2022高三一輪復習學案(理數(shù))(人教)第七章-立體幾何與空間向量-第5課時-空間向量及其運算

第5課時空間向量及其運算考綱索引1.空間向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積運算.2.空間向量的有關(guān)有關(guān)定理.3.空間向量的坐標運算.課標要求1.了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,把握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.把握空間向量的線性運算及其坐標表示.3.把握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示,能運用向量的數(shù)量積推斷向量的共線與垂直.學問梳理1.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理:對空間任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使得.

(2)共面對量定理:假如兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使.

(3)空間向量基本定理:假如三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使得.其中,{a,b,c}叫做空間的一個.

推論:設O,A,B,C是不共面的四點,則對空間任一點P,都存在唯一的一個有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使.

2.兩個向量的數(shù)量積(1)兩向量的夾角:已知兩個非零向量a,b,在空間中任取一點O,作=a,=b,則叫做向量a,b的夾角,記作<a,b>.通常規(guī)定≤<a,b>≤.若<a,b>=,則稱向量a,b相互垂直,記作a⊥b.

(2)兩向量的數(shù)量積:兩個非零向量a,b的數(shù)量積a·b=.

(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)(e是單位向量):①a·e=|a|;②a⊥b?a·b=;

③|a|2=a·a=;④|a·b||a||b|.

(4)向量的數(shù)量積滿足如下運算律:①(λa)·b=λ(a·b);②a·b=(交換律);

③a·(b+c)=(支配律).

3.空間向量的坐標運算基礎(chǔ)自測1.下列命題:①若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行;②若向量a,b所在的直線為異面直線,則向量a,b確定不共面;③若三個向量a,b,c兩兩共面,則向量a,b,c共面;④已知空間的三個向量a,b,c,則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正確命題的個數(shù)是().A.0B.1C.2D.2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b相互垂直,則k的值為()3.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是().4.已知四邊形ABCD為平行四邊形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),則點D的坐標為.

5.已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),則a,b的夾角的余弦值為.

指點迷津【想一想】兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同嗎?【答案】不相同.兩向量夾角的范圍是[0,π],兩異面直線所成角的范圍是.考點透析考向一空間向量的線性運算

【方法總結(jié)】空間向量的概念及運算是由平面對量延長而來的,要用類比的思想去把握.在空間向量的加、減、數(shù)乘等線性運算中,要選擇適當?shù)南蛄繛榛?用基向量表示出相關(guān)向量后再進行向量的運算,同時還要以相應的圖形為指導.變式訓練考向二空間向量的坐標運算

例2已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c.求:(1)a,b,c;(2)a+c與b+c所成角的余弦值.【方法總結(jié)】空間向量的坐標運算使向量的運算擺脫了形的制約,可以將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系,將規(guī)律推理轉(zhuǎn)化成數(shù)量計算,可以化繁為簡,因此是處理空間問題的一種重要工具和方法.變式訓練考向三共線、共面對量定理的應用

例3已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點.(1)求證:E,F,G,H四點共面;(2)求證:BD∥平面EFGH;(3)設M是EG和FH的交點,求證:對空間任一點O,有.【方法總結(jié)】在求一個向量由其他幾個向量來表示的時候,通常是利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點,把要求的向量逐步分解,向已知向量靠近,進行求解.若要證明兩直線平行,只需判定兩直線所在的向量滿足線性關(guān)系a=λb(λ≠0),即可判定兩直線平行.變式訓練經(jīng)典考題典例(2022·南京一模)P是二面角α-AB-β棱上的一點,分別在平面α,β上引射線PM,PN,假如∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小為.

【解題指南】利用向量的數(shù)量積為0,求得二面角為90°.【解】不妨設PM=a,PN=b,如圖,作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F,真題體驗1.(2022·全國新課標Ⅱ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成的角的余弦值為(2.(2022·廣東)已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a成60°夾角的是().A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)3.(2022·北京)在空間直角坐標系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),.若S1,S2,S3分別是三棱錐D-ABC在xOy,yOz,zOx坐標平面上的正投影圖形的面積,則(