【全程復(fù)習(xí)方略】2020年人教A版數(shù)學(xué)理(廣東用)課時(shí)作業(yè)：第十章-第九節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差

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(D)A4二、填空題7.若隨機(jī)變量ξ的分布列為:P(ξ=m)=QUOTE,P(ξ=n)=a.若E(ξ)=2,則D(ξ)的最小值等于.8.某畢業(yè)生參與人才聘請(qǐng)會(huì),分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷.假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為QUOTE,得到乙、丙兩公司面試的概率均為p,且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù).若P(X=0)=QUOTE,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.9.拋擲兩枚骰子,至少有一個(gè)4點(diǎn)或5點(diǎn)毀滅時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,則在10次試驗(yàn)中,成功次數(shù)X的期望是.10.(力氣挑戰(zhàn)題)設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為p,進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),當(dāng)p=______時(shí),成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大,其最大值為.三、解答題11.某同學(xué)向如圖所示的圓形靶投擲飛鏢,飛鏢落在靶外(環(huán)數(shù)記為0)的概率為0.1,飛鏢落在靶內(nèi)的各個(gè)點(diǎn)是隨機(jī)的.已知圓形靶中三個(gè)圓為同心圓,半徑分別為30cm,20cm,10cm,飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖中標(biāo)示.(1)若這位同學(xué)向圓形靶投擲3次飛鏢,求恰有2次落在9環(huán)區(qū)域內(nèi)的概率.(2)記這位同學(xué)投擲一次得到的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.12.(2021·廣東六校聯(lián)考)近幾年來(lái),我國(guó)很多地區(qū)經(jīng)常毀滅干旱現(xiàn)象,為抗旱經(jīng)常要進(jìn)行人工降雨.現(xiàn)由天氣預(yù)報(bào)得知,某地在將來(lái)5天的指定時(shí)間的降雨概率是:前3天均為50%,后2天均為80%,5天內(nèi)任何一天的該指定時(shí)間沒(méi)有降雨,則在當(dāng)天實(shí)行人工降雨,否則,當(dāng)天不實(shí)施人工降雨.(1)求至少有1天需要人工降雨的概率.(2)求不需要人工降雨的天數(shù)x的分布列和期望.13.(力氣挑戰(zhàn)題)某商店儲(chǔ)存的50個(gè)燈泡中,甲廠生產(chǎn)的燈泡占60%,乙廠生產(chǎn)的燈泡占40%,甲廠生產(chǎn)的燈泡的一等品率是90%,乙廠生產(chǎn)的燈泡的一等品率是80%.(1)若從這50個(gè)燈泡中隨機(jī)抽取出1個(gè)燈泡(每個(gè)燈泡被取出的機(jī)會(huì)均等),則它是甲廠生產(chǎn)的一等品的概率是多少?(2)若從這50個(gè)燈泡中隨機(jī)抽取出2個(gè)燈泡(每個(gè)燈泡被取出的機(jī)會(huì)均等),這2個(gè)燈泡中是甲廠生產(chǎn)的一等品的個(gè)數(shù)記為ξ,求E(ξ)的值.14.(力氣挑戰(zhàn)題)一個(gè)口袋裝有n個(gè)紅球(n≥5且n∈N)和5個(gè)白球,一次摸獎(jiǎng)從中摸2個(gè)球(每次摸獎(jiǎng)后放回),2個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng).(1)試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率.(2)若n=5,求3次摸獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)ξ=1的概率及數(shù)學(xué)期望.(3)記3次摸獎(jiǎng)恰有1次中獎(jiǎng)的概率為P,當(dāng)n取多少時(shí),P最大?答案解析1.【解析】選C.E(X)=(-1)×QUOTE+0×QUOTE+1×QUOTE=-QUOTE,∴①正確;D(X)=(-1+QUOTE)2×QUOTE+(0+QUOTE)2×QUOTE+(1+QUOTE)2×QUOTE=QUOTE,∴②不正確;由分布列知:③正確.2.【解析】選C.∵a,b,c成等差數(shù)列,∴2b=a+c.又a+b+c=1,且E(ξ)=-1×a+1×c=c-a=QUOTE,聯(lián)立三式得a=QUOTE,b=QUOTE,c=QUOTE,∴D(ξ)=(-1-QUOTE)2×QUOTE+(0-QUOTE)2×QUOTE+(1-QUOTE)2×QUOTE=QUOTE.3.