2022高三一輪復(fù)習(xí)學(xué)案(理數(shù))(人教)第六章-不等式與推理證明-第4課時(shí)-直接證明與間接證明

第4課時(shí)直接證明與間接證明考綱索引1.分析法和綜合法的形式.2.分析法和綜合法的聯(lián)系與區(qū)分.課標(biāo)要求1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法,了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).2.了解間接證明的一種基本方法——反證法,了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn).學(xué)問(wèn)梳理1.直接證明(1)綜合法①定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最終推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做.

②框圖表示:P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示要證的結(jié)論).(2)分析法①定義:從要證明的結(jié)論動(dòng)身,逐步尋求使它成立的充分條件,直到最終,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.這種證明方法叫做法.

②框圖表示:Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一個(gè)明顯成立的條件.2.間接證明一般地,由證明p?q轉(zhuǎn)向證明:q?r?…?t.t與假設(shè)沖突,或與某個(gè)真命題沖突.從而判定q為假,推出q為真的方法,叫做.

基礎(chǔ)自測(cè)2.否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí),正確的反設(shè)為().A.a,b,c都是奇數(shù)B.a,b,c都是偶數(shù)C.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)3.命題“對(duì)于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的證明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”過(guò)程應(yīng)用了().A.分析法 B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法4.(教材改編)用反證法證明命題:“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為.

指點(diǎn)迷津◆一個(gè)關(guān)系綜合法與分析法是一種互逆關(guān)系:即相逆的推理過(guò)程.◆兩個(gè)防范(1)利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,并用假設(shè)命題進(jìn)行推理,沒有用假設(shè)命題推理而推出沖突結(jié)果,其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的.(2)用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要留意書寫格式證明的規(guī)范性,經(jīng)常用“要證(欲證)……”“即要證……”“就要證……”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng),再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立.考點(diǎn)透析考向一綜合法的應(yīng)用

【方法總結(jié)】(1)綜合法的思維特點(diǎn)是:由已知推出結(jié)論.用綜合法證明不等式時(shí)常用的重要不等式有:a2≥0;a2+b2≥2ab(a,b∈R);≥(a>0,b>0);+≥2(a,b同號(hào))等.(2)由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以依據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出的,所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接依據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來(lái)證明.變式訓(xùn)練考向二分析法的應(yīng)用

【審題視點(diǎn)】用分析法轉(zhuǎn)化為余弦(正弦)函數(shù)值的推斷.【方法總結(jié)】分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法,就證明程序來(lái)講,它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的規(guī)律推理方法.具體地說(shuō),即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當(dāng)這些推斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證.變式訓(xùn)練2.已知△ABC三邊a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,證明:B為銳角.考向三反證法

(1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.【審題視點(diǎn)】(1)用增函數(shù)定義證明;(2)假設(shè)有負(fù)數(shù)根,依據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)證出沖突.【方法總結(jié)】當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式毀滅時(shí),宜用反證法來(lái)證,反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出沖突,沖突可以是:①與已知條件沖突;②與假設(shè)沖突;③與定義、公理、定理沖突;④與事實(shí)沖突等方面,反證法經(jīng)常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具,是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器.變式訓(xùn)練3.用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是().A.方程x2+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x2+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x2+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根經(jīng)典考題【解題指南】W是滿足條件的集合,用綜合法探究元素與集合的關(guān)系.用綜合法求m值,用反證法證明第(3)問(wèn).所以p=r,與p≠r沖突.所以{Cn}中任意不同的三項(xiàng)都不能成為等比數(shù)列.真題體驗(yàn)1.(2022·全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中,正確的是().A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)2.(2022·四川)以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合,B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ(x)組成的集合:對(duì)于函數(shù)φ(x),存在一個(gè)正數(shù)M,使得函數(shù)φ(x)的值域包含于區(qū)間[-M,M].例如,當(dāng)φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx時(shí),φ1(x)∈A,φ2(x)∈B