【名師一號】2020-2021學年人教A版高中數學選修2-1雙基限時練19

雙基限時練(十九)1．在空間直角坐標系O－xyz中，下列說法中正確的是()A．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐標與點B的坐標相同B．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐標與點A的坐標相同C．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐標與向量eq\o(OB,\s\up16(→))的坐標相同D．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐標與eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))的坐標相同解析在空間直角坐標系中，從原點動身的向量的坐標等于終點的坐標，不從原點動身的向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐標等于終點的坐標減去始點的坐標，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)).答案D2．以下四個命題中正確的是()A．空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構成空間向量的另一組基底C.△ABC為直角三角形的充要條件是eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0D．任何三個不共線的向量都可構成空間向量的一個基底答案B3．下列說法不正確的是()A．只要空間的三個基本向量的模為1，那么它們就是空間的一個單位正交基底B．豎坐標為0的向量平行于x軸與y軸所確定的平面C．縱坐標為0的向量都共面D．橫坐標為0的向量都與x軸上的基向量垂直答案A4．從空間一點動身的三個不共線的向量a，b，c確定的平面?zhèn)€數是()A．1 B．2C．3 D．1或3解析當三個向量共面時，可確定一個平面，當三個向量不共面時，可以確定三個平面．答案D5．正方體ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分別是AC，AB′，AD′，的中點，以{eq\o(AO1,\s\up16(→))，eq\o(AO2,\s\up16(→))，eq\o(AO3,\s\up16(→))}的基底，eq\o(AC′,\s\up16(→))＝xeq\o(AO1,\s\up16(→))＋yeq\o(AO2,\s\up16(→))＋zeq\o(AO3,\s\up16(→))，則x，y，z的值是()A．x＝y(tǒng)＝z＝1 B．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y(tǒng)＝z＝2解析eq\o(AC′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BB′,\s\up16(→))＋eq\o(B′C′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB′,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up16(→))＝eq\o(AO1,\s\up16(→))＋eq\o(AO2,\s\up16(→))＋eq\o(AO3,\s\up16(→)).對比eq\o(AC′,\s\up16(→))＝xeq\o(AO1,\s\up16(→))＋yeq\o(AO2,\s\up16(→))＋zeq\o(AO3,\s\up16(→))，知x＝y(tǒng)＝z＝1.答案A6．設{e1，e2，e3}是空間向量的一個單位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－2e1＋4e2＋2e3，則向量a，b的坐標分別是________．答案a＝(3,2，－1)，b＝(－2,4,2)7．若{a，b，c}構成空間的一個基底，且存在實數x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z滿足的條件是__________．解析∵{a，b，c}構成空間的一個基底，∴a，b，c都是非零向量．由0＝xa＋yb＋zc知，x＝y(tǒng)＝z＝0.答案x＝y(tǒng)＝z＝08．在四周體O－ABC中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up16(→))＝__________(用a，b，c表示)．解析eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)·eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c9．已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PC，PD上的點，PM＝2MC，N為PD的中點，求滿足eq\o(MN,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋yeq\o(AD,\s\up16(→))＋zeq\o(AP,\s\up16(→))的實數x，y，z的值．解如圖所示，取PC的中點E，連接NE，則eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(EN,\s\up16(→))－eq\o(EM,\s\up16(→)).由題意易知eq\o(EN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(EM,\s\up16(→))＝eq\o(PM,\s\up16(→))－eq\o(PE,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up16(→))，連接AC，則eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AP,\s\up16(→)).∴eq\o(MN,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AP,\s\up16(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up16(→)).∴x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).10．如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分別為底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M為B1B的中點，N在C1C上，且C1N:NC(1)若以O為原點，分別以OA，OB，OO1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求圖中各點的坐標；(2)若以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求圖中各點的坐標．解(1)正方形ABCD中，AB＝6，∴AC＝BD＝6eq\r(2)，從而OA＝OC＝OB＝OD＝3eq\r(2).∴各點坐標分別為A(3eq\r(2)，0,0)，B(0,3eq\r(2)，0)，C(－3eq\r(2)，0,0)，D(0，－3eq\r(2)，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(3eq\r(2)，0,4)，B1(0,3eq\r(2)，4)，G1(－3eq\r(2)，0,4)，D1(0，－3eq\r(2)，4)，M(0,3eq\r(2)，2)，N(－3eq\r(2)，0,3)．(2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)．11．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，取eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝c作為基底．(1)求eq\o(BD1,\s\up16(→))；(2)若M，N分別為邊AD，CC1的中點，求eq\o(MN,\s\up16(→)).解(1)eq\o(BD1,\s\up16(→))＝eq\o(AD1,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DD1,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝b＋c－a.(2)eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up16(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.12．如圖所示，在三棱錐O－ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F分別為AC，BC的中點，建立以eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))方向上的單位向量為正交基底的空間坐標系O－xyz.求EF中點P的坐標．解令Ox，Oy，Oz軸方向上的單位向量分別為i，j，k.∵eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(EP,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＋eq\f