【解析】選C.∵X～B(100,p),∴E(X)=100p.又∵E(X)=24,∴24=100p,p=QUOTE=QUOTE.4.【思路點(diǎn)撥】利用離散型隨機(jī)變量的均值和方差的計(jì)算公式構(gòu)造含有x1,x2的方程組求解.【解析】選C.分析已知條件,利用離散型隨機(jī)變量的均值和方差的計(jì)算公式得:解得QUOTE或QUOTE又∵x1<x2,∴x1+x2=3.5.【解析】選A.依題意,P(-2≤X≤5.5)=P(X=0,1,2,3,4,5)=1-P(X=6)=1-QUOTE(QUOTE)6=QUOTE.6.【思路點(diǎn)撥】求出四種方案A1,A2,A3,A4盈利的期望,再結(jié)合期望作出推斷.【解析】選C.方案A1,A2,A3,A4盈利的期望分別是:A1:50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7;A2:70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5;A3:-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7;A4:98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.所以A3盈利的期望值最大,所以應(yīng)選擇A3.7.【解析】依題意有a=1-QUOTE=QUOTE,所以E(ξ)=QUOTEm+QUOTEn=2,即m+2n=6.又D(ξ)=QUOTE(m-2)2+QUOTE(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,所以當(dāng)n=2時(shí),D(ξ)取最小值為0.答案:08.【解析】1-QUOTE=QUOTE.∵P(X=0)=QUOTE=(1-p)2×QUOTE,∴p=QUOTE.1-QUOTE=QUOTE.隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,因此P(X=0)=QUOTE,P(X=1)=QUOTE×(QUOTE)2+QUOTE×(QUOTE)2×2=QUOTE,P(X=2)=QUOTE×(QUOTE)2×2+QUOTE×(QUOTE)2=QUOTE,P(X=3)=QUOTE×(QUOTE)2=QUOTE,因此E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE9.【思路點(diǎn)撥】先求出一次試驗(yàn)成功的概率,再依據(jù)二項(xiàng)分布求解.【解析】由題意一次試驗(yàn)成功的概率為1-QUOTE×QUOTE=QUOTE,10次試驗(yàn)為10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),則成功次數(shù)X～B(10,QUOTE),所以E(X)=QUOTE.答案:QUOTE10.【解析】D(ξ)=100p(1-p)≤100·(QUOTE)2=25,當(dāng)且僅當(dāng)p=1-p,即p=QUOTE時(shí),D(ξ)最大,為25.答案:QUOTE25【變式備選】一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c,a,b,c∈(0,1),且無(wú)其他得分狀況,已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1,則ab的最大值為.【解析】依題意得3a+2b+0×c=1,∵a>0,b>0,∴3a+2b≥2QUOTE,即2QUOTE≤1,∴ab≤QUOTE.當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b時(shí),等式成立.答案:QUOTE11.【解析】(1)由題意可知,飛鏢落在靶內(nèi)各個(gè)區(qū)域的概率與它們的面積成正比,而與它們的質(zhì)量和外形無(wú)關(guān).由圓的半徑值可得到三個(gè)同心圓的半徑之比為3∶2∶1,面積比為9∶4∶1,所以8環(huán)區(qū)域、9環(huán)區(qū)域、10環(huán)區(qū)域的面積比為5∶3∶1,則擲得8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別設(shè)為5k,3k,k.依據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)有0.1+5k+3k+k=1,解得k=0.1,所以,這位同學(xué)向圓形靶投擲1次飛鏢,落在9環(huán)區(qū)域內(nèi)的概率為0.3,所以,P(向圓形靶投擲3次飛鏢,恰有2次落在9環(huán)區(qū)域內(nèi))=QUOTE0.32(1-0.3)=0.189.(2)隨機(jī)變量X的取值為0,8,9,10,P(X=0)=0.1,P(X=8)=0.5,P(X=9)=0.3,P(X=10)=0.1,所以,離散型隨機(jī)變量X的分布列為:X08910P0.10.50.30.1E(X)=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7.12.【解析】(1)5天全不需要人工降雨的概率是P1=(QUOTE)3·(QUOTE)2=QUOTE,故至少有1天需要人工降雨的概率是1-P1=1-QUOTE=QUOTE.