【名師一號(hào)】2022屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)：第六章-不等式、推理與證明6-4-

第四節(jié)基本不等式時(shí)間：45分鐘分值：100分eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1．已知a，b∈R，且ab≠0，則下列結(jié)論恒成立的是()A．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab) B.eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2C.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,a)))≥2 D．a(chǎn)2＋b2>2ab解析當(dāng)a，b都是負(fù)數(shù)時(shí)，A不成立，當(dāng)a，b一正一負(fù)時(shí)，B不成立，當(dāng)a＝b時(shí)，D不成立，因此只有C是正確的．答案C2．設(shè)a，b∈R，已知命題p：a2＋b2≤2ab；命題q：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)，則p是q成立的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析命題p：(a－b)2≤0?a＝b；命題q：(a－b)2≥0.明顯，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要條件．答案B3．下列不等式：①a2＋1>2a；②eq\f(a＋b,\r(ab))≤2；③x2＋eq\f(1,x2＋1)≥1，其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析①②不正確，③正確，x2＋eq\f(1,x2＋1)＝(x2＋1)＋eq\f(1,x2＋1)－1≥2－1＝1.答案B4．已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t為常數(shù)，且ab的最大值為2，則t的值為()A．2 B．4C．2eq\r(2) D．2eq\r(5)解析當(dāng)a>0，b>0時(shí)，有ab≤eq\f(a＋b2,4)＝eq\f(t2,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(t,2)時(shí)取等號(hào)．∵ab的最大值為2，∴eq\f(t2,4)＝2，t2＝8，∴t＝eq\r(8)＝2eq\r(2).答案C5．(2021·湖北黃岡月考)設(shè)a>1，b>0，若a＋b＝2，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(2,b)的最小值為()A．3＋2eq\r(2) B．6C．4eq\r(2) D．2eq\r(2)解析由a＋b＝2可得，(a－1)＋b＝1.由于a>1，b>0，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)＋\f(2,b)))(a－1＋b)＝eq\f(b,a－1)＋eq\f(2a－1,b)＋3≥2eq\r(2)＋3.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a－1)＝eq\f(2a－1,b)，即a＝eq\r(2)，b＝2－eq\r(2)時(shí)取等號(hào)．答案A6．(2022·湖北八校聯(lián)考)若x，y∈(0,2]且xy＝2，使不等式a(2x＋y)≥(2－x)(4－y)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)≤eq\f(1,2) B．a(chǎn)≤2C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)≥eq\f(1,2)解析由x，y∈(0,2]且xy＝2，得a≥eq\f(2－x4－y,2x＋y)＝eq\f(10－22x＋y,2x＋y)＝eq\f(10,2x＋y)－2.又由2x＋y≥2eq\r(2xy)＝4，∴a≥eq\f(1,2).答案D二、填空題7．已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________.解析由于x>0，a>0，f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥4eq\r(a).此時(shí)當(dāng)4x＝eq\f(a,x)時(shí)，f(x)取得最小值4eq\r(a)，即a＝4x2.∴a＝4×32＝36.答案368．(2022·福建卷)要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m解析設(shè)容器的底長(zhǎng)x米，寬y米，則xy＝4.所以y＝eq\f(4,x)，則總造價(jià)為：f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋eq\f(80,x)＋20x＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))＋80，x∈(0，＋∞)．所以f(x)≥20×2eq\r(x·\f(4,x))＋80＝160，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(4,x)，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立．所以最低總造價(jià)是160元．答案1609．(2022·陜西卷)設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則eq\r(m2＋n2)的最小值為_(kāi)_______．解析由柯西不等式，可得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，所以5(m2＋n2)≥25.所以m2＋n2≥5，即eq\r(m2＋n2)≥eq\r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)an＝bm時(shí)，等號(hào)成立．故eq\r(m2＋n2)的最小值為eq\r(5).答案eq\r(5)三、解答題10．(1)求函數(shù)y＝x(a－2x)(x>0，a為大于2x的常數(shù))的最大值；(2)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)的最小值．解(1)∵x>0，a>2x，∴y＝x(a－2x)＝eq\f(1,2)×2x(a－2x)≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋a－2x,2)))2＝eq\f(a2,8)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(a,4)時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為eq\f(a2,8).