【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2導(dǎo)學(xué)案：《定積分的基本定理》

第2課時(shí)微積分基本定理1.直觀了解并把握微積分基本定理的含義.2.會(huì)利用微積分基本定理求函數(shù)的積分.1664年秋,牛頓開(kāi)頭爭(zhēng)辯微積分問(wèn)題,他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》,對(duì)笛卡兒求切線的“圓法”產(chǎn)生了深厚的愛(ài)好并試圖查找更好的方法,以前,面積總是被看成是無(wú)限小不行重量之和,牛頓則從確定面積的變化率入手,通過(guò)反微分計(jì)算面積.牛頓不僅揭示了面積計(jì)算與求切線的互逆關(guān)系,而且格外明確的把它作為一般規(guī)律揭示出來(lái),從而奠定了微積分普遍算法的基礎(chǔ).從1684年起,萊布尼茲發(fā)表了很多微積分論文.他的第一篇微分學(xué)文章《一種求極大值微小值和切線的新方法》是世界上最早公開(kāi)發(fā)表的關(guān)于微分學(xué)的文獻(xiàn).在這篇論文中,他簡(jiǎn)明地解釋了他的微分學(xué),文中給出了微分的定義和基本的微分法則.問(wèn)題1:(1)函數(shù)的原函數(shù)假如連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù),即,通常稱(chēng)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù).

(2)微積分基本定理假如連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù),即f(x)=F'(x),則有abf(x)dx=,問(wèn)題2:由微積分定理知求函數(shù)f(x)的定積分關(guān)鍵在于找到滿(mǎn)足F'(x)=f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x),完成下表,寫(xiě)出常見(jiàn)函數(shù)的原函數(shù).函數(shù)f(x)C(C是常數(shù))xn(n≠-1)1sinxcosxax(a>0且a≠1)ex原函數(shù)F(x)

問(wèn)題3:若f(x)是偶函數(shù),則-aaf(x)dx=;若f(x)是奇函數(shù),則-aaf(1.若F'(x)=x2,則F(x)的解析式肯定不正確的是().A.F(x)=13x3 B.F(x)=xC.F(x)=13x3+1 D.F(x)=13x3+c(c2.-11|x|dx等于(A.-11xdx B.-11C.-10(-x)dx+01xdx D.-10x3.已知t>0,若0t(2x-1)dx=6,則t=4.計(jì)算定積分:-11(x2+sinx求簡(jiǎn)潔函數(shù)的定積分計(jì)算下列定積分:(1)121xdx;(2)13(2x-1x2)dx;(3)-求較簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分計(jì)算下列定積分:(1)121x2+2xdx;(2)0π2sin2x2dx定積分中的參數(shù)問(wèn)題求定積分-43計(jì)算下列定積分.(1)14(3x2-2x-8)d(2)04π(cosx-sinx)(3)12(ex-1x計(jì)算下列定積分.(1)0π2cos2x(2)-11(xcosx-5sinx+2)(3)12|3-2x|求定積分:02|x-a|1.05(2x-4)dx=(A.5 B.4 C.3 D.22.若1a(2x+1x)dx=3+ln2,且a>1,則a的值為(A.6 B.4 C.3 D.23.-43|x+2|d4.計(jì)算下列定積分.(1)49x(1+x)dx;(2)12(ex(2022年·江西卷)計(jì)算定積分-11(x2+sinx)d考題變式(我來(lái)改編):答案第2課時(shí)微積分基本定理學(xué)問(wèn)體系梳理問(wèn)題1:(1)F'(x)=f(x)(2)F(b)-F(a)問(wèn)題2:Cxxn+1n+1lnx-cosxsinx問(wèn)題3:20af(x)d基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.B由于(x3)'=3x2,所以F(x)=x3不正確.2.C由于x=-x,3.30t2x-1)dx=(x2-4.解:∵(13x3-cosx)'=x2+sinx∴-11x重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)由于(lnx)'=1x,所以121(2)由于(x2)'=2x,(1x)'=-1x2,所以132x-1x2)dx=132dx-1(3)-π0cosx-【小結(jié)】求簡(jiǎn)潔函數(shù)的定積分關(guān)鍵留意兩點(diǎn):(1)把握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,正確求解被積函數(shù)的原函數(shù),當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí),可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解;(2)精確定位積分區(qū)間,分清積分下限與積分上限.探究二:【解析】(1)121x2+2(2)0π2sin2(3)03x2-4|d【小結(jié)】當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí),可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解.具體方法是能化簡(jiǎn)的化簡(jiǎn),不能化簡(jiǎn)的變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦、余弦函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差.探究三:【解析】(1)當(dāng)-a≤-4即a≥4時(shí),原式=-4(2)當(dāng)-4<-a<3即-3<a<4時(shí),原式=-=a22-4a+8+(a22+3a+92)(3)當(dāng)-a≥3即a≤-3時(shí),原式=-43x+a綜上所述,得-43【小結(jié)】對(duì)于含有確定值符號(hào)的被積函數(shù),要去掉確定值符號(hào)才能積分.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)原式=(2)原式(3)原式=1應(yīng)用二:(1)0=1=12[(π2-0)-12(sin2×π2-sin0(2)由于y=xcosx-5sinx為奇函數(shù),所以11(3)1基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.A052x-4)dx=(x2-4x)05=(52.D由1a2x+1x)dx=(x2+lnx)1a=a2+lna-3.292原式=-4-4.解:(1)∵x(1+x)=x+x,又∵(23x32)'=x12=x,(∴49x(1+x)dx=49x=23x32

9

4+12x2

9

4=23×(9=23×(27-