(2)X的取值是0,1,2,3,4,5,由(1)知5天不需要人工降雨的概率是:P(X=5)=P1=QUOTE,4天不需要人工降雨的概率是:P(X=4)=(QUOTE)3QUOTE×QUOTE+QUOTE(QUOTE)3(QUOTE)2=QUOTE=QUOTE,3天不需要人工降雨的概率是:P(X=3)=QUOTE(QUOTE)3(QUOTE)2+QUOTE(QUOTE)3QUOTE(QUOTE)(QUOTE)+(QUOTE)3(QUOTE)2=QUOTE,2天不需要人工降雨的概率是:P(X=2)=QUOTE(QUOTE)3(QUOTE)2+QUOTE(QUOTE)3QUOTE(QUOTE)×(QUOTE)+(QUOTE)3×(QUOTE)2=QUOTE,1天不需要人工降雨的概率是:P(X=1)=QUOTE(QUOTE)3(QUOTE)2+(QUOTE)3QUOTE(QUOTE)(QUOTE)=QUOTE,0天不需要人工降雨的概率是:P(X=0)=(QUOTE)3(QUOTE)2=QUOTE,故不需要人工降雨的天數(shù)x的分布列是:x012345P不需要人工降雨的天數(shù)x的期望是:E(X)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE+4×QUOTE+5×QUOTE=3.1.【方法技巧】求離散型隨機(jī)變量均值與方差的基本方法(1)定義法:已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解.(2)性質(zhì)法:已知隨機(jī)變量ξ的均值與方差,求ξ的線性函數(shù)η=aξ+b的均值與方差,可直接利用均值、方差的性質(zhì)求解.(3)公式法:如能分析所給隨機(jī)變量是聽(tīng)從常用的分布(如兩點(diǎn)分布,二項(xiàng)分布等),可直接利用它們的均值、方差公式求解.13.【解析】(1)方法一:設(shè)大事A表示“甲廠生產(chǎn)的燈泡”,大事B表示“燈泡為一等品”,依題意有P(A)=0.6,P(B|A)=0.9,依據(jù)條件概率計(jì)算公式得P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.6×0.9=0.54.方法二:該商店儲(chǔ)存的50個(gè)燈泡中,甲廠生產(chǎn)的燈泡有50×60%=30(個(gè)),乙廠生產(chǎn)的燈泡有50×40%=20(個(gè)),其中是甲廠生產(chǎn)的一等品有30×90%=27(個(gè)),故從這50個(gè)燈泡中隨機(jī)抽取出1個(gè)燈泡,它是甲廠生產(chǎn)的一等品的概率為QUOTE=0.54.(2)依題意,ξ的取值為0,1,2,P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE,P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE,∴ξ的分布列為ξ012P∴E(ξ)=0×QUOTE+1×QUOTE+2×QUOTE=1.08.【變式備選】甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練,已知他們擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán),且每次射擊成果互不影響,射擊環(huán)數(shù)的頻率分布表如下:甲運(yùn)動(dòng)員射擊環(huán)數(shù)頻數(shù)頻率7100.18100.19x0.451035y合計(jì)1001乙運(yùn)動(dòng)員射擊環(huán)數(shù)頻數(shù)頻率780.18120.159z100.35合計(jì)801若將頻率視為概率,回答下列問(wèn)題:(1)求甲運(yùn)動(dòng)員射擊1次擊中10環(huán)的概率.(2)求甲運(yùn)動(dòng)員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率.(3)若甲運(yùn)動(dòng)員射擊2次,乙運(yùn)動(dòng)員射擊1次,ξ表示這3次射擊中擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的次數(shù),求ξ的分布列及E(ξ).【解析】由題意得x=100-(10+10+35)=45,y=1-(0.1+0.1+0.45)=0.35.由于乙運(yùn)動(dòng)員的射擊環(huán)數(shù)為9時(shí)的頻率為1-(0.1+0.15+0.35)=0.4,所以z=0.4×QUOTE=32.由上可得表中x處填45,y處填0.35,z處填32.(1)設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員射擊1次擊中10環(huán)為大事A,則P(A)=0.35,即甲運(yùn)動(dòng)員射擊1次擊中10環(huán)的概率為0.35.(2)設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員射擊1次擊中9環(huán)為大事A1,擊中10環(huán)為大事A2,則甲運(yùn)動(dòng)員在1次射擊中擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率為P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=0.45+0.35=0.8,故甲運(yùn)動(dòng)員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的