(2)由已知條件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.則eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)＝eq\f(2y＋5x,10)≥eq\f(2\r(10xy),10)＝2.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(5,y)))min＝2.當(dāng)且僅當(dāng)2y＝5x，即x＝2，y＝5時(shí)等號(hào)成立．11．(2022·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)若a>0，b>0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\r(ab).(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b解(1)由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，得ab≥2，且當(dāng)a＝b＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立．故a3＋b3≥2eq\r(a3b3)≥4eq\r(2)，且當(dāng)a＝b＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立．所以a3＋b3的最小值為4eq\r(2).(2)由(1)知，2a＋3b≥2eq\r(6)eq\r(ab)≥4eq\r(3).由于4eq\r(3)>6，從而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．若正數(shù)a，b滿(mǎn)足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值為()A．1 B．6C．9 D．16解析方法一：由于eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝ab?(a－1)(b－1)＝1，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(\f(1,a－1)×\f(9,b－1))＝2×3＝6.方法二：由于eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝ab，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝eq\f(b－1＋9a－9,ab－a－b＋1)＝b＋9a－10＝(b＋9a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))－10≥16－10＝6.方法三：由于eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a－1＝eq\f(1,b－1)，所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝(b－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(9)＝2×3＝6.答案B2．在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)任意a，b∈R，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：(1)對(duì)任意a∈R，a*0＝a；(2)對(duì)任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．則函數(shù)f(x)＝(ex)*eq\f(1,ex)的最小值為()A．2 B．3C．6 D．8解析依題意可得f(x)＝(ex)*eq\f(1,ex)＝ex·eq\f(1,ex)＋ex＋eq\f(1,ex)＝ex＋eq\f(1,ex)＋1≥2eq\r(ex·\f(1,ex))＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)“＝”成立，所以函數(shù)f(x)＝(ex)*eq\f(1,ex)的最小值為3，選B.答案B3．(2021·山東淄博期末)若實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b解析由基本不等式得2a＋2b≥2eq\r(2a2b)＝2×2eq\f(a＋b,2)，即2a＋b≥2×2eq\f(a＋b,2)，所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，所以2c＝eq\f(t,t－1)＝1＋eq\f(1,t－1)，由t≥4，得1<eq\f(t,t－1)≤eq\f(4,3)，即1<2c≤eq\f(4,3)，所以0<c≤log2eq\f(4,3)＝2－log23，故答案為2－log23.答案2－log234．為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某地打算分批建設(shè)保障性住房供應(yīng)社會(huì)．首批社會(huì)用100萬(wàn)元購(gòu)得一塊土地，該土地可以建筑每層1000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每上升一層，整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高20元．已知建筑第5層樓房時(shí)，每平方米建筑費(fèi)用為800元．(1)若建筑第x層樓時(shí)，該樓房綜合費(fèi)用為y萬(wàn)元(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和)，寫(xiě)出y＝f(x)的表達(dá)式；(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低，應(yīng)把樓層建成幾層？此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米多少元？解(1)由題意知建筑第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為720元，建筑第1層樓房建筑費(fèi)用為720×1000＝720000(元)＝72(萬(wàn)元)，樓房每上升一層，整層樓建筑費(fèi)用提高20×1000＝20000(元)＝2(萬(wàn)元)，建筑第x層樓房的建筑費(fèi)用為72＋(x－1)×2＝2x＋70(萬(wàn)元)，建筑第x層樓時(shí)，該樓房綜合費(fèi)用為y＝f(x)＝72x＋eq\f(xx－1,2)×2＋100＝x2＋71x＋100，綜上可知y＝f(x)＝x2＋71x＋