shù))項(xiàng)的系數(shù)最大,則有C8r(-2)r≥C基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.B由通項(xiàng)公式得第r+1項(xiàng)的系數(shù)為(-1)rC9r,故r=4,即第52.B設(shè)(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,令x=1,得1=a0+a1+a2+…+a10,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+…-a9+a10,兩式相減可得a1+a3+…+a9=1-3103.240∵(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,∴在(x+1)5開放式中,常數(shù)項(xiàng)為1,含x的項(xiàng)為C51=5在(2+x)5開放式中,常數(shù)項(xiàng)為25=32,含x的項(xiàng)為C5124x=80∴開放式中含x的項(xiàng)為1·(80x)+5x(32)=240x,∴此開放式中x的系數(shù)為240.4.解:令x=1,得a0+a1+